Том 1 (1113039), страница 49
Текст из файла (страница 49)
При каком необходимом и достаточном условии две прямые 278 Глава Ъ'П1. Прямая и плоскость в пространстве 31.20. Найти точку встречи прямой х = 2~, у = 1 — 1, г = 3+1 с плоскостью х + у + г — 10 = О. 31.21. Составить уравнения прямой, лежащей в плоскости у + 2х = 0 и пересекающей прямые х = 1 — 1, у = 1, х = 41 и х = 2 — 1, у = 4 + 21, г = 1.
31.22. Составить уравнения прямой, проходящей через точку (3, — 1, — 4), пересекающей ось Оу и параллельной плоскости у + 2х = О. 31.23. Составить уравнения прямой, параллельной прямой х — Зу+ г = О, х+ у — г+ 4 = 0 и пересекающей каждую из двух прямых х = 3+ 1, у = — 1+ 21, г = 41 и х = — 2+ 31, у = — 1, х = 4 — ~. 31.24. Составить уравнения прямой, проходящей через начало координат и пересекающей каждую из двух прямых х = 1, у = 1 — 1, г = 3+1 и х = 2+ 21, у = 3 — 1, г = 4+ 3~. 31.25. Составить уравнения прямой, проходящей через точку (2, 3, 1) и пересекающей каждую из двух прямых х + у = О, х— у+ в+ 4 = 0 и х+ Зу — 1 = О, у+ х — 2 = О.
31.26. При каком необходимом и достаточном условии прямая х = хо + т1, у = ус + Ы, г = хо + И пересекает треугольник с вершинами в точках М,(х;, у;, г,), 4 = 1, 2, 3? 31.27. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат и через прямую х = 3 — 2~, у = 1+ 1, г = 1. 31.28. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку (1, 2, 3), параллельной прямой х = у = х и отсекающей на осях Ох и Оу равные отрезки. 31.29. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку ( — 2, 3, 0) и через прямую х = 1, у = 2 + ~, х = 2 — 1.
31.30. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку ( — 3, 1, 0) и через прямую х+2у — с+4 = О, Зх — у+2г — 1 = О. 31.31. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую х = 2+ 31, у = — 1+ 61, г = 41 и параллельной прямой х = — 1 + 21, у = 31, х = — ~. 31.32. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось Оу и параллельной линии пересечения двух плоскостей х+ 4у— 2г + 7 = 0 и Зх+ 7у — 2г = О. 31.33. При каком необходимом и достаточном условии отрезок прямой х = хо + т1, у = ус + п1, х = хо + И между двумя пересекающимися плоскостями А;х+ В;у+ С,х+ В, = О, 1 = 1, 2, 279 232. Метрические задачи в пространстве лежит в остром угле, образованном этими плоскостями? Система координат прямоугольная.
31.34. Показать, что прямые х = 1+ 21, у = 2г, х = 1 и х = 11+ 81, у = 6+ 41, х = 2+ 1 пересекаются, и написать уравнения биссектрисы тупого угла между ними. Система координат прямоугольная. 31.35. Написать уравнения биссектрисы тупого угла между прямой < х — 2у — 5 = О, у — 4х+14 = 0 и ее ортогональной проекцией на плоскость х+у+1 = О.
Система координат прямоугольная. 31.36. Доказать, что уравнение пучка плоскостей с осью х — хо у — уо х — го т и Й имеет вид о +)1 +7 =О, х хо У Уо х хо т п )с где произвольные постоянные гг,)э, у Е К таковы, что сг+)3+ 7=0. 332. Метрические задачи в пространстве Пусть Охуе — прямоугольная декартова систелла координат пространства. Угол р между прямыми 1,. г = г; Ч- 1а„л = 1,2, совпадающий с углом между их направляющими векторами а. = (т„п„)с,), вычисляется по формуле тлтт + пепе + Йлйт сов х Угол р между прямой1: г = го+га и плоскостью я: Ах+Во+Се+О = О находится как дополнительный к углу между направляющим вектором прямой а = (т, и, 1е) и вектором нормали к плоскости и = (А, В, С) и вычисляется по формуле [Ат + Вп + С1с[ гйп ло— О ( р й я/2. ;.— „е,я,е о Расстояние р(Мм О от точки Мл( гл ) до прямой 1: г = го+1 а находится как высота 1л параллелограмма, построенного на векторах а и М1 Мо: [[а, гл — го)[ (32.1) Расстоянием мехсф1 скрещивающимися прямыми 1п г = г, + газ л = 1, 2, называется кратчайшее расстояние между точками этих прямых.
Оно 280 Глава Ъ'1П. Пряман и плоскость в пространстве совпадает с длиной общего перпендикуляра к прямым 1~ и !м т.е. с расстоя- нием метлу параллельными плоскостями, в которых лежат прямые (~ и (х Это расстояние р(!и !з) находится как высота параллелепипеда, построенно- го на векторах М)Мг, ам аз: ((гг — гм ам аз)~ /(ам аз)( (32.2) Соотношения (32.1) и (32.2), вообще говоря, не связаны с системой координат. В случае прямоугольной декартовой системы координат они сводятся к простейшим формулам вычисления векторного произведения, смешанного произведения и длин векторов по их координатам в ортонормированном базисе.
Пример 32.1. Доказать, что прямая 1, проходящая через точку А(1,2,3) и пересекающая прямые х — 2 у — 8 я+3 2 -9 6 х — 1 у — 1 х — 1 2 — 1 2 х — 1 у — 1 з — 1 2 — 1 2 =0 ~ 2х+2у — х — 3=0, 0 1 2 х — 2 у — 8 с+3 2 — 9 6 = 0 ~=; бх+ бу+ я — 57 = О, 1 6 — 6 поэтому направляющим вектором прямой ! будет вектор (8, — 8, 0) (являющийся векторным произведением векторов нормали к плоскостям х~ и ят) или коллинеарный ему вектор а = (1, — 1,0). Направляющими векторами прямых П и !з являются векторы а~ = (2, — 1,2) и аз = (2, — 9,6). Угол т между прямыми 1 и (~ определяется из соотношения ~(а, а~)( 1 совф = = — е==' ф = —, (а~.(а ~ у2 4' а угол ф между прямыми ! и !т — из соотношения совФ = ' = — Е=Ь у~ = — = 1с.
° (а! . (аз) т/2 4 П р и м е р 32.2. Составить уравнение прямой (, проходящей через точку А(1, О, О), отстоящей от оси Оя на расстояние 1/тг5 и образующей с осью Ое 2 угол х = атосов —. Система координат прямоугольная. 3' образует с этими прямыми равные углы. Система координат прямоугольная. Решение. Прямая ! является линией пересечения плоскостей хг и тж проходящих через точку А и одну из данных прямых. Плоскости я~ и яз определяются уравнениями 332.
Метрические задачи в пространстве 281 Решение. Пусть ал = (1,ти, и» вЂ” направляющий вектор искомой прямой. Ось Оз проходит через точку 0(0, О, 0) и имеет направляющий вектор аз = (0,0, 1). Согласно (32.2) ((ОА, ал, аз)( ((аи аз»( Имеем 1 0 0 т и 0 0 1 ез ез ги и 0 1 (ОА, ал, аз) = ел (а„аз» = О = (т,— 1,0) и ((ал, аз»( =;/те+ 1э, поэтому 1 (т( эгб л/щ2 + 12 Так как координаты вектора а определены с точностью до постоянного множителя, можно считать, что (т( = 1, т т 1~ = 5. Отсюда получим четыре пары ((,т): (2,1), ( — 2,1), (2, — 1), (-2, -1). Угол между векторами ал и ал равен либо Эл, либо х — Зл; поэтому согласно (32.1) и и 2 =х-.=ы и=х2.
л Каждое из этих значений и дает четыре тройки координат (1, т, и». Отобрав из них неколлинеарные векторы, получим четыре прямые: х — 1 у з х — 1 у ~2 1 ~2 ~2 1 ~2' ЗАДАЯИ В задачах этого параграфа считается, что система координат прямоугольная декартова. Случай произвольной аффинной системы координат оговаривается особо. 32.1. Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из точки (3, — 2,4) на плоскость 5х+ Зу — 7г+ 1 = О. 32.2. Найти ортогональную проекцию точки (1,2,— 3) на плоскость бх — у + Зх — 41 = О.
32.3. Составить уравнение ортогональной проекции прямой 2х + у — х + 4 = О, х + у = О на плоскость Охз. 32.4. Составить уравнение ортогональной проекции прямой х = 3+ 5г, у = — 1+1, х = 4+( на плоскость 2х — 2у+ Зх — 5 = О. 282 Глава Ъ'П1. Прямая и плоскость в пространстве 32.5. Найти точку, симметричную точке (2, 7, 1) относительно плоскости х — 4у + 2 + 7 = О. 32.6. Составить уравнения прямой, перпендикулярной к плоскости ОХ2 и пересекающей каждую из двух прямых х = 1, у = — 4+ 1, 2 = 3 — 1 и х = 1 — 21, у = — 3+ 1, 2 = 4 — 51. 32.7. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую х хо р Уо 2 — 20 а 5 с и перпендикулярной к плоскости Ах + Ву + С2+ Р = О. 32.8. Составить уравнение плоскости, зная, что точка Р(2, б, — 4) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость.
32.9. Даны две точки А(3, — 2, 1), В(6,0,5). Составить уравнение плоскости, проходящей через точку В и перпендикулярной к прямой АВ. 32.10. Через начало координат провести плоскость, перпендикулярную к прямой х+2 у — 3 2 — 1 4 5 — 2 32.11. Написать уравнение плоскости, проходящей через точкУ (хм Ум 21) и пеРпенДикУлЯРной к пРЯмой х = хо + а1, У = уо + 51, 2 = 2о + сг. 32.12.
Написать уравнение плоскости, проходящей через точкУ (хм Ум 21) и пеРпенДикУлЯРной к пРЯмой А1х + В1у + С1 2 + Р1 = О, Аг х + Во у + С22 + Рз = О. 32.13. Найти точку, симметричную точке (4,3,10) относительно прямой х = 1 + 21, у = 2 + 41, 2 = 3+ 51. 32.14. Найти прямую, проходяшую через точку М(0,1,1), образуюшую прямой угол с прямой у + 1 = О, х + 22 — 7 = 0 и пересекающую прямую х — 1 = О, 2+ 1 = О. 32.15.
Составить уравнения прямой, пересекающей ортогонально ось Оу и прямую х = 3+ 41, у = 1 — 1, 2 = 2 + 51. 32.16. Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из точки (3, 2, 1) на ось Ох. 32.17. Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из точки ( — 1, О, 4) на прямую х = 1+ 1, у = 21, 2 = 4 — 1. 32.18. Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из ~32. Метрические задачи в пространстве 283 точки (хм ум х1) на прямую х — ха у — уо г — хо а 5 с 32.19. Найти ортогональную проекцию точки (1, 3, 5) на прямую 2х + у+ г — 1 = О, Зх + у+ 2х — 3 = О. 32.20. Написать уравнения общего перпендикуляра к двум прямым х — 1 у — 2 х — 3 х у г и 8 4 1 2 — 2 1 32.21.
Найти: 1) уравнения общего перпендикуляра к двум прямым х у+4 х х — 3 у+2 в+3 — — и 1 3 2 2 — 3 — 2 ' 2) расстояние между прямыми 11 и 12, 3) точки пересечения прямых 11 и 1т с их общим перпендику- ляром. 32.22. К непересекающимся диагоналям граней куба, имею- щих общее ребро, проведен общий перпендикуляр. В каком от- ношении точки пересечения диагоналей с их общим перпендику- ляром делят эти диагонали? 32.23. Даны три плоскости: 2х+Зу — 4х+ 5 = О, 2х — в+ 3 = О, х + у — х = О.
Через линию пересечения первых двух плоскостей провести плоскость так, чтобы линия ее пересечения с третьей плоскостью была перпендикулярна к линии пересечения первой и второй плоскостей. 32.24. Определить направляющие косинусы прямых: х — 1 у — 5 в+2 х р — 7 х+3 4 -3 12 ' 12 9 20 32.25.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
