Том 1 (1113039), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Факт пересечения прямых 1з и 1г равносилен условию 1 Аз Вз ~ ~О. Тот факт, что прямая 1з принадлежит пучку прямых, опрег г деленному прямыми 1з и 1г, равносилен условию совпадения прямых е(Азх+Вгу+Сз) +;3(Агх+ Взу+Сг) = О и 1г,' Азх+Взу+Сз = О при некоторых и и 13 или условию аАз + 13Аг аВг е (3Вг аСз + 13Сг Аз Вз Сз ( Аз Вз Сз Это означает, что третья строка матрицы Аг Вг Сг является лиАз Вз Сз нейной комбинацией двух первых ее строк. Следовательно, искомое условие 242 Глава 1'П. Прямая на плоскости и плоскость в пространстве имеет вид 1,' А В Аз Вз Сз А В ~0, Аг Вг Сг =О. ° (27.7) Аз Вз Сз П р и м е р 27,2. Найти необходимое и достаточное условие того, что три прямые Аьх+ Вьу+ Сь = О, /с = 1, 2, 3, пересекаются в одной точке. Система координат аффинная.
Р е ш е н н е. Тот факт, что три прямые пересекаются в одной точке означает, что каждые две из них пересекаются (т.е. каждый из определителей ! Аз Аг ! ~ Аг Аз ! Аг Аз ~ отличен от нуля) и что третья праман з(' г з принадлежит пучку прямых с центром в точке пересечения двух других (т.е. А1 Вз Сз Аг Вз Сг = О, как и в (27.7)). Аз Вз Сз Таким образом, искомое условие имеет вид Аз Аг Аз Аз Аг Аз Аг Вг Сг = О, В' Вг (г.
О, ) В Вз г. О, ( Вг Вз т О. ° Аз Вз Сз Пример 27.3. Через точку пересечения прямых Зх — у = О, х+ 4у— 2 = 0 провести прямую, перпендикулярную к прямой 2х + 7у = О. Система координат прямоугольная, Решение. Искомая прямая принадлежит пучку прямых, проходящих через точку пересечения прямых Зх — у = 0 и х + 4у — 2 = 0 (эти прямые, 3 — 1 действительно, пересекаются, так как — ~ — ), поэтому она определяется 1 4 уравнением а(Зх — у) +(3(х+ 4у — 2) = 0 при некоторых а, В, одновременно не равных нулю.
Следовательно, общее уравнение искомой прямой имеет вид (за + В)х е (40 — а)у — 2В = О. Условие перпендикулярности прямых приводит к уравнению относи- тельно а и 13. 2(За+ д) + 7(40 — а) = 0 ч=ь а = ЗОВ. Положив В = 1, получим искомое уравнение 91х — 26у — 2 = О. ° ЗАДАЧИ В задачах этого параграфа считается, что система координат произвольная аффинная. Случай прямоугольной декартовой системы координат оговаривается особо.
Прямые на плоскости 27.1. Установить, какие из следующих пар прямых совпадают, параллельны или пересекаются; в последнем случае найти З27. Задачи взаимного расположения прямых и плоскостей243 точку пересечения: 1) х+у — 3=0, 2х+Зу — 8=0; 2) х — у + 5 = О, 2х — 2у + 3 = 0; 3) х — 2у + 4 = О, — 2х + 4у — 8 = 0; 4) х+ у+ 5 = О, 2х+Зу+10 = 0; 5) 2х+ Зу — 1 = О, 4х+ бу — 7 = 0; 6) 7х+ 9у — 62 = О, Зх+ Зу+ 2 = О. 27.2.
Даны две прямые, из которых одна задана своим общим уравнением Ах+ Ву+ С = О, а другая — параметрически: х = хо + а1, у = уо + Ы. Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы эти прямые; 1) пересекались; 2) были параллельны; 3) совпадали. 27.3.
Две прямые заданы своими параметрическими уравнениями: х = х1+ а11, у = у1 + 511 и х = хг + аз1, у = уз + бе~. Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы эти прямые: 1) пересекались; 2) были параллельны; 3) совпадали, 27.4. Установить, какие из следующих пар прямых совпадают, параллельны или пересекаются; в последнем случае найти точку пересечения: 1) Зх+4у+5=0; х= — 3+4г, у=1 — 31; 2) 2х — 5у — 7 = 0; х = 2+ 1, у = — 9 — 1; 3) бх — Зу+ 5 = 0; х = 5+ ~, у = — 3+ 2Ф; 4) 2х+ 5у — 38 = 0; х = — 2+ 21, у = -9+ 51; 5) Зх+ 9у — 6 = 0; х = 2+ 3~, у = — ~. 27.5. Установить, какие из следующих пар прямых совпадают, параллельны или пересекаются; в последнем случае найти точку пересечения: 1) х=З+1, у=2 — т; х=Зт, у= — 21; 2) х=5+4~, у= — 2 — 2~; х=1 — 2~, у=7+1; 3) х = 4 — 81, у = 2+ 6~; х = -4+ 4~, у = 8 — З~.
27.6. Через точку (7, 4) провести прямую, параллельную прямой Зх — 2у+ 4 = О. 27.7. Составить уравнение прямой, проходящей через точку ( — 8,1) параллельно прямой х+ у+ 7 = О. 27.8. Через точку М(2, 5) провести прямую, равноудаленную от точек Р( — 1, 2) и Д(5, 4). 27.9. Даны середины М1(2, 3), Мг( — 1,2) и Мз(4,5) сторон треугольника. Составить уравнения сторон. 27.10. Зная уравнения двух сторон параллелограмма х — Зу = 244 Глава ИЕ Прямая на плоскости и плоскость в пространстве О, 2х + 5у + 6 = 0 и одну из его вершин С(4, — 1), составить уравнения двух других сторон параллелограмма. 27.11. Даны вершины треугольника А( — 1,2), В(3,— 1) и С(0,4).
Через каждую из них провести прямую, параллельную противолежащей стороне треугольника. 27.12. Написать уравнение прямой, параллельной прямой 2х+ 5у = 0 и образующей вместе с осями координат треугольник, площадь которого равна 5. Система координат прямоугольная декартова. 27.13. Составить уравнение прямой, параллельной и равноудаленной от параллельных прямых х+ у — 1=0, х+ у — 13=0. 27.14. Доказать, что условие Ах~ + Ву1 + С = Ахв + Вуз + С необходимо и достаточно для того, чтобы прямая Ах+Ву+С = 0 была коллинеарна прямой, проходящей через точки М~(хм у1) и Мз(хз, у2), т.е. была ей параллельна или с ней совпадала. 27.15. Даны уравнения двух сторон параллелограмма х — у— 1 = О, х — 2у = 0 и точка пересечения его диагоналей М(3, — 1).
Написать уравнения двух других сторон параллелограмма. 27.16. Составить уравнения сторон параллелограмма АВСР, зная, что его диагонали пересекаются в точке М(1,6), а стороны АВ, ВС, СР и РА проходят соответственно через точки Р(3,0), Я(б,б), В(5,9), Я( — 5,4). 27. 17. Даны вершины треугольника А(0, 1), В ( — 2, 5), С(4, 9). Составить уравнения сторон ромба, вписанного в данный треугольник, если одна из его вершин совпадает с точкой А, стороны, выходящие из вершины А, лежат на сторонах АС и АВ данного треугольника, а вершина, противолежащая вершине А, расположена на стороне ВС.
Система координат прямоугольная. 27.18. В параллелограмме АВСР даны уравнения сторон АВ: Зх + 4у — 12 = 0 и АР: 5х — 12у — 6 = 0 и точка Е( — 2, 1з) — середина стороны ВС. Найти уравнения двух других сторон параллелограмма. 27.19. Определить взаимное расположение трех прямых в каждом из следующих случаев: 1) 2х+у — 3=0, Зх — 2у+5=0, 5х — у+2=0; 2) х — 2у+ 3 = О, 2х — 4у+ 7 = О, Зх — бу+ 4 = 0; 3) х+ 4у — 5 = О, х — 2у+ 7 = О, х+ 3 = 0; 4) х — у+3=0, 2х — 2у+7=0, 4х — 4у+1=0; ~27.
Задачи взаимного расположения прямых и плоскостей 245 5) 2х+ Зу+ 5 = О, х — у+ 1 = О, Зх — 4у — 12 = 0; 6) Зх+ 2у+ б = О, 9х+ бу — 5 = О, 5х — у+ 3 = О. 27.20. Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку пересечения прямых 2х + у — 3 = О, 7х — 4у+ 2 = О. 27.21. Написать уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 7х — у+ 3 = О, Зх+ 5у — 4 = 0 и через точку А(2, — 1). 27.22.
Через точку пересечения прямых Зх — 5у+ 2 = О, 5х— 2у+4 = 0 провести прямую, параллельную прямой 2х — у+4 = О. 27.23. Через точку пересечения прямых 2х — бу + 3 = О, 5х + у — 2 = 0 провести прямые, параллельные осям координат. 27.24. Через точку пересечения прямых х+у — б = О, 2х+у— 13 = 0 провести прямую, отсекающую на осях координат ненулевые отрезки равной длины. Система координат прямоугольная. 27.25. Составить уравнение прямой, проходящей через точки пересечения пар прямых 2х — у = О, х + 4у — 2 = 0 и х + 2у = О, Зх — 7у+4 = О, 27.26. Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы три прямые Аьх+ Вьу+ Сь = О, 1с = 1,2, 3, образовывали треугольник. 27.27. Стороны треугольника заданы уравнениями Аьх + Вьу+ Сь = О, lс = 1, 2, 3.
Написать уравнение его медианы, проведенной из точки пересечения первой и второй сторон. 27.28. Даны уравнения двух пересекающихся прямых Аьх+ Вьу + Сь = О, lс = 1,2, и точка Е(хс, ус), не лежащая ни на одной из этих прямых. Прямая А1х+ В1у+ С1 = 0 принимается за новую ось ординат, прямая Азх+ Взу+Сз = 0 — за новую ось абсцисс, причем точка Е в новой системе имеет координаты (1, 1). Найти выражения новых координат х', у' произвольной точки М плоскости через ее старые координаты х, у. Плоскости в пространстве 27.29. Установить, какие из следующих пар плоскостей пересекаются, параллельны или совпадают: 1) 2х+ Зу+ 4г — 12 = О, Зх — бу+ 1 = 0; 2) Зх — 4у+ бс+ 9 = О, бх — 8у — 10с+ 15 = 0; 3) Зх — 2у — Зх + 5 = О, 9х — бу — 9с — 5 = 0; 4) х+у+г — 1=0, 2х+2у — 2с+3= 0; 5) 2х — у — г — 3 = О, 10х — 5у — 5х — 15 = О.
246 Глава )~П.Прямая на плоскости и плоскость в пространстве 27.3О. Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы плоскость Ах + Ву + Сз + П = О: 1) была параллельна плоскости Оху; 2) пересекала плоскость Оху; 3) совпадала с плоскостью Оху. 27.31. Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы плоскость Ах+ Ву+ Сз + П = О: 1) пересекала ось Оз; 2) была параллельна оси Ог; 3) проходила через ось 02. 27.32.
Установить, какие из следующих пар плоскостей пересекаются, параллельны или совпадают: 27.33. Две плоскости заданы своими параметрическими урав- пениями < х = хз+ ази+ а4и, У 92 + Ьзи + Ь4и2 з = 22 + Сзи + с4Ю. х = х)+ а1и + ази, у=д +Ь1и+Ь г = 21 + с1 и + сзи; С помощью рангов матриц а1 аз аз а4 Ь1 Ь2 ЬЗ Ь4 С1 С2 СЗ С4 01 02 аз Ю4 Х2 — Х1 Ь1 Ь2 Ьз Ь4 уз — у1 С1 С2 СЗ С4 22 — 21 в=[ А= [ выразить условия, необходимые и достаточные для того, чтобы эти плоскости: 1) пересекались; 2) были параллельны; 3) совпадали.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
