Том 1 (1113039), страница 45
Текст из файла (страница 45)
17х †у †, 1 Тх — у — 3=48>0, Для точки В; ( + 5 16 < О для точки С; ) + Поэтому искомая биссектриса имеет вид 7х — р — 3 5 = -(х+ у — 5) или Зх+ у — Т = О. ° Пример 29.4. Составить уравнение биссекторной плоскости тупого двугранного угла между плоскостями я1: Зх+бу — 4э+1 = 0 и яэ '. х — э-5 = О.
Система координат прямоугольная. Решение. Уравнение биссекторнык плоскостей имеет вид (см. пример 29.1 в очевидной модификации для плоскостей) )Зх+ 5у — 4э+ П )х — э — 5( (29.5) тг50 э/2 Зх -~ 59 — 4э + 1 = х — э — 5 или 2х — 59 — г — 26 = О. ° 5 Пример 295. Через точку (3,— Ц провести прямую, отстоящую от точки (2, — 3) на расстоянии 9/Л7. Решение, Пусть Ах+ Ву+ С = 0 — общее уравнение искомой прямой.
Найдем коэффициенты А, В, С, пользуясь условиями задачи. Имеем < ЗА — В+С=О, (2А — ЗВ+ С) 9 тУАТ +Вэ ~/ГТ (29,6) Так как А, В, С определены с точностью до постоянного множителя, то мож- но считать, что А +В = 17, 2А — ЗВ+С > О. Тогда система (29.6) перейдет в систему ЗА — В+С=О, 2А — ЗВ+С=9, Аэ» Вэ 17 13 16 из которой находим, что А1 = 1, В1 = 4, С1 = 3 н Аэ —— †, Вэ = — , 5' 5' 23 Сэ = — —. Таким образом, искомые прямые имеют уравнения х+ 49+ 3 = 0 5 и 13х+ 16у — 23 = О.
° П р и и е р 29.6. Основанием равнобедренного треугольника служит пря- мая х + 2у = О, а одной из боковых сторон — прямая х — у + 5 = О. Соста- вить уравнение другой боковой стороны, зная, что она проходит через точку М(4, 2). Пусть о — тупой угол межву плоскостями я1 и яэ, а х — угол между ик нормалями п1 = (3,5, — 4) и пэ = (1, О, -Ц.
Так как ( пм пэ) = 5 > О, то угол х — острый. Следовательно, о = я — х и согласно (29.3) для всех точек искомой биссекторной плоскости (Зх+ 5у — 4э + 1)(х — г — 5) > О, поэтому уравнение (29.5)приобретет аид 329. Метрические задачи в прямоугольной системе координат257 Решение. 1-й способ. Обозначим через йз,/сг,хз угловые коэффициенты основания, данной и искомой боковых сторон соответственно, через а и /3 — углы от основания до данной и искомой боковых сторон. Так как /сз = -1/2, йг = 1, /3 = -сс, то /сг — Йз Сйа = = 3, 16/3= — 3. 1+ /сз/сг С другой стороны /сз — аз "'= +,. Отсюда хз = 7 и уравнение искомой прямой имеет вид у — 2 = /сз(х — 4) с=ь 7х — у — 26 = О.
3 2-й способ. Так как Зйа = 3, то а — острый угол и з/по = —, Ло' 1 3 1 сова = —; следовательно, айпи = — —, сое/3 = —. Направляющий ,/РОО' /ТО О' з/10 вектор а = (пг, и) может быть получен поворотом направляющего вектора основания ( — 2, 1) на угол /3, поэтому Так как а // (1, 7), то исколсое уравнение имеет вид / ) = 0 е=ь 7х — у — 26=0. 3-й с п о с о 6. Пусть Ах+ Ву+С = 0 — уравнение искомой прямой. Тогда А+2В 1 з/5~/А~ + Вг ЛО Так как А и В определены с точностью до постоянного множители, то можно считать,что А + В = 2. Следовательно, А+2В = 1, ( А +В =2. 7 1 Отсюда находиы дае пары (А, В): ( — 1, 1) и ( —, — — ), которые отвечают пря- 5' 5' 1 мым, образующим с основанием угол, косинус которого равен —. Пераая ,/РОО' 7 1 пара ( — 1, 1) соответствует данной боковой стороне, а вторая пара ( —, --)— 5' 5 искомой.
Таким образолс, искомое уравнение имеет еид 7х — у + С = 0 или (с учетом того, что прямая проходит через точку М(4, 2)) 7х — у — 26 = О. ° П р и м е р 29.7, Составить уравнение прямой, отстоящей от точки М(1, 1) 1 на расстояние 5 и образующей с прямой /: Зх+ у+ 2 = 0 угол о = агссоз —. ,/РОО' 9 — 427/ 258 Глава Ъ71. Прямая на плоскости и плоскость в пространстве Решение. Поворачивая вектор 13,1) нормали к прямой 1 на угол а и -а, получим нормальные векторы п1 и пв к искомым прямым: [ е1па сова) [1) [Я01 ' пв [ — я1па сова) [1) [-8) ' Следовательно, уравнения искомых прямых имеют вид у + С = О и Зх — 4у + Р = О.
Так как р(М,1) = 5, то (С+ Ц )3 — 4+ В! 1 5 отсюда находим С1 = 4, Св = — б, Ог = 26, Ве = -24 и уравнения искомых прямых у+ 4 = О, у — б = О, Зх — 4у+ 26 = О, Зх — 4у — 24 = О. ° 3 А Д А 'Ч И В задачах этого параграфа считается, что система координат прямоугольная декартова. Прямая на плоскости 29.1. Даны вершины треугольника А(4,6), В( — 4, 0) и С( — 1, — 4). Составить уравнение высоты, опущенной из вершины А на сторону ВС. 29.2.
Найти проекцию точки ( — 5, б) на прямую 7х — 13у— 105 = О. 29.3. Найти точку, симметричную точке М( — 2,9) относительно прямой 2х — Зу+ 18 = О. 29.4. Составить уравнения высот треугольника, зная уравнения его сторон: АВ: 2х — у + 3 = О, ВС: х + 5у — 7 = О, АС: Зх — 2у+ 6 = О. 29.5. Даны две вершины треугольника А( — б, 2), В(2, — 2) и точка Н(1, 2) пересечения его высот, Вычислить координаты третьей вершины С.
29.6. В треугольнике АВС известны сторона АВ; 4х+у — 12 = О, высота ВН: 5х — 4у — 15 = 0 и высота АТл 2х+ 2у — 9 = О. Написать уравнения двух остальных сторон и третьей высоты СК этого треугольника. 29.7. Точка пересечения высот треугольника лежит в начале координат. Известны уравнения двух сторон этого треугольника: ~29. Метрические задачи и прямоугольной системе координат259 х + Зу — 1 = О, Зх + 5у — 6 = О. Составить уравнение третьей стороны. 29.8. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин А(З, — 4) и уравнения двух высот: 7х — 2у — 1 = 0 и 2х — 7у — 6 = О. 29.9.
Даны две вершины треугольника А(2, — 3) и В(5,1), уравнение стороны ВС: х+2у — 7 = 0 и медианы АМ: 5х — у — 13 = О. Составить уравнение высоты, опущенной из вершины С на сторону АВ. 29.10. На прямой х — Зу+1 = 0 найти точку, равноудаленную от двух точек ( — 3, 1) и (5,4). 29.11. Написать уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин (1,7) и уравнения 2х + Зу — 10 = О, х — 2у + 3 = 0 перпендикуляров, восстановленных в серединах сторон, выходящих из этой вершины.
29.12. Найти общую вершину М двух равнобедренных треугольников АМВ и СМР, зная концы их оснований А(0, 0), В(0,1), С( — 2,1), Р(1,1). 29.13. Дано уравнение стороны прямоугольника 2х+Зу — 6 = 0 и точка пересечения его диагоналей (5, 7). Написать уравнения остальных сторон прямоугольника, зная, что одна из них проходит через точку ( — 2, 1).
29.14. На прямой х+ у — 3 = 0 найти точку М такую, чтобы лучи МА и МВ, выходящие из этой точки и проходящие через точки А( — 2, — 1) и В(1, 3), образовывали с данной прямой равные углы. 29.15. Написать уравнения прямых, проходящих соответственно через точки (15,10) и (10,5), зная, что прямая х+2у = 0 делит пополам углы, образуемые искомыми прямыми. 29.16. Вершина треугольника находится в точке (-2,9), а биссектрисами двух его углов служат прямые 2х — Зу + 18 = О, у + 2 = О.
Написать уравнение стороны треугольника, противолежащей данной вершине. 29.17. Написать уравнения сторон равнобедренной трапеции, зная середины ее оснований (1, 1), (2, 8) и точки (4, — 3), ( — 15, 14) на ее боковых сторонах. 29.18. Дано уравнение стороны ромба х+Зу — 8 = 0 и уравнение его диагонали 2х+ у+ 4 = О. Написать уравнение остальных сторон ромба, зная, что точка ( — 9, — 1) лежит на стороне, парал- 260 Глава Ъ'11. Лрямая на плоскости и плоскость в пространстве лельной данной.
29.19. Через точку (3,1) провести прямые, наклоненные к прямой 2х + Зу — 1 = 0 под углом 45'. 29.20. Через начало координат провести прямые, образующие с прямой 5х — бу+ 2 = 0 углы, тангенсы которых равны 7/6 и — 7/6. 29.21. Даны две точки А(3, 3) и В(0, 2). На прямой х+у — 4 = 0 найти точку,из которой отрезок АВ виден под углом 45'. 29.22. Для каждой из следующих пар прямых найти тангенс угла от первой прямой до второй прямой: 1) 2х+Зу=О, х — у+5=0; 2) х — Зу+ 2 = О, 2х+ у = 0; 3) 2х+ 5у — 3 = О, 5х+ 2у — 6 = 0; 4) Зх+ 4у — 12 = О, 5х — 12у+ 60 = О.
29.23. Основанием равнобедренного треугольника служит прямая 2х + Зу = О, его вершина находится в точке (2, 6), тангенс угла при основании равен 3/2. Написать уравнения боковых сторон треугольника. 29.24. Вершина равнобедренного треугольника находится в точке ( — 7,15), а середина его основания — в точке (1,3). Составить уравнения сторон треугольника, зная, что тангенс угла при основании равен 4. 29.25.
Даны уравнения основания равнобедренного треугольника х + у — 1 = 0 и боковой его стороны х — 2у — 2 = О, точка ( — 2, 0) лежит на другой боковой стороне. Найти уравнение третьей стороны треугольника. 29.26. Основанием равнобедренного треугольника служит прямая 2х+ Зу = О, а боковой стороной — прямая 5х — 12у = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
