Том 1 (1113039), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Уравнение т)ез(А — Л1) = 0 е=ь Л вЂ” 11Л+ 1г = 0 (35. 7) называется характеристичес м. Теорема 35.3. !) При повороте прямоугольной декартовой системы координат инварианты 11, 12, Кз и полуинеариант Кг линии второго порядка не изменяются. 3) При переносе начала координата инварианты 11, 12, Кз не изменяются, а полуинеариантл Кг остаетасл прежн м, если 12 = Кз = О. В силу (35.7) корни Лт, Лг характеристического многочлена линии второго порядка также не меняются при переходе от одной прямоугольной декартовой системы координат к другой прямоугольной декартовой системе.
Связь инвариантов с каноническими уравнениями линий второго порядка показана в нижеследующей таблице. Признаки линий, приведенные в этой таблице, справедливы и в случае аффинной системы координат. Что же касается канонических уравнений, то хг уг — ч- — =1, а>6>0 аг 52 хг уг — ч- — = — 1, аг 52 хг уг — -ь — = О, аг Ьг х уг — — — =1, аг 62 хг уг — — — =О, аг 52 у~=2рх, р>0 у =аг, а>0 у =-а, а>0 у =0 Пара мнимых пересекающихся прямых Гипербола Пара пересекающихся прямых Глава 1Х, Линии и поверхности второт 312 для их представления через инварианты необходимо использовв ские коэффициенты базиса исходной системы координат'. Приведенное уравнение Название линии Эллипс х у — + — = — 1 аг Ьг Мнимый эллипс х — + — =0 о2 Ь2 х у — — — =1 пг Ьг Гипербола хг уг — — — =0 а' Ьг Пара пересекаю- щихся прямых уг = 2рх, Парабола р>О у = — а, а>0 у =0 Пара совпадаю- щих прямых Центрам линии второго порядка называется ее центр симм Теорема Зб.4.
Точка Мс(хе,ус) являетпся центром рого порядка, заданной в о4финной систпгме координат уровне тогда и тполько тогда, когда ее координатны хс, ус яв лкппся р~ стпемы ( амх+ атгу татя = О, пггх + пггУ + пгз = О. 'Подробнее сведения о связи различных параметров линий рядка с коэффициентами а„их общих уравнений можно полу мер, из (1, с.128 — 139(. Лтх ч- Лгу + — = О, 2 г пз 12 лл ~о 1ту х 2((- — х = О, Кз '1/ 1, 12Кз ~ О 12у + — =О, г Кг 12~0 Каноническое уравнение линии х — + — =1, пг Ьг а>Ь>0 у — а а>О Пара мнимых пересекающихся прямых Пара параллель- ных прямых Пара мнимых параллельных прямых у35.
Линии, заданные общими уравнениями Отметим, что первые пить линий второго порядка, характеризуемые условием 1з ~ О, имеют единственный центр и называются ценглрольными. Последние три линии (1т = Кз = 0) имеют прямую целиком состоящую из их центров, и, наконец, единственная линия — парабола — вообще не имеет центра (1е = О, Кз ~ 0). 3 А Д А в1 И В задачах этого параграфа считается, что система координат прямоугольная декартова. Случай произвольной аффинной системы координат оговаривается особо. 35.1.
Эллипс с полуосями а и д перемещен так, что его центр совпал с точкой О(хо,уе), а оси остались параллельными осям координат. Какое уравнение имеет эллипс в своем новом положении? 35.2. Написать уравнение эллипса, пересекающего ось Ох в точках (1,0), (9,0) и касающегося оси Оу в точке (0,3), зная, что его оси параллельны осям координат. 35.3. Написать уравнение эллипса, оси которого параллельны осям координат, если он касается осей Ох и Оу соответственно в точках (5, 0) и (О, 3).
35.4. Эллипс касается оси ординат в начале координат, а центр его находится в точке (5, 0). Составить уравнение эллипса, зная,что его эксцентриситет е равен 4/5. 35.5. Составить уравнение эллипса, фокусы которого имеют координаты г1(0, 1), Рз(1, 0), а ббльшая полуось равна 1.
35.6.Написать уравнение эллипса с полуосями а=2, д=1, для которого прямые х+ у — 1 = 0 и х — у+ 1 = 0 суть соответственно большая и малая оси. 35.7. Эллипс при движении по плоскости касается двух взаимно перпендикулярных прямых. Какую линию описывает центр эллипса? 35.8. Написать уравнение гиперболы, проходящей через точку (1,0), если известно, что ее асимптотами являются прямые х = 0 и у = 1. 35.9. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой имеют координаты (1, 0), (О, 1), а асимптоты параллельны осям координат. ах+ д 35.9.1. Доказать, что уравнение у = —, где с ф 0 и сх + 4' 314 Глава 1Х. Линии и поверхности второго порядка ад ~ бс, задает на координатной плоскости равностороннюю гиперболу.
Найти ее фокусы. 35.10. Написать уравнение равносторонней гиперболы, зная ее фокус (1, 1) и асимптоту х + у = О. 35.11. Написать уравнение равносторонней гиперболы, зная ее фокус (2, 0) и асимптоту х = 1. 35.12. Составить уравнение гиперболы, зная один из ее фокусов ( — 2, 2) и асимптоты 2х — у + 1 = О, х + 2у — 7 = О.. 35.13. Составить уравнение параболы, зная, что фокус имеет координаты: а) (5, 0), 6) ( — 3, 1), а ось ординат служит директрисой. 35.14.
Определить фокус параболы у = хз — 4х+ 5. 35.15. Составить уравнение параболы, зная, что се вершина имеет координаты (а, 5), фекальный параметр равен р и направление оси симметрии совпадает; 1) с положительным направлением оси Ох; 2) с отрицательным направлением оси Ох; 3) с положительным направлением оси Оу; 4) с отрицательным направлением оси Оу. 35.16. Написать уравнение параболы, вершина которой находится в точке (2,6), а ось параллельна оси Оу, зная, что на оси Ох зта парабола высекает хорду длины 6.
35.17. Доказать, что параболы, имеющие общий фокус и совпадающие, но противоположно направленные оси, пересекаются под прямым углом (т.е. касательные, проведенные к ним в каждой точке их пересечения, взаимно перпендикулярны). 35.18. Написать уравнение параболы, касающейся оси Ох в точке (3, 0), а оси Оу в точке (О, 2). 35.19.Написать уравнение параболы, проходящей через точки (О, 0), (О, 1), осью которой служит прямая х+ у+ 1 = О. 35.20. Написать уравнение параболы, зная ее директрису х— у + 8 = 0 и фокус Е( — 1, — 2).
35.21. Написать уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, а фокус — в точке Г(1,1). 35.21.1. Составить уравнение линии второго порядка, зная ее фокус Е(1,1), директрису х + 2у — 1 = 0 и эксцентриситет е = ~)5. 35.21.2. Составить уравнение линии второго порядка, зная ее фокусы Е1(1, 1), Рт( — 2, — 2) и одну из ее директрис х+ у — 1 = О. 35.21.3. Составить уравнение линии второго порядка, зная ее З35. Линии, заданные общими уравнениями 315 фокус Р( — 3, — 7), центр ( — 1, — 3) и одну из директрис х+2у — 4 = О, 35.22.
Пользуясь методом Лагранжа, определить вид следующих линий второго порядка (система координат аффинная): 1) 2х~+ Зху+ 4у~ — 5х+ 2у — 1 = 0; 2) 4х~ — 4ху + у~ — 8х + бу — 2 = 0; 3) 2ху — 4у~+ бх+ бу+1 = 0; 4) х~ — 4ху+у~ — 4х+ 2у — 2 = 0; 5) х~ — 2ху + 4уз + 2х — 2у — 4 = 0; 6) хз + 4ху + 4у2 — бх — 8у = О.
35.23. Пользуясь методом Лагранжа, показать, что каждое из нижеследующих уравнений определяет пару прямых, и найти уравнения этих прямых (система координат аффиниая): 1) 2х~ — 5ху — 12у~ — х+ 26у — 10 = 0; 2) Зх~ + ху — 2у~ — 5х + 5у — 2 = 0; 3) 4х~ + 16ху + 15у~ — 8х — 22у — 5 = 0; 4) 4х~ — 4ху+ у~ — бх+ Зу — 4 = О. 35.24. Используя параллельный перенос, выяснить вид и расположение на координатной плоскости следующих линий второго порядка: 1) х~ + у~ — 2х + Оу — 5 = О; 2) х~+4у~+ 4х — 8у — 8 = 0; 3) х2 + 2уз + 8х — 4 = 0; 4) 9х~ — у~ — 18х — 20у — 316 = 0; 5) бх~ — 5у2 + 12х — 10у+ 31 = 0; 6) х2 — 4у~+ Ох+ 5 = 0; 7) у~ — 10х — 2у — 19 = 0; 8) у~ — 6х + 14у + 49 = 0; 9) у~ + 8х — 16 = 0; 10) хг — бх — 4у + 29 = 0; 11) 2хз + уз — 4х+ 4у = 0; 12) бх~+ Зу~ + Зх — 4у+ 1 = 0; 13) 2хз + 9у2 — 12х — бу+ 19 = 0; 14) Зх~ — 2у~+ бх+ 4у+1 = 0; 15) х~ + х — 6 = 0; 16) у~ — 5у + 11 = 0; 17) 25х~ — ЗОх+ 9 = О.
35.25. Линия второго порядка определяется уравнением хт — 2у+ Л(уз — 2х) = О. Глава 1Х. Линии и поверхности второго порядка 316 Определить тип линии при каждом вещественном значении параметра Л и описать ее расположение относительно данной системы координат.
35.26. При каком необходимом и достаточном условии уравнение Ах~ + Ву~ + 2Сх + 2):)у + Е = 0 задает: 1) эллипс; 2) гиперболу? Система координат аффинная. 35.27. Используя метод вращений, определить форму и расположение на плоскости следующих линий второго порядка: 1) хй — 2ху + у~ — 10х — бу + 25 = 0; 2) ху+ х+ у = 0; 3) 5хз+ 8ху+ 5уз — 18х — 18у+ 9 = 0; 4) 5х~ + бху + 5у — 16х — 1бу — 16 = 0; 5) хэ + 2ху+ уз — 8х+ 4 = 0; 6) 5х~ + 4ху + 8у~ — 32х — 56у + 80 = 0; 7) 5х~ + 12ху — 22х — 12у — 19 = 0; 8) 4х~ — 12ху + 9у~ — 2х + Зу — 2 = 0; 9) 4ху + Зу~ + 1бх + 12у — Зб = 0; 10) 2х~ + 4ху + бу~ — бх — 8у — 1 = 0; 11) бху — 8у~ + 12х — 2бу — 11 = 0; 12) 4х~ — 4ху + у~ — 2х — 14у + 7 = 0; 13) хз — 4ху + 4уз + 4х — Зу — 7 = 0; 14) 4х~ — 4ху + у~ — бх + Зу — 4 = О.
35.28. Линия второго порядка определяется уравнением хх + 2Лху + уз = 1. Определить вид линии при каждом вещественном значении параметра Л и описать ее расположение относительно данной системы координат. 336. Эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды э „э хг — + — + — =1, оз Ь2 сз (36.1) называется эллиасоидом (рис, 1). Уравнение (36.1) называется каноническим уравнением эллипсоида, а соответствующая система координат Охух — канонической для данного эллипсонда. Числа а,Ь,с в каноническом уравнении (36.1) называются полуосями эллипсоида, Если а,Ь,с попарно различны, то эллипсоид называется трехосным.
Если две полуоси эллипсоида совпадают, то такой эллипсоид называ- Эллипсоиды. Поверхность, определяемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат Охре ураннением 336. Эллипеоиды, гиперболоиды, параболоиды 317 Рис. 1 где )Л( < 1. Пример 36.1. Дан эллипсоид г г — -~- — +г =1 9 4 (36.2) и плоскость (36.3) Зг + 4у+ бг — 12 = О.
Установить, пересекает ли эта плоскость эллипсоид, и в случае положительного ответа найти центр линии сечения. Решение. Плоскость (36 3) проходит через три точки Мо(0,0,2), Мг(6, О, — 1), Мг(0,6, — 2). Если за направляющие векторы этой плоскости взять векторы ег = (6, О, — 3) и ег = (О, б, — 4), то ее параметрическое уравнение будет иметь вид < х = би, у = би, г = 2 — Зи — 4о. (36.4) ется эяяипсоидом вращен л. Если же а = Ь = с, то эллипсоид (36.1) является сферой радиуса а с центром в начале координат. Эллипсоид обладает следующими простейшими свойствами, 1'. Координатные плосхости канонической системы координат эялипсоида являются пяосхостями симметрии, координатные оси — осями симметрии, а центр хоординатп — центрам симметрии эллипсоида. Координатные оси канонической системы координат называются главными осями, а начало координат — центром эллипсоида.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
