Том 1 (1113039), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Найти конец век5т тора АС,получающегося из вектора АВ поворотом на угол — . Система координат прямоугольная. 23.44. Даны две соседние вершины квадрата А( — 3,2) и В(2, 4). Найти две другие его вершины С и Р. Система координат прямоугольная. 23.45. Основанием равнобедренного треугольника служит 198 Глава Ъ7.
Векторная алгебра отрезок АС: А( — 4,2), С(4, — 4). Найти координаты вершины В этого треугольника, зная, что углы при его основании равны агсьб ~. Система координат прямоугольная. 23.46. Найти величину ортогональной проекции вектора АВ на ось, направление которой определяется вектором СР, если А( — 4, 2), В(б, 4), С( — 6, — 1), Р( — 1, — 13). Система координат прямоугольная. 23.47. Даны две противоположные вершины квадрата А( — 3,2), В(5, — 4). Найти две другие его вершины С и Р, Система координат прямоугольная.
23.48. Центр описанной около равностороннего треугольника АВС окружности находится в начале координат. Найти координаты вершин В и С, зная,что А(2,4). Система координат прямоугольная. 23.49. В ромбе АВСР с острым углом при вершине А, равным 60', известны координаты смежных вершин А( — 1,3) и В(3, 1). Найти координаты других вершин ромба.
Система координат прямоугольная. 23.50. Определить координаты 1с-й вершины правильного и- угольника, если даны координаты первой вершины А1(хму1) и координаты центра В(хо,уе). Система координат прямоугольная. 23.51. Найти формулы преобразования аффинной системы координат на плоскости в каждом из следующих случаев (координаты новых базисных векторов и нового начала координат заданы в старой системе): 1) е1 — — (2,5), е~ — — (7,9), О'(3,1); 2) е' = (5,0), е~ — — (0,4), О'(3,5); 3) е~ — — (О, 2), е~ = ( — 7, 0), О'(О, 2); 4) е1 — — (а, О), е~ —— (О, Ь), О'(О, 0), где аЬ ~ 0; 5) е1 — — (О,а), е~ — — (Ь,О), О'(0,0), где аЬ ~ О. 23.52. По отношению к аффинной системе координат даны три точки А(2,1), В(3,0), С(1,4).
В новой системе координат те же точки имеют координаты А(1,6), В(1,9), С(3,1). Найти формулы преобразования координат, а также старые координаты нового начала координат и новых базисных векторов и новые координаты старого начала координат и старых базисных векторов. з23. Аффинная система координат. Координаты точки 199 23.53. Известны координаты трех точек А, В, С относительно двух аффинных систем координат на плоскости. Доказать, что формулы преобразования координат будут в этом случае определены однозначно тогда и только тогда, когда данные точки А, В, С не лежат на одной прямой.
23.54. Даны две системы координат Оху и Ох'у'. Координаты (х,у) произвольной точки относительно первой системы выражаются через ее координаты (х',у') относительно второй системы по следующим формулам: х = 2х' — 5у'+ 3, у = — х'+ 2у' — 2. Найти координаты начала второй системы и ее базисных векторов относительно первой системы. 23.55. Координаты (х,у) каждой точки плоскости в первой системе координат выражаются через координаты (х', у') этой же точки во второй системе координат соотношениями +С х С Р2х2 Первая систем координат является прямоугольной декартовой.
При каком необходимом и достаточном условии вторая система также является прямоугольной декартовой? 23.56. Даны две системы координат Оху и Ох'у'. Относительно первой системы координат начало второй системы находится в точке О'( — 4,2), ось О'х' пересекает ось Ох в точке А(2,0), а ось О'у' пересекает ось Оу в точке В(0,8). Принимая за базисные векторы второй системы векторы О'А и О'В, выразить координаты произвольной точки плоскости относительно первой системы через ее координаты во второй системе. 23.57. Дан параллелограмм ОАСВ. Рассмотрим две системы координат, принимая за начало обеих систем вершину параллелограмма О, за базисные векторы осей Ох и Оу первой системы соответственно векторы ОА и ОВ, а за базисные векторы осей Ох' и Оу' второй системы соответственно векторы ОК и ОЬ (К и Š— середины сторон АС и ВС).
Найти координаты вершин параллелограмма во второй системе. 23.58. Дан правильный шестиугольник АВСВЕГ. Найти координаты 1х,у) точки плоскости в системе координат 1А;АВ, 200 Глава Ы. Векторная алгебра АГ), если известны ее координаты (х', у') в системе координат (С; СВ, СЕ~. 23.59. В трапеции АВСР диагонали пересекаются в точке Е, а длины оснований ВС и АР относятся как 2: 3. Найти координаты (х, у) точки в системе координат (А; АВ, АР), если известны ее координаты (х', у') в системе координат (Е; ЕА, ЕВ).
23.60. В трапеции АВСР длины оснований ВС и АР относятся как 3; 4, точка Е является серединой основания АР, а продолжения боковых сторон пересекаются в точке Е. Найти координаты (х, у) точки в системе координат (Е; ЕВ, ЕС'1, если из— > — > вестны ее координаты (х', у') в системе координат (г; ЕВ, ЕС). 23.61. В прямоугольном треугольнике АВС, длины катетов которого равны АВ = 3 и ВС = 4, точка Р является основанием высоты, проведенной из вершины прямого угла. Векторы ем ез, е1, е~ имеют единичную длину, причем е1 сонаправлен с ВА, ев сонаправлен с ВС, е1 сонаправлен с АС, е~ сонаправлен с РВ.
Найти координаты (х, у) точки плоскости в системе координат (В; ем е2), если известны ее координаты (х', у') в системе координат (Р; е~, е2). 23.62. Найти формулы преобразования аффинной системы координат в пространстве в каждом из следующих случаев (координаты новых базисных векторов и нового начала координат заданы в старой системе): 1) ед — — (2,4,1), е~ —— (0,4,4), ез —— (1,1,0), О'(2,1,3); 2) е', = (4,2,1), ез~ — — (5,3,2), ез — — (3,2, Ц, О'(1,1,2). 23.63.
Даны две системы координат Охух и О'х'у'г'. Координаты (х, у, х) произвольной точки относительно первой системы выражаются через ее координаты (х', у', г') относительно второй системы по следующим формулам: а) х = х'+у'+х' — 1, у = — х'+г'+3, х = — х' — у' — 2; б) х = — 2х' — у' — х' — 1, у = — у' — х', г = х'+Зу'+г'+1. В каждом из указанных случаев найти координаты начала второй системы и ее базисных векторов относительно первой системы. 23.64. По отношению к аффинной системе координат даны четыре точки А(1,0,0), В(0,1,0), С(0,0,1), Р(1,1,1). В новой системе координат те же точки имеют координаты А(1, — 1,0), 323.
Аффинная система координат. Координаты точки 201 В10, 1, 1), С(1, О, 1), Р(0, 1, — 1). Найти формулы преобразования координат, а также старые координаты нового начала координат и новых базисных векторов и новые координаты старого начала координат и старых базисных векторов. 23.65. Известны координаты четырех точек А, В, С, Р относительно двух аффинных систем координат в пространстве. Доказать, что формулы преобразования координат будут в этом случае определены однозначно тогда и только тогда, когда данные точки А, В, С, Р не лежат в одной плоскости. 23.65.1. В прямоугольной декартовой системе координат Охух произведено "переименование" координатных осей. а) Показать, что "переименование" х' = у, у' = х, г' = х эквивалентно суперпозиции поворотов вокруг координатных осей.
б) Верно ли аналогичное утверждение для "переименования" х' = г, у' = у, х' = х? 23.66. Даны две системы координат Охуг и Ох'у'г' с общим началом О и одинаковыми по длине базисными векторами по всем осям обеих систем. Первая система прямоугольная; ось Ох' второй системы совпадает с осью Ох первой, а оси Ох' и Оу' суть соответственно биссектрисы углов хОх и уОг. Найти формулы преобразования координат при переходе от первой системы ко второй. 23.67. В пространстве даны две прямоугольные системы координат 10; ем ез, ез) и 10; еы еэ~, ез1. Вторая система координат получена из первой в результате последовательного выполнения двух поворотов на угол 45'. сначала вокруг оси Ог в направлении кратчайшего поворота от ег и ез, а затем вокруг новой оси абсцисс в направлении кратчайшего поворота от нового вектора ез к вектору ез.
Найти координаты (х, у, х) точки в первой системе координат, если известны ее координаты (х',у', -.') во второй системе координат. 23.68. Найти формулы преобразования координат при переходе от одной прямоугольной системы координат Охух к другой прямоугольной системе О'х'у'г', если системы одинаково ориентированы, начало второй системы находится в точке О'(1, 2, 3) и ( е~, е~~) = атосов -', ( е~, е' ) = агссов( — -), 1е~, ез) < л, ( еэ, е~~) = агссоэ(-д), (е~, е') ) л.
23.69. Даны две прямоугольные системы координат Охух и О'х'у'г'. Начало второй системы находится в точке О'(2, 1, 2); ось Глава [т1. Векторная алгебра 202 0'х' проходит через точку О, а ось 0'у' пересекает ось Оу в точке А. За положительное направление оси 0'х' принято направление вектора 0'О, за положительное направление оси О'у' — направление вектора 0'А; положительное направление оси О'г' выбрано так, чтобы системы были одинаково ориентированы. Выразить координаты (х, у, г) произвольной точки относительно первой системы через ее координаты (х', у', г') во второй. 23.70. В пространстве даны две прямоугольные системы координат (О; ед, ез, ез) и (О', е'„ез~, ез). Начало второй системы координат имеет в первой системе координаты ( — 1, 3, 5). Вектор е~ образует углы, равные 60', с векторами е~ и ез и острый угол с вектором ез.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
