Том 1 (1113039), страница 58
Текст из файла (страница 58)
36.53. Составить уравнение поверхности, образованной прямой, которая скользит по прямым х — 6 у х — 1 х у — 8 в+4 и 3 2 1 3 2 — 2 329 ~37. Конусы и цилиндры оставаясь все время параллельной плоскости 2х + Зу — 5 = О. 36.54. Определить вид линии пересечения поверхностей х + г у2 = 2» и х2+ у2+»2 = 8. .2 2 36.55. Доказать, что эллиптический параболоид — + — = 2» 25 16 и сфера х2+ у» +»2 = 50» пересекаются по двум окружностям.
Найти центры и радиусы этих окружностей. 36.56. Найти линию пересечения поверхностей х»+ у2»2 = о» х» у» = 2а», 36.57. Написать уравнения проекций линии пересечения поверхностей х» + у2 — »2 = 1,х2 — у2 = 2» на координатные плоскости и выяснить, что представляет собой эта линия. 337. Конусы и цилиндры Конус.
Поверхность, определяемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат Охуг уравнением хг уг гг — + — — — =О, Ьг сг (37. 1) называется конусам (рис, 1). Конус обладает следующими простейшими свойствами. 1 . Координатные паоскости ханоничесхой системы координат конуса являются плосхосгллми си.мметрии, координатные оси — осями симметрии, а начало координат — центром симмегарии конуса. Ось Ог канонической системы координат называется осью конуса, а начало координат— вершиной конуса. 2 .
Конус — неограниченнал поверхность. 3'. Сечения конуса плоскостями г = Ь, Ь ~ О, представляют собой эллипсы, полуоси которых неограниченно возрастают при Ь вЂ” ~ оо. Любое такое сечение называется направляющей конуса. Если в уравнении (37.1) конуса а = Ь, то такой конус называется круговым холусом (нли конусом вращения). 4'. Сечения конуса плоскостями х = Ь и у = Ь, Ь эв О, представляют собой гиперболы, а плоскости х = О и у = О пергсехают конус по парам пересекающихся прямых. Иэ этого свойства следует,что через кажлую точку конуса, кроме его вершины, проходит ровно одна прямолинейная образующая н все эти прялюлинейные образующие пересекаютсл в вершине конуса.
Отметим, что круговой конус можег быть получен вращением образующей конуса вокруг его оси. Ь'. Сечения конуса (37.1) плоскостя и г = )г+ сх7а и г = Ь+ су7Ь, Ь ~ О, представляют собой параболы. Таким образом, и эллипс, и гипербола, и парабола являются плоскими сечениями конуса. На этом основании эти линии обычно называют коническими сечениями. Глава 1Х. Линии и поверхности второго порядка 330 Рис.
1 П р и м е р 37.1. Определить вид поверхности, заданной в прямоугольной декартовой системе координат уравнением хз уз з = 5(( — + —. Ч32 18 (37.2) Решение. Уравнение (37.2) равносильно системе уравнений < х. у е 2 32 18 25' х>0, (37.3) Зх — у + 4з + 12 = О. Р е ш е н и е. Записав уравнение плоскости (37. 3) в параметрической форме х=-4Ч-и4-4е, у=За, з= -Зе, (37А) получим выражение пространственных координат х, у, х точки плоскости через ее плоскостные координаты и, е в системе координат (Мо; ем ез), где Мс( — 4,0,0), е1 = (1,3,0), ез = (4,0, — 3). которая определяет верхнюю часть (над плоскостью Оху) конуса, вершина которого — начало координат, а ось совпадает с осью Ох. Точки О(0, О, О) и Мо(4,3,5) лежат на конусе, поэтому образующей конуса является прямая х = 41, у = 31, з = 51.
° Пример 37.2. Определить вид сечения конусах +у = х плоскостью з 337. Конусы и цилиндры 331 Подставив (37.4) в уравнение конуса, получим уравнение линии пересечения конуса с плоскостью в плоскостной системе координат: 16+из+1биг — 8и — 32и+8ио+Оиг=9иг ч=ь 10иг-~-7ог+8ио — 8и — 32о+16=0. Применим к этому уравнению линии второго порядка на плоскости теорию инвариантов. Имеем 10 4 ~ 10 4 4 К=17>0, 1г= 4 7 ()О, Кз= 4 7 — 16 (О. -4 -16 16 Условия 1г > О, 1лКг ( 0 означают, что линией пересечения конуса плоскостью (37.3) является эллипс.
° Замечание. Плоскость (37.3) не проходит через вершину конуса и пересекает все его образующие. Можно показать, что в сечении конуса такими плоскостями всегда лежит эллипс. Пример 37.3. Определить вид сечения конусах +у = гг плоскостью (37.5) х + г -'; 1 = О. Р е ш е н и е. Параметрические уравнения плоскости (37.5) х=-и, у=и, г= — 1+и выражают пространственные координаты х, у, г точки плоскости через ее плоскостные координаты и, и в системе координат (Мо; ел, ег), где Мо(0, О, — 1), ел = (О, 1,0), ег — — ( — 1, О, 1). Подставив эти выражения в уравнение конуса, получим уравнение линии пересечения конуса с плоскостью; и +и =1 — 2и+и е=ь и = — 2(и — -), г г г г 1 2 ' которое определяет параболу. ° 3 а м е ч а н и е.
Плоскость (37.5) не проходит через вершину конуса и параллельна только одной образующей (х = 1, у = О, г = — 1). Можно показать, что в сечении конуса такими плоскостями всегда лежит парабола. Пример 374. Определить вид сечения конусахг+у = гг плоскостью (37.6) х — 4=0, Решение. Подставив параметрические уравнения х = 4, у = и + и, г = и — и плоскости в уравнение конуса, получим уравнение линии пересечения конуса с плоскостью: ии+16 = 0 в плоскостной систелге координат (Мо, ем ег), где Мо = (4,0,0), ел (О, 1, 1), ег = (О, 1, -Ц.
Полученное уравнение определяет гиперболу. ° Замечание. Плоскость (37.6) не проходит через начало координат и параллельна двум образующим конуса. Можно показать, что в сечении конуса такими плоскостялги всегда лежит гипербола. Цилиндры. Поверхности, определяемые в некоторой прямоугольной Глава 1Х. Линии и поверхности второго порядка 332 декартовой системе координат Охуг уравнением 2 2 — + — =1, а2 Ь2 (37. 7) 2 2 — — — =1, 22 Ьг (37.8) у = 2рх, 2 (37.9) называются соответственно эллиптическим, гиперболическим и параболи- ческим цилиндрами (рис. 2-4). Рис.
3 Рис. 4 Рис. 2 Е~илицдры обладают следующими простейшими свойствами. 1 . Для эллиптического и гиперболического цилиндров координатные лоскости каноничесхой системы координат цилиндра лвллютсл плоскостпями симметрии, координатные оси — осями симметрии, а каоюдая точка оси Ог — центрам симметрии цилиндра. Ось Ог канонической системы координат называются осью цилиндра. 2'. Длл параболического цилиндра (37.9) коортйтнатная плоскость Охг является плоскостью симметприи, координатпная ось Ох — осью симметрии.
Центра симметрии параболический цилиндр не имеет. 3'. Все сечения цилиндров плоскостями г = Ь, 6 й К, одинаковы и являютпслт эллипсами длл эллиптичесхого цилиндра, гиперболами для гиперболического и парабол ми для параболического цилиндра. Любое сечение цилиндра плоскостью г = 6 называется его направляющей. Если в уравнении (37.7) эллиптического цилиндра а = Ь, то такой цилиндр называется круговым. 4'. Прямые, проходящие через точку цилиндров (37.7) — (37.9) параллельно оси Ог, являютсл прямолинейными образующими. Отметим, что поверхности (37.7), (37.8) и (37.9) могут быть получены движением образующей, когда какая-либо точка на образующей описывает х уг 2 2 соответственно эллипс — + — = 1, г = О, гиперболу — — — = 1, г = О, и аг Ьг аз Ь2 ~37.
Конусы и цилиндры 333 параболу у = 2рх, х = О. П ример 37.5. Выяснить, по какой линии пересекаются цилиндр (37.10) х +2р =1 н плоскость р — х = 2. (37. 11) Система координат прямоугольная. Решение. Выберем ортонормированный базис плоскости (37.11) из ее направляющих векторов — например, из векторов е1 = (1,0,0), ез 1 1 (О, —, — ), и дополним его до ортонормированного базиса всею пространъ'2 чГ2 1 1 ства вектором ез = (О, —, — — ).
Тогда (как следует из 123) новые коордихГ2 хУ2 наты х', у', з' точки пространства будут связаны со старыми координатами х, у, х по формулам 1,, 1 х=х, и= — (у +х), х= — (у — х). чг2 ьг2 Отсюда и из (37.10) и (37.11) следует, что координаты точки искомого сечения в новой системе координат должны удовлетворять соотношениям; Е 3 ~)2+2(У + ) 1 ( (.') +( '+Я)~ Таким образом, искомым сечением является окружность радиуса 1 с центром в точке х' = О, у' = — ~/2, х' = ч'2 или, что то же самое, х = О, у=О,з= — 2. ° 3 А Д А 'Ч И В задачах этого параграфа считается, что система координат прямоугольная декартова. 37.1. Найти уравнение цилиндра с образующей, параллельной оси Ох и направляющей — окружностью х2 + у2 + х2 = 3, х = 1.
37.2. Образующая цилиндра параллельна оси Ох, его направляющая — окружность х2 + у2 = 2х, х2 + уз + х2 = 8. Найти уравнение цилиндра. 37.3. Найти уравнение конуса с вершиной в точке О(0,0,0) и направляющей — окружностью х2+ уз+ хз = 1, х+ у+ х = 1. 37.4. Написать уравнение конуса с вершиной (2,3,6), зная, что плоскость Оху пересекает его по эллипсу, оси которого параллельны осям Ох и Оу, причем эллипс касается этих осей координат. 334 Глава 1Х. Линии и поверхности второго порядка 37.5. Написать уравнение поверхности, получающейся при вращении прямой у = йх + 6, г = 0 вокруг оси Ох. х — 2 у г 37.6. Прямая = — = — вращается около оси Ох.
Найти 3 2 6 уравнение описанной ею поверхности. 37.7. Написать уравнение кругового цилиндра радиуса г, осью которого является прямая х — хо у — уо х — хо а Ь с 37.8. Написать уравнение кругового цилиндра, проходящего через точку (1, — 2, 1), осью которого служит прямая х у — 1 в+3 1 2 — 2 37.9. Составить уравнение кругового цилиндра, образующие которого касаются сферы х2 + у~ + г~ = 1 и составляют равные углы с осями координат. 37.10.
Найти острый угол между образующими конуса х~ + у~ — г2 = О,по которым его пересекает плоскость 5х + 10у = 11х. 37.11. Найти уравнение семейства прямолинейных образующих цилиндра х2 — у~ = 1. 37.12. Найти уравнение семейства прямолинейных образующих конуса х~ + у~ — х~ = О. 37.13. Показать, что линия пересечения двух цилиндров х~+ у = 1 и х + х = 1 не является плоской кривой. 37.14. Доказать, что линия пересечения двух параболических цилиндров у~ = х и г~ = 1 — х лежит на круговом цилиндре.
Каково уравнение этого цилиндра? Является ли рассматриваемая линия пересечения плоской кривой? 37.15. Показать, что сечение конуса х~ + 2у~ — 4г~ = 0 плоскостью х+ 2х = 5 представляет собой параболу. Найти ее фокус и ось симметрии. 37.16. Показать, что сечение конуса х2+ 2у — 4х~ = 0 плоскостью х — г = 2 представляет собой гиперболу. Найти ее центр и полуоси. 37.17. Показать, что сечение конуса х~ — 2уз — 4хз = 0 плоскостью 2х+ х + 5 = 0 представляет собой эллипс. Найти его центр и полуоси. 37.18. Доказать, что плоскость — б~ух бх = О пересекает 338. Поверхности, заданные общими уравнениями 335 эллиптический цилиндр х2 у2 — + — =1, а>5, а2 )12 по окружности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
