Том 1 (1113039), страница 56
Текст из файла (страница 56)
2'. Эллипсоид — ограниченная поверхность, заключенная в параллелепипеде (х( < а, )у( < Ь, )я) < с. Если эллипсоид трехосный, то точки (а, О, 0), ( — а,О, 0), (О,Ь,О), (О, — Ь,О), (0,0, с), (0,0, — с) пересечения эллипсоида с его главными осями называются вершинами эллипсоида.
3'. Линия пересе~ения эяяипсоида с любой плоскостью его сечен я является эллипсом. Отметим, что для любого эллипсоида существует семейство плоскостей, пересекающих этот эллипсоид по окружностям. Например, если эллипсоид трехосный и а > Ь > с, то таковыми являются плоскости сваг — Ь х х а;/Ь~ — сгг+ Ласъ/а~ — с = О, Глава 1Х.
Линии и поверхности второго порядка Соотношения (36.4) означают, что и и с — декартовы координаты точки плоскости (36.3) в плоскостной системе координат (Мс, еы ег). Подставляя (36.4) в уравнение эллипсоида (36.2), получим уравнение линии пересечения в плоскостной системе координат (Мс; ем ег) 4„2+9„г+(2 3„4е)г 1 или 13и + 24ис+ 25ег — 12и — 16с+ 3 = О.
Это уравнение определяет эллипс, так как (см. 335) и Гй 13 12 — б 12=( 12 25 <>О, 12К2=38 12 25 -8 (О. -б — 8 3 Координаты центра эллипса определяются из системы 13и + 12е — б = О, 54 32 12и -~- 25е — 8 = 0 181' 181 Отсюда и из (36.4) находим координаты центра в исходной системе ко- ординат Охуг: 324 192 72 х= —, у= —, г= —. ° 181' 181' 181 < 9а-' + Ь-г + с-' = 1 9Ь 2 = 1, 9 — 2 + 9 — 2 2 2 = а =12, Ь =9, с =72. Таким образом, искомое уравнение имеет вид г г г — + — + — = 1. ° 12 9 72 Гиперболоиды. Поверхность, определяемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат Охуг уравнением хг уз — + — — — =1, аг Ьг сг (36.5) называется однополостнмм гиперболоидом (рис. 2), а поверхность, определяемая уравнением 2 2 2 — т — — — = — 1, (36.6) аг Ьг сг П р и м е р 36.2.
Составить уравнение эллипсоида, оси которого совпадают с осями координат, если известно, что он проходит через окружность хг + уг + гг = 9, г = х, и точку Мс(3, 1, 1). Система координат прямоугольная. 3 3 Решение. Точки Мг(0,3, 0), Мг( —,О, — ) лежат на окружности. Так т12 ч'2 как оси эллипсоида совпадают с осями координат, то уравнение эллипсоихг уг да имеет вцц — + — + — = 1. Величины а, Ь,с находятся из того, что аг Ьг сг координаты точек Мс, Мы Мг удовлетворяют этому уравнению: 319 336.
Эллипсонды, гиперболоиды, параболоиды Рис. 2 Рис. 3 называется дзуполостны и гиперболоидом (рис. 3). Уравнения (36.5) и (36.6) назь|ваются каноническими уравнениями соответственно однополостного и двуполостного гиперболоидов, а соответствующие системы координат Охуг — каноническими для данного гиперболоида.
Числа а, Ь, с в канонических уравнениях (36.5) и (36.6) называются полуосями гиперболоидов. Если полуоси а и Ь гиперболоида равны, то такой гиперболоид называется гиперболоидом вращения. Однополостный и двуполостный гиперболоиды обладают следующигаи простейшими свойствами. 1 . Координатные плоскости канонической системы координат гиперболоида являются плоскостями симметрии, координатные оси — осями симметрии, а центр координат — центром симметрии гиперболоида. Координатные оси канонической системы координат называются глазными осями, а начало координат — центром гиперболоида. Для однополостного гиперболоида (36.5) с неравными полуосями а ~ Ь точки (а,О,О), ( — а,О,О), (О,Ь,О), (О, — Ь,О) пересечения гиперболоида с его главными осями Ох и Оу называются его вершинами. Вершинами же двуполостного гиперболоида (36.6) называются точки (О, О, с), (О, О, — с) пересечения гиперболоида с его главной осью Ог.
2', Гиперболоиды — неограниченные поверхности, причем деуполостный гиперболоид состоитп иэ двух с мметричных непересекающихся поверхностей (пслоетэй), расположенных е полупространстэах ~г) > С. 3 . Сечения гиперболоидов плоскосптми г = Ь, где Ь любое — для однополостного гиперболоида и ~5~ > с — длл дэуполостного гиперболоида, представляют собой эллипсы, чьи полуоси неограниченно возрастают при Ь со.
Эллипс, получающийся в сечении однополостного гиперболоида при Ь = О, называется его горловым эллипсом. 4 . Сечения гиперболоидов плоскостями х = Ь и у = Ь представляют собой гиперболы эа исключением одного случая: плоскости х = ха и у = *Ь пересекают однополостный гиперболоид (36.5) по паре пересекающихся Глава 1Х. Линии н поверхности второго порядка 320 прямых. Последнее свойство указывает на важную особенность однополостного гиперболоида — наличие прямых, целиком на нем лежащих.
Прямые, все точки которых лежат на поверхности, называются прямолинейными образующими этой поверхности. Теорема 36.1. Через казкфю точку однсполостного гиперболоида (36.5) проходят две ар мвлинебныс образующие, общие уравнения которых имеют вид 7(- — -) = 6(1-ь -), х г у а с Ь'. и 6( — + — ) = 7(1 — -), х г у а с Ь 7' 4-6' ~ О, Пример 36.3. Определить вид линии пересечения двуполостного гиперболоида х+у — г = — 4 г 2 2 с плоскостью (36.7) х + у — г + 3 = О.
Решение. Запишем уравнение плоскости (36.7) в параметрической форме с х=и, у=и, г = и + и 4- 3. Значит, и и и — плоскостные координаты точки плоскости (36.7) в системе координат (Мс; еы ег), где Мв(0, О, 3), е1 = (1, О, Ц, ег = (О, 1, 1). Уравнение линии пересечения в этой системе координат имеет вид и + иг — (и+ и+ 3) + 4 = 0 2ии + би+ бе+ 5 = О. Преобразование координат и = и' ч- и', и = и' — и' приводит это уравнение к виду (и') — (и') + 12и'+ 5=0 или (и'+ 6) — (и') =31. Перенос начала координат из=и' 4-б,из=и' дает уравнение гиперболы (из) — (и") =31. ° Пример 36.4.
Составить уравнения прямолинейных образующих однополосгного гиперболоида г 2 2 — + — — — =1, 16 9 4 проходящих через точку Мв(4, 3, 2) Решение. Согласно теореме 36.1 через каждую точку гиперболоида проходят две прямолинейные образующие а(- — -) = б(1 — -), х у 4 2 3 б(х 5 -) = а(1+ -), и 1г: 4 2 3 пг+11г фб а(- — -) = ~3(1 — -), х г у а с Ь 17(-+ — ) = п(1+ -), а с Ь пг4 Яг~б 7( — — — ) = 6(1+ -), 4 2 3 6(-+ — ) = 7(1 — — ), х г у 4 2 3 ' 7~ 4-6 ~ О. 836. Эллипеоиды, гиперболоиды, параболоиды Так как они пересекаются в точке Мо, то о = )3 = 1, 6 = О.
Таким образом, искомые прямые имеют уравнения в Ђ — — =О, и 1, 4 н 2 у 1 — — = О. ° 3 — — — =1 — —, ~! ~ х ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ у 4 2 3' х я у — + — =1+— 4 2 3 Параболоиды. Поверхность, определяемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат Охуэ уравнением х у — -Ь вЂ” = 2х, аз (36.8) где а,Ь > О, называется эллиптическим параболоидом (рис. 4), а поверх- ность, определяемая уравнением хт З вЂ” — — = 2г, ае Ье (36.9) где а, Ь > О, называется гиперболическим парабалоидом (рис..
5). Уравнения (36.8) и (36.9) называются каноническими уравнениями соответственно эллиптического и гиперболического параболоидов, а соответствующие системы координат Охуэ — каноническими для данного парабол аида. Если в уравнении (36.8) эллиптического параболоида а = Ь, то такой параболонд называется парабслоидом вращения. Рис.
б Рис. 4 Эллиптический и гиперболический параболоиды обладают следующими простейшими свойствами. !! †4! Глава 2Х, Линии и поверхности второго порядка 322 ог =,3( — + -) х у а Ь 2~3 = о( — — -) х у а Ь сг +13 фО "= (---) х у а Ь 2б = и(-+ -) х у а Ь п2ч 32 ~0 Пример 36,5. Составить уравнения прямой, на которой лежат центры сечений эллиптического параболоида 2 2 — + — = 22 16 9 плоскостями, параллельными плоскости х = г. Решение. Плоскость, параллельная плоскости х = г, имеет уравнение х — г+ г = О, 1 6 К, Она проходит через точку Мо(0,0,1) и илгеет направляющие векторы ег = (1,0, 1), ег = (0,1,0), поэтому ее параметрическое уравнение имеет вид у=и, г =1+и, (36.10) где и и и — плоскостные координаты точки плоскости в декартовой системе кооРДинат (Мо; еы ег).
Уравнение линии пересечения параболоида с такой плоскостью имеет вид и и 2 2 и 2 ю — + — = 2(1+ и) е=: (- — 4) + — = 21+ 16, 16 9 4 9 поэтолгу центр линии пересечения (эллипса или пары пересекающихся прямых) определяется из условий — = 4, — = О. 4 '9 С учетом (36.10) получим, что центры сечений лежат на прямой х = 16,у=О. ° 1 . Координатные плоскостпи Охг и Оуг канонической системы координат парабагоида являются плоскостями симметрии, а координатная ось Ог — осью симметрии параболоида. Точка О(0, О, 0) пересечения параболоида с его осью симметрии называется вершиной параболонда. Плоскость Оху служит касательной плоскостью к параболонлу в его вершине.
2 . Параболоиды — неограниченные поверхности, причем эллиптический параболоид целиком расположен в лолупространстпве г > О. 3'. Плоскости х = Ь и у = Ь пересекают эллиптический параболоид по параболам, ветви которых направлены вверх. Сечения же эллиптического параболоида лоскостпями г = Ь, Ь > О, представллют собой эллипсы, чьи полуоси неограниченно возрастаюпг при Ь вЂ” ° со. 4~. Плоскостпи х = Ь и у = Ь пересеканнп гиперболический параболоид по параболам, причем ветви первой параболы направлены вниз, а второй — вверх. Сечения же гиперболического параболоида плоскостями г = Ь представляют собой гиперболы эа исключением одного случая: касательная плоскостпь г = 0 пересекает зту поверхность по паре пересекающихся прямых.
Как и однополостный гиперболоид, гиперболический параболоид покрыт двулгя семействами прямолинейных образующих. Теорема 36.2. Через каждую точку гиперболического параболоида (36.9) проходят две прямолинейные образующие, общие уравнения которых имеют вид: 936. Эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды ЗАДАЧИ В задачах этого параграфа считается, что система координат прямоугольная декартова. 36.1. Составить уравнение эллипсоида, оси которого совпадают с осями координат, если он пересекает координатные плосх2 22 кости Охх и Оух соответственно по линиям у = О, — + — = 1 ' 25 16 р Л их=О, — + — =1.
9 16 36.2. Составить уравнение эллипсоида, оси которого совпадают с осями координат, если он проходит через эллипс 2 = О, г „2 — + — = 1 и через точку М(1,2, ~/23). 9 16 36.3. Составить уравнение эллипсоида, оси которого совпадают с осями координат, если он проходит через окружность х2+ у2+ 22 = 9, 2 = х и точку М(3,1, 1). 36.4. Написать уравнение эллипсоида с вершинами в точках (0,0,6) и (0,0, — 2), зная, что плоскость Оху пересекает его по окружности радиуса 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
