Том 1 (1113039), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Пример 25.6. Доказать, что для любых векторов а, Ь и с пространства выполнено тождество (а,(Ь, с)( = Ь(а, с) — с(а, Ь). Решение. Выберем правый ортонормированный базис еп ег, ез, взяв в качестве вектора ег вектор единичной длины, коллинеарный вектору Ь, в качестве вектора ег — вектор, компланарный Ь и с, н ез = (ез, ег). В этом базисе векторы Ь, с, а илгеют координаты: Ь = (Ь,О,О), с = (си сг,О), а = (ам аз,аз).
222 Глава И'. Векторная алгебра тройка ем ее, ез базисных векторов которой — правая. Случаи других систем координат оговариваются особо. 25.1. Является ли векторное произведение алгебраической операцией на множестве Ъз геометрических векторов пространства? 25.2. Является ли бинарное отношение л. отношением эквивалентности на множестве рз геометрических векторов пространства, если: а) хну с=~ [х, у] = 0; б) х?су с=~ [х — у, а] = О, где а Е 1з — заданный ненулевой вектор; в) хЯ.у с=ь [ х, у, а) = О, где а е 'гз — заданный ненулевой вектор; г) х?су ~ [х — у, а, Ь) = О, где а, Ь е 1'з — заданные неколлинеарные векторы? 25.3. Пусть а — заданный ненулевой вектор. Является ли отображение х [х, а] пространства 1з на себя биективным? 25.4.
Даны векторы а = (1,3,— 2), Ь = (2,4,— 1), с = (1,4, — 4). Найти координаты векторов (Ь, с], [с, а], [а, Ь] и выяснить, образуют ли найденные векторы тройку, взаимную к векторам а, Ь, с. 25.5. Зная два вектора а и Ь, найти; 1) [а, а+ Ь]; 2) [а+ Ь, а — Ь]; 3) [2[а+ Ь),2Ь вЂ” а]. 25.6. Показать, что [а, Ь]Я + [ а, Ь)2 = а~ Ь2.
25.7. При каком значении а Е К векторы р = а а+ 5 Ь и ц = 3 а — Ь коллинеарны, если известно, что а и Ь не коллинеарны? 25.8. Доказать, что для любых векторов а, р, с1, г векторы [а, р], [а, с1], [а, г] компланарны. 25.9. Доказать, что если векторы а, Ъ, с не коллинеарны, то равенство [а, Ь] = [Ь, с] = [с, а] выполняется в том и только в том случае, когда а+ Ь+ с = О. 25.
10. Доказать, что для точки О внутри треугольника АВС площади треугольников ОАВ, ОВС и ОСА равны тогда и только тогда, когда Π— точка пересечения медиан. 25.11. Из одной точки проведены три некомпланарных вектора а, Ь, с. Показать, что плоскость, проходящая через концы этих векторов, перпендикулярна вектору [а, Ь] + [Ь, с] + [с, а].
25.12. Векторы гв, гс и гп являются радиус-векторами 223 ~25. Векторное и смешанное произведения трех вершин тетраэдра АВСР. Доказать, что вектор и = [гв, гс] + [гс, гв] + [гр, гв] перпендикулярен грани ВСР тетраэдра и равен по длине удвоенной площади этой грани. 25.13. Квадрат АВСР служит основанием прямоугольного параллелепипеда АВСРА~В~С~Рь Найти наибольшую возможную величину угла между прямой ВР~ и плоскостью ВРСь 25.13.1. Доказать, что векторы а, Ь, с не компланарны тогда и только тогда, когда не компланарны векторы [Ь, с], [с, а], [а, Ь].
25.14. Найти острый угол между высотами, опущенными из двух вершин правильного тетраэдра на противоположные грани. 25.15. Доказать, что сумма векторов, псрпспдикулярных к граням тетраэдра, равных по длине площадям этих граней и направленных в сторону вершин, противолежащих граням, равна нулю. 25.16. Показать, что если векторы [а, Ь], [Ь, с], [с, а] компланарны, то они коллинеарны. 25.17. Три вектора а, Ь, с связаны соотношениями а = [Ь, с], Ь = [с, а], с = [а, Ь]. Найти длины этих векторов и углы между ними. 25.18.
Вычислить площадь треугольника, вершины которого находятся в точках А( — 1,0, — 1), В(0,2, — 3), С(4,4,1). 25.19. Доказать, что площадь параллелограмма, построенного на векторах а и Ь, вычисляется по формуле 25.20. Доказать, что для любой точки О, лежащей внутри треугольника АВС, выполнено равенство Влов Од+овос ОА+Ясол ОВ = О. 25.21.
На сторонах А.Р и СР параллелограмма АВСР взяты точки М и Ф так, что МУ ][ АС. Доказать, что площади треугольников АВМ и СВИ равны. 25.22. На продолжениях сторон треугольника АВС взяты точки Ам В~ и С~ так, что АВ~ = 2АВ, ВС~ = 2ВС, СА~ = 2СА, Найти площадь треугольника А~В~Си если известно, что площадь треугольника АВС равна Я. 224 Глава 17. Векторная алгебра 25.23. На сторонах треугольника АВС взяты точки Аы В~ и С~ так, что (ВСА~) = (САВ~) = (АВС~) = 2. В результате взаимного пересечения отрезков ААы ВВ~ и СС~ получается новый треугольник РЯВ. Найти отношение площадей треугольников РЯЯ и АВС.
25.24. Используя векторное произведение, вычислить площадь плоского четырехугольника АВСР с вершинами: а) А(-1, 2), В(4, 3), С(5, — 1), .Р(2, О); б) А(1,1), В(4,3), С(5,5), Р(5,0); в) А( — 1,0,1), В(0,1,2), С( — 2,2,5), Р( — 4,0,3); г) А(1, 1, О), В(5, 1, — 4), С(0,2, 2), Р(-5, 4, 9). 25.25. Найти площадь выпуклого пятиугольника АВСРЕ с вершинами А( — 3, — 2), В( — 2, 3), С(3, 5), Р(6, О), Е(2, — 3).
25.26. Доказать, что площадь выпуклого плоского четырехугольника АВСР в пространстве равна половине длины векторного произведения [АС, ВР]. 25.27. Доказать, что выпуклые плоские четырехугольники АВСР и А~В~С~Р~ имеют равную площадь тогда и только тогда, когда [АС, ВР] = ~[А,См В,Р,]. 25.28. Диагонали четырехугольника АВСР пересекаются в точке О.
Доказать, что площади треугольников АОВ и СОР равны тогда и только тогда, когда стороны ВС и А.Р парал- лельны. 25.29. На стороне АВ четырехугольника АВСР взяты точки А~ и Вм а на стороне СР— точки С~ и Ры причем АА~ = ВВ~ = ЛАВ и СС~ = РР~ = ЛСР, где Л < 1/2. Доказать, что отно- шение площадей четырехугольников А~В~С~Р~ и АВСР равно 1 — 2Л. 25.30. Точки А, В, С, Р являются последовательными верши- нами выпуклого четырехугольника. Доказать, что соотношение [ГА, гв] = [гв, гс] = [гс, гр] = [гв, гА], связывающее радиус-векторы его вершин, выполнено в том и только атом случае, когда один из векторов гл+ гс или гв+ гр нулевой.
25.31. Используя результат предыдущей задачи, доказать, что в выпуклом четырехугольнике АВСР существует точка О, для которой площади треугольников ОАВ, ОВС, ОСР, ОРА З25. Векторное и смешанное произведения 225 равны, тогда и только тогда, когда одна из диагоналей этого четырехугольника содержит середину другой диагонали. 25.32. Доказать, что в выпуклом четырехугольнике АВСР точка О обладает свойством Ялпн+ Всоп = овос+ Бпол т~~д~ и только тогда, когда она лежит на прямой, проходящей через середины диагоналей четырехугольника.
25.33. На продолжениях сторон РА, АВ, ВС, СР выпуклого четырехугольника АВСР взяты точки Ан Вы См Р2 так, что РА2 = 2РА, АВ2 = 2АВ, ВС7 — — 2ВС и СР2 = 2СР. Найти площадь получившегося четырехугольника А7В2С2Ры если известно, что площадь четырехугольника АВСР равна В. 25.34. В выпуклом гитиугольнике АВСРЕ стороны ВС, СР, РЕ и АЕ параллельны соответственно диагоналям АР, ВЕ, АС и ВР. Доказать, что АВ ~~ СЕ. 25.35. Даны два вектора а = (11, 10, 2) и Ь = (4, О, 3). Найти единичный вектор с, перпендикулярный векторам а и Ь и направленный так, чтобы тройка векторов а, Ь, с была правой. 25.36.
Даны два вектора а = (1,1, Ц и Ь = (1,0,0). Найти единичный вектор с, перпендикулярный вектору а, образующий с вектором Ь угол в 60' и направленный так, чтобы тройка векторов а, Ь, с была левой. 25.37. Даны два вектора а = (8, 4, Ц и Ь = (2, — 2, Ц. Найти вектор с, перпендикулярный вектору а, равный ему по длине, компланарный с векторами а и Ь и образующий с вектором Ь острый угол. 25.38. Даны три вектора а = ( — 2, — 2, — 4), Ь = (5, 1, 6), с = ( — 3, О, 2). Найти вектор х, удовлетворяющий системе уравнений; (а, х) = 40, (Ь, х) = О, (с, х) = О. 25.39. Даны три некомпланарных вектора а, Ь и с.
Найти вектор х, удовлетворяющий системе уравнений (а,х)=а,(Ъ,х)=,9,(с,х)= 7. 25.40. Даны три вектора а = (8,4, Ц, Ь = (2,2, Ц, с = (1, 1, Ц, Найти единичный вектор 81, образующий с векторами а и Ь равные углы, перпендикулярный вектору с и направленный так, чтобы упорядоченные тройки векторов а, Ь, с и а, Ь, д имели одинаковую ориентацию.
25.41. Даны три вектора а = (8,4, Ц, Ь = (2,2, Ц, с = (1, 1, Ц. Найти единичный вектор д, компланарный векторам а 8 — 4271 226 Глава Ъ'1. Векторная алгебра и Ь,перпендикулярный вектору с и направленный так,чтобы упорядоченные тройки векторов а, Ь, с и а, с1, с имели противоположную ориентацию. 25.42. Даны три вектора а = (8,4,1), Ь = (2, — 2,1), с = (4, О, 3). Найти единичный вектор д, перпендикулярный векторам а и Ь и направленный так, чтобы упорядоченные тройки векторов а, Ь, с и а, Ь, д имели одинаковую ориентацию. 25.43. Даны два луча.
Первый луч составляет с осями координат углы я/4, к/3, 2я/3, а второй — равные между собой тупые углы. Найти направляющие косинусы третьего луча, перпендикулярного двум данным лучам и образующего с ними правую тройку. 25.44. Даны три вектора ОА = (8,4,1), ОВ = (2, — 2,1), ОС = (4,0,3), отложенные от одной точки О. Найти направляющие косинусы луча, выходящего из точки О и образующего с ребрами ОА, ОВ, ОС трехгранного угла ОАВС равные острые углы. Установить, лежит ли этот луч внутри или вне трехгранного угла ОАВС.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
