Том 1 (1113039), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Линии и поверхности второго порядка эллипса с угловым коэффициентом Й1 = — Ьз/(Йа2). 34.10.4. Доказать, что сторона ромба, вписанного в эллипс хэ уз — + — = 1, пересекает большую ось эллипса в точке с абсциссой а~ Ь' аЬЛ + /с~ йъ'а~ + Ь2 где Й вЂ” угловой коэффициент этой стороны.
34.11. Доказать, что если 41 и Ыз — длины взаимно перпендикулярных диаметров эллипса, то величина Н~ + д~ постоянна. 34.12. Написать уравнения эллипса и гиперболы с фокусами (7,0) и ( — 7,0), проходящих через точку ( — 2,12). 34.13. Составить каноническое уравнение гиперболы, если: 1) действительная и мнимая полуоси соответственно равны 5 и3; 2) фоквльное расстояние равно 10 и вещественная полуось равна 4; 3) вещественная полуось равна 24 и эксцентриситет е = Я; 4) действительная полуось равна 8, а угол ~р между асимптотой и действительной осью равен вгсг8 з; 5) расстояние между вершинами равно 10, а расстояние между фокусами равно 12; 6) действительная полуось равна 1/2, а точка (1,3) принадлежит гиперболе; 7) угол между асимптотами, содержащий фокус, равен 60', а расстояние от директрисы до ближайшей вершины равно 3(2— ъ'3)/2; 8) эксцентриситет гиперболы равен 7/5, а расстояние от вершины до ближайшего фокуса равно 2; 9) точка ( — 1, 3) принадлежит гиперболе, а асимптотами являются прямые р = х2х.
34.14. Известно, что фокус гиперболы имеет координаты (3,0), ему соответствует директриса х = — 1/5, а эксцентриситет е равен 5/3. Найти второй фокус и вторую директрису этой гиперболы. 34.15. Пусть две гиперболы имеют общие асимптоты. Доказать, что: 1) если эти гиперболы лежат в одной и той же паре вертикальных углов, образованных их асимптотами, то нх эксцентри- 934. Эллипс, гипербола и парабола 301 ситеты равны между собой; 2) если эти гиперболы лежат в разных парах вертикальных углов, образованных их асимптотами, то произведение их эксцентриситетов больше или равно 2, причем это произведение равно 2 только для равносторонних гипербол. 34.16. Написать уравнение гиперболы, зная четыре точки (ф4, 2), (~4, — 2) пересечения ее директрис и асимптот.
34.17. Найти эксцентриситет равносторонней гиперболы. 34.18. Дана равносторонняя гипербола х~ — у~ = 8. Найти гиперболу с теми же фокусами, проходящую через точку М( — 5, 3). 2 2 34.19. На гиперболе — — — = 1 найти точку, для которой 16 9 фокальпыс радиусы взаимно перпендикулярны.
34.20. Доказать, что произведение расстояний от любой точки гиперболы до двух ее асимптот есть величина постоянная. 34.21. Составить уравнение такой хорды гиперболы хэ уэ — — — = 1, которая точкой М(5, 1) делится пополам. 9 4 34.21.1. Доказать, что любая прямая пересекает гиперболу пе более чем в двух точках. 34.21.2. Хордой гиперболы называется отрезок, концы которого лежат на гиперболе.
Показать, что хорды гиперболы лежат на прямых, не параллельных ее асимптотам. 2 2 34.21.3. Найти длину хорды гиперболы — — — = 1, если а~ Ь~ ее угловой коэффициент равен Ь (к~а~ — Ь2 ф О) и она проходит через точку (хс,0) действительной оси гиперболы. 34.21.4. Доказать, что при 1/с! с ~Ь/с( хорда гиперболы х2 у2 — — — = 1 с угловым коэффициентом Ь соединяет две раза~ Ь~ личные ветви гиперболы. Показать, что среди всех таких хорд наименьшую длину имеет хорда, проходящая через центр гиперболы. Эта хорда называется диаметром гиперболы. 34.21.5.
Доказать, что две параллельные хорды гиперболы равны тогда н только тогда, когда они симметричны относительно центра гиперболы. 34.21.6. Многоугольник называется вписанным в гиперболу, если все его вершины принадлежат этой гиперболе. Доказать, что диагонали параллелограмма, вписанного в гиперболу, явля- 302 Глава 1Х. Линяя и поверхности второго порядка ются его диаметрами.
34.21.7. Доказать, что стороны прямоугольника, вписанного в гиперболу, параллельны ее осям. х у 34.22. Дана гипербола — — — = 1. Найти вершины квадрат~ та, вписанного в эту гиперболу, и указать, в каком случае такое построение возможно. 34.22.1. Стороны квадрата, вписанного в гиперболу, прохо- дят через ее фокусы. Найти ее эксцентриситет. 34.23. Составить каноническое уравнение параболы, если; 1) расстояние от фокуса до вершины параболы равно 3; 2) расстояние от фокуса до директрисы равно 12; 3) длина хорды, проходящей через фокус параллельно дирек- трисе, равна 5; 4) длина хорды, проходящей через фокус под углом 45' к оси параболы, равна 18.
34.24. Найти координаты фокуса и уравнение директрисы параболы у~ = бх. 34.25. На параболе у~ = 8х найти точку, фокальный радиус которой равен 20. 34.26. На параболе уэ = 10х найти точку М такую,что: 1) прямая, проходящая через точку М и фокус параболы, образует с осью Ох угол 60', 2) площадь треугольника с вершинами в искомой точке М, фокусе параболы и точке пересечения оси параболы с директри- сой равна 5; 3) расстояние от точки М до вершины параболы равно рас- стоянию от точки М до фокуса; 4) расстояния от точки М до вершины параболы и до фокуса параболы относятся как 8: 7. 34.27. Через фокус параболы у~ = 2рх проведена хорда, пер- пендикулярная к ее оси.
Определить длину этой хорды. 34.28. Найти такую хорду параболы уа = 4х, которая точкой (3, 1) делится пополам. 34.29. Найти длину стороны равностороннего треугольника, вписанного в параболу у~ = 2рх так, что одна из вершин тре- угольника совпадает с вершиной параболы. х~ у~ 34.30. Написать уравнение касательной к эллипсу — + — = 32 18 ~34. Эллипс, гипербола н парабола 303 1 в точке М(4, 3). х2 у2 34.31. Составить уравнения касательных к эллипсу — + — = 25 16 1, проходящих через точку И(10, 4).
34.32. Дана прямая х+ у — 1 = О. Составить уравнения каса- .2 2 тельных к эллипсу — + — = 1: 1) параллельных данной прямой; 16 9 2) перпендикулярных данной прямой. 34.33. Доказать, что произведение расстояний от фокусов эллипса до любой его касательной есть величина постоянная, равная квадрату малой полуоси.
х у 34.34. Дан эллипс — + — = 1 и прямая Ах + Ву + С = а2 В2 О. Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы данная прямая: 1) пересекала эллипс в двух точках; 2) касалась эллипса; 3) не имела с эллипсом общих точек. 34.35. Эллипс, имеющий фокусы в точках Е1( — 3, 0), Р2(3, 0), касается прямой х + у — 5 = О. Составить уравнение эллипса. 34.36. Найти геометрическое место точек, из которых можно провести взаимно перпендикулярные касательные к эллипсу х2 у2 — + — = 1. а2 52 34.36.1. Точка М называется виугпренней по отношению к эллипсу, если любая прямая, проходящая через М, пересекает эллипс в двух точках.
Найти условие, необходимое и достаточное для того, чтобы точка М(хс,уе) была внутренней для эллипса х2 у2 — + — = 1. а2 62 34. 36.2. Доказать, что точка М будет внешней по отношению к эллипсу тогда и только тогда, когда из М можно провести к этому эллипсу две различные касательные. 34.37. Составить уравнение касательной к гиперболе х2— у = 8 в точке М(3, — 1). 34.38. Составить уравнение касательных к гиперболе х 2 — = 1, проходящих через точку М(1, 4). 304 Глава 1Х. Линии и поверхности второго порядка 34.39.
Составить уравнение касательной к гиперболе хг уг — — — = 1, если касательная: 9 36 1) параллельна прямой Зх — у — 17 = 0; 2) перпендикулярна к прямой 2х + 5у + 11 = О. 34.40. Составить уравнение гиперболы, зная уравнения ее 1 асимптот у = х-х и уравнение одной из ее касательных 5х— 2 бу — 8=0. 34.41. Гипербола, оси которой совпадают с осями координат, касается прямой х — у — 2 = 0 в точке М(4, 2).
Составить уравнение этой гиперболы. уг 34.42. Даны гипербола — — — = 1 и прямая Ах+ Ву + С = аг бг О. Найти необходимые и достаточные условия для того, чтобы данная прямая: 1) касалась гиперболы; 2) пересекала каждую ветвь гиперболы ровно в одной точке; 3) пересекала одну из ветвей гиперболы в двух точках; 4) пересекала ровно одну ветвь гиперболы в единственной точке. 34.43. Дана произвольная гипербола. 1) Существует ли общая касательная к обеим ветвям гиперболы? 2) Существует ли прямая, пересекающая каждую ветвь гиперболы в двух точках? г г 34.44.
Можно ли к гиперболе — — — = 1 провести касательаг бг ные с любым угловым коэффициентом 1с и если нет, то какому ограничению должен удовлетворять параметр?с? 34.45. При каком условии из точки М(хс,уе) к гиперболе г г — — — = 1 можно провести две касательные? Составить ураваг бг нения этих касательных. 34.46. Определить произведение расстояний от фокусов гихг уг перболы — — — = 1 до какой-либо ее касательной. аг бг 34.47. Найти площадь треугольника, образованного асимп- 934. Эллипс, гипербола и парабола 305 х2 у2 тотами гиперболы — — — = 1 и произвольной касательной к о2 52 этой гиперболе. 34.48.
Доказать, что точка гиперболы служит серединой от- резка касательной к этой гиперболе, заключенного между асимп- тотами. 34.49. Эллипс и гипербола имеют общие фокусы. Доказать, что они пересекаются под прямым углом, т.е. касательные, по- строенные в точке пересечения к этим эллипсу и гиперболе, вза- имно перпендикулярны. 34.50. Найти геометрическое место точек, из которых можно провести взаимно перпендикулярные касательные к гиперболе х2 у2 — — — = 1.
а2 Ь2 34.50.1. Точка М называется епутренней по отношению к гиперболе, если любая прямая, проходящая через М и не парал- лельная ни одной из асимптот, пересекает гиперболу в двух точ- ках. Найти условие, необходимое и достаточное для того, чтобы х2 у2 точка М(хо, уо) была внутренней для гиперболы — — — = 1. а2 52 34.50.2.
Доказать, что точка М, не совпадающая с центром гиперболы, будет внешней для этой гиперболы тогда и только тогда, когда из М можно провести к гиперболе по крайней мере одну касательную, 34.51. Дано уравнение касательной х — Зу+ 9 = 0 к параболе у2 = 2рх. Составить уравнение параболы. 34.52. Дана парабола у2 = 2рх и прямая Ах+ Ву + С = О. Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы данная прямая: 1) касалась параболы; 2) пересекала параболу в одной точке; 3) пересекала параболу в двух точках; 4) не имела с параболой общих точек.
34.53. Доказать, что если из любой точки, не лежащей на параболе, можно провести либо две,либо ни одной касательной к этой параболе. 34.54. Найти геометрическое место середин отрезков каса- тельных к параболе у2 = 2рх, заключенных между осями коор- динат. 306 Глава 1Х. Линии и поверхности второго порядка 34.54.1. Найти геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из фокуса параболы у~ = 2рх на ее касательные. 34.55.
Найти геометрическое место точек, из которых можно провести взаимно перпендикулярные касательные к параболе уз = 2рх. 34.55.1. Точка М называется внутренней по отношению к параболе, если любая прямая, проходящая через М и пересекающая ось параболы, имеет с этой параболой две общие точки. Найти условие, необходимое и достаточное для того, чтобы точка М(хо, уо) была внутренней для параболы уз = 2рх. 34.55.2. Доказать, что точка М будет внешней для параболы тогда и только тогда, когда из М можно провести к этой параболе две различные касательные.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
