Том 1 (1113039), страница 47
Текст из файла (страница 47)
29.90. Грани тетраэдра заданы уравнениями 8х+4у+х — 16 = О, 2х — 2у+ г+ 5 = О, х+ у+ г + 5 = О, 4х + Зу = О. Написать уравнение плоскости, делящей пополам внутренний двугранный угол тетраэдра между первой и второй плоскостями. 29.91. Составить уравнения плоскостей, параллельных плоскости Ах + Ву + Сх + Р = 0 и отстоящих от нее на расстоянии, равном с~. 29.92. Найти расстояние д между двумя параллельными плоскостями Ах + Ву + Сх + Р1 = 0 и Ах + Вй + Сх + Рг = О. 29.93. Даны вершины тетраэдра А(0, О, 2), В(3, О, 5), С(1, 1, О) и Р(4, 1, 2).
Вычислить длину высоты, опущенной из вершины Р на грань АВС. 29.94. Внутри треугольника, высекаемого на плоскости Оху плоскостями х+4у+Зх+8 = О, х — 2у+2я+2 = О, Зх+4у+12 = О, найти точку, равноудаленную от этих плоскостей. 29.95. На оси Ог найти точку, равноудаленную от точки (2, 3, 4) и от плоскости 2х + Зу + х — 17 = О.
29.96. На оси Оу найти точки, равноудапенные от двух плоскостей х + у — х + 1 = О, х — у + х — 5 = О. 29.97. Составить уравнение плоскости, параллельной плоскости 2х+ у — 4г + 5 = 0 и отстоящей от точки (1,2, 0) на расстоянии, равном ъ'21. 29.98. Написать уравнение плоскости, отсекающей на осях координат отрезки, пропорциональные числам 1,2,3,и отстоящей от точки (3,5,7) на расстоянии, равном 4. 29.99.
Найти центр и радиус шара, вписанного в тетраэдр, ограниченный плоскостями координат и плоскостью 11х — 10у— 2г — 57 = О. 29.100. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку А(5,2,0) и удаленной от точки В(6,1, — 1) на расстоянии, равном 1, и от точки С(0, 5, 4) на расстоянии, равном 3. 29.101. Через линию пересечения плоскостей х+ 28у — 2х + 17 = О, 5х+8у — в+1 = 0 провести плоскости, касающиеся сферы с центром в начале координат радиуса 1.
29. 102. Составить уравнения общих касательных плоскостей к сферам с центрами (1, 1, 0), (О, 1, — 2) и радиусами 1, 2 соответственно, если известно, что они проходят через начало координат. 330. Метрические задачи в аффинной системе координат 267 29.103. Составить уравнения общих касательных плоскостей к трем сферам с центрами (0,0, 0), ( — 2,3, — 1), (3, — 1, 1) и радиусами 1, 2, 4 соответственно. 330. Метрические задачи в аффинной системе координат Пример 30.1.
Доказать, что расстояние р(Мо,1) от точки Мо(хо,уо) до прямой 1: Ах е Ву + С = 0 определяется формулой )Ахо + Вуо + С! ъЧегС р(Мо,1) = (30.1) где С = (до) — матрица Грэма базисных векторов аффинной системы координат. Р е ш е н и е. Пусть Р(хм уг) — основание перпендикуляра, опущенного из точки Мо на прямую 1. Тогда р(Мо,1) = !РМо!. Найдем вектор РМо. Для этого будем искать вектор Ь = (т, Ц, перпендикулярный прямой 1.
Так как а = ( — В, А) — направляющий вектор прямой 1, то (а, Ь) = О, т.е. ( — Вег + Аег, тег + й ег) = О, или, с учетом метрических коэффициентов д„= (е„е,), — тпВды + тАдш — ЙВдгг + 1сАдю = О. Следовательно, можно взять гп = Адгг — Вдиь )с = Вдм — Адгг (30.2) Тогда РМо — — 1 Ь, 1 Е !й и )РМо! = (1! ! Ь! = = !1! ((Адгг — Вдгг) е, +(Вдм-Адш) ег,(Адгг — Вд)г) ег+(Вдм — Адш) ег) = Таким образом, о'пег С. (30.3) (РМо! = !1! С другой стороны, РМо = (гт,гй), поэтому хг = хо — 1гп, уг = уо— 1)с. Подставив эти координаты в уравнение прямой 1, получим (с учетом соотношений (30.2)) Ахо+ Вуо+ С дог А — 2дгоАВ + дгг В' ' Отсюда и из (30.3) следует, что — !Ахо + Вуо + С! ч'пег С 268 Глава Ъ'11. Прямая на плоскости и плоскость в пространстве 3 А Д А ~Х И В задачах этого параграфа рассматривается аффинная система координат 10; еы ев) на плоскости и 10; еы ев, ев) в пространстве.
Прямая на плоскости 30.1. Найти тангенс угла о от оси Ох до прямой у = Йх+ 5, если: а) известны метрические коэффициенты ды, дпн дзз базиса ем ез; 6) известно, что ) е~! = ( ез( = 1 и ( ем ез) = ю. 30.2. Найти тангенс угла ~р от прямой у = й~х+ 5~ до прямой д = /сзх + Ьз, если: а) известны метрические коэффициенты дм, днн дзз базиса ен ез, 6) известно, что ! е~) = ) ез( = 1 и ( ем ез) = ю.
ЗО.З. Найти необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух прямых А~х+ Вгу+ С~ = О, Азх+ Взу+ Сз = О, зная метрические коэффициенты ды, дпн дзз базиса ем ез. 30.4. Базисные векторы аффинной системы координат имеют единичную длину. Определить угол м между ними, если известно, что прямые у — 2х — 3 = О и 5х+ 4у — 5 = 0 перпендикулярны.
30.5. Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из точки (хо, уо) на прямую Ах+ Ву+ С = О, если ) е~) = (ез~ = 1 и (ем ег) = ы. 30.6. Через точку (2, — 5) проведена прямая, образующая угол л/6 с прямой 4х — Зу + 1 = О. Составить уравнение этой прямой, если )е~) = ~ ез( = 1 и (е~, ез) = л/3. 30.7. Зная метрические коэффициенты ды, дпв дзз базиса аффинной системы координат, составить уравнения семейства прямых: а) перпендикулярных к оси Ох; б) перпендикулярных к оси Оу. 30.8.
Найти расстояние с1 от точки (хо,до) до прямой Ах + Ву+ С = О, зная метрические коэффициенты ды, днн дзз базиса, взаимного к базису аффинной системы координат. д30. Метрические задачи в аффинной системе координат 2б9 30.9. Найти расстояние д от точки (хо, уо) до прямой Ах + Ву+ С = О, если )е~) = (еэ( = 1 и (ем ез) = ь~. 30.10. Составить уравнения биссектрис углов между координатными осями, зная метрические коэффициенты дм, дщ, дзэ базиса аффинной системы координат.
30.11. Составить уравнения биссектрис углов, образованных прямыми х — у — 1 = О и х+ у+ 2 = О, если ды = 1, дщ = 1, д22 = 2. 30.12. Определить площадь треугольника, заключенного между осями координат и прямой Зх — 2у+ 6 = О, если известны метрические коэффициенты д, базиса аффинной системы координат Оху. 30.13. Зная метрические коэффициенты д; базиса аффинной системы координат Оху, составить уравнение прямой, отсекающей на осях координат ненулевые отрезки равной длины и проходящей через точку М(2, — 1). 30.14. Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из точки А(1,2) на прямую 2х + у — 1 = О, если !е~! = ~ ез) = 1, ( ез, ез) = 2я/3.
Какая точка является ортогональной проекцией точки А на эту прямую? 30.15. Составить уравнение серединного перпендикуляра к отрезку с концами (1, 1) и (1, 3), если ( ет) = ! ез! = 1, ( еы ез) = я/4. 30.16. Найти расстояние между параллельными прямыми Ах+ Ву+ С~ = О и Ах + Ву + Сз = О, если )ед! = ~ ез~ = 1, (еы ез) = ы. 30.17. На плоскости рассматривается аффинная система координат (О; еы ев), в которой (еь, ея) = к/3, Известно, что точка А(1,2) удалена от прямой х + у — 1 = О на расстояние 1 и ее ортогональной проекцией на эту прямую является точка В(1, 0). Найти метрические коэффициенты д; базиса.
30.18. Прямая у = 1 является биссектрисой угла между прямыми х = 1 и у = х. Найти угол ы между базисными векторами еэ, ез, если известно, что они единичные. Плоскость в пространстве 30.19. Плоскость и задана своим уравнением Ах+ Вр+ Сх+ ь' = 0 в некоторой аффинной системе координат. Доказать, что если векторы Гм Гз, Гз образуют базис, взаимный к базису дан- 270 Глава Ъ'П. Прямая на плоскости и плоскость в пространстве ной аффинной системы координат, то вектор р = А 1д+В 1г+С 4з будет перпендикулярен плоскости л.
30.20. Найти расстояние д от точки (хо, уо) до плоскости Ах+ Ву+ Сг+ Р = О, зная метрические коэффициенты д, базиса ед, ег, ез. 30.21. Найти необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух плоскостей Аьх+ Вьу+ Сьг+ Рь = О, й = 1,2, если известна матрица Грама С = (д, ) базисных векторов аффинной системы координат. 30.22.
Найти углы мелсду плоскостями Аьх+Вьу+Сьг+Рь = О, й = 1,2, если известна матрица Грама С = (дд ) базисных векторов аффинной системы координат. 30.23. Зная метрические коэффициенты д, базиса аффинной системы координат Охуг, составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(1, 2, — 3) и отсекающей на осях координат ненулевые отрезки равной длины. 30.24.
Найти объем тетраэдра, заключенного между координатными плоскостями и плоскостью 2х+ Зу — 6г+ 12 = О, если известна матрица Грама С базиса аффинной системы координат Охуг. 30.25. Известно, что )ед( = )ег( = 1, ед 1. ег, )ез) = 2, д ед, ез) = ( ег, ез) = я/3. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат, точку (1,1, 1) и перпендикулярной плоскости х + у + 2г — 4 = О, 30.26. Известно, что ~ед~ = (ег~ = 1, ед ь ег, ~ез~ = 2 (ед, ез) = (ег, ез) = 2л/3.
Составить уравнение плоскости, все точки которой равноудалены от точек 0(0,0, 0) и А(0, 0,2). 30.27. Известно, что (ед) = (ег) = 1, ед Л. ег, (ез! = 2, (ед, ез) = (е~, ез) = л/3. Для каждого значения параметра а найти угол между плоскостью х + у+ аг — 1 = 0 и ее вектором нормали и = (1,1,а). Глава Ч1П. Прямая и плоскость в пространстве ~31. 'Уравнения прямой в пространстве. Задачи взаимного расположения Прямая, проходящая через точку Мо(хо, уо, го), с направляющим вектором а = (т,п,(с) определяется уравнениями: а) х = хо+ гпй у=уо+п1,' г = гю + 1сг, е Е К, или в векторной форме (31.2) г= го+ ай 16 К, где го — радиус-вектор точки Мо; 6) (г — го,а)= О или (г, а( = М, где М = (го, а). Система уравнений (31.4) (31.5) ( Агх+ Вгу+ Сгг+ Рг = О, Агх + Вгу + Сгг+ Рг = О (31.6) в случае, если гй [ 1 В С ~ = 2, определяет прямую, являющуюся линией гАВС1 г г г пересечения плоскостей кг: Агх+ Вгу+ Сгг+ Рг = О и кг .
Агх -~ Вгу+ Сгх + Рг = О. Систему (31.6) называют общими уравнениями прямой в пространстве. Теорема 31.1. Если в аул(ганной системе координат Охуг праман 1 задана общими уравнениями (31.6), то вектор ( Вг Сг (' Аг Сг '! Аг Вг (31.7) является направляющим вектором ЭтОЙ прямой. х — хо у — уо г — го (31.3) т и )с Уравнения (31.1) и (31,2) называются параметрическими уравнениями прямой в координатной и векторной формах соответственно, уравнения (31.3) — каноническими уравнениями прялюй. Векторное уравнение (31.2) равносильно (согласно критерию коллинеарности) уравнению 272 Глава Ъ'И1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
