Том 1 (1113039), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Согласно теореме 24.1, она равна (а, Ь) (ргь а) = ' = -2. (Ь( Сама же ортогональная проекция равна произведению своей величины на единичный вектор, сонаправленный с вектором Ь: Ь (4 2 4) ргь а=(ргь а) — =) —,— —,— -(. ° (ь( '(3' з' 3)' Пример 24.7, Даны два вектора а и Ь. Найти ортогональную проекцию вектора Ь на ось, определяемую векторол~ а.
Решение. Отложим векторы а и Ь от точки О, пусть а = ОА, Ь = ОВ, точка С вЂ” основание перпендикуляра, опущенного из точки В на прямую ОА. Тогда ОВ = ОС+ СВ или Ь = а а+ СВ, где ОС = а а — искомый вектор. Ул1ножив обе части этого равенства скалярно на вектор а, найдем а: ( а, Ь) = а( а, а) или а = ( а, Ь)/~ а(~. Следовательно, оГ- (а,ь) ) а(т ЗАДАхХИ В задачах этого параграфа считается, что координаты векторов заданы в прямоугольной декартовой системе координат. Случай произвольной аффинной системы координат оговаривается особо.
208 Глава Ы. Векторная алгебра 24.1. Является ли скалярное произведение алгебраической операцией на множестве 1'з геометрических векторов простран- ства? 24.2. Является ли бинарное отношение Е отношением экви- валентности на множестве рз геометрических векторов прост- ранства, если: а) хну <=» (х, у) =0; б) хну ~=» (х, у) > 0: в) х?су ~ |х| = |у|; г) хзсу с=» (х — у, а) = О, где а е $з — заданный вектор? 24.3.
Задает ли скалярное произведение биективное отобра- жение гз х 1'з в К? Ъз х Ъз в К? 24.4. Найти скалярное произведение векторов а и Ь в каж- дом из нижеследующих случаев; а) | а| = 8, | Ь! = 5, (а, Ь) = 60', б) | а| = | Ь| = 1, ( а, Ь) = 135', в) аЛ.Ь; г)|а|=3,|Ь|=6, аи Ь; д) |а|=3,|Ь!=1, аЦ Ь.
24.5. Доказать тождество |а+ Ь|з+ |а — Ь!з = 2(|а|з+ |Ь! ) и дать его геометрическое толкование. 24.6. Даны единичные векторы а, Ь, с, удовлетворяющие условию а+ Ь+ с = О. Вычислить (а, Ь) + (Ь, с) + ( с, а). 24.7. Даны векторы а, Ь, с, удовлетворяющие условию а+ Ь+ с = О. Зная, что |а| = 3, |Ь| = 1, |с! = 4, вычислить ( а, Ъ) + (Ь, с) + (с, а). 24.8. Доказать, что векторы р = ( Ь, с) а — ( а, с) Ь и с ор- тогональны. 24.9.
Какой угол образуют единичные векторы в и й, если известно, что векторы р = в+ 2 Ф и с1 = 5в — 4Ф взаимно пер- пендикулярны? 24.10, Доказать, что из пяти векторов всегда можно выбрать два так, чтобы длина их суммы на превосходила длины суммы оставшихся трех векторов. 24.11. В треугольнике АВС известны длины сторон ВС = 5, СА = 6, АВ = 7. Найти скалярное произведение (ВА, ВС).
~24. Скалярное произведение 209 24.12. Найти тупой угол а между медианами равнобедренного прямоугольного треугольника, проведенными из вершин острых углов. 24.13. Найти угол а при вершине равнобедренного треугольника, зная, что медианы, проведенные из концов основания этого треугольника, взаимно перпендикулярны. 24.13.1. Пусть А, В, С и Р— произвольные точки плоскости или пространства.
а) Доказать, что (АВ, СР) + (ВС", АР) + (СА, ВР) = О. б) Используя это тождество, показать, что в любом треугольнике высоты пересекаются в одной точке. 24.14. Найти длину диагоналей параллелограмма, построенного на векторах 2р + Ч и р — 2Ч, если (р! = ъ'2, (Ч~ = 2, (Р Ч) = '"/4. 24.15. Найти угол между внутренними диагоналями куба. 24.16. Найти углы между внутренними диагоналями прямоугольного параллелепипеда, если из трех его ребер, выходящих из одной вершины, два ребра одинаковы по длине, а третье вдвое длиннее остальных.
24.17. Ребро куба АВСРА1 В1 С1 Р1 равно 2, точка К вЂ” центр грани АВВ1Аы Найти угол между РК и ВРь 24.18. Высота в правильном прямоугольном параллелепипеде АВСРА1 В1С1 Р1 в два раза меньше стороны основания. Найти наибольшее значение угла А1МСы где М вЂ” точка на ребре АВ. 24.19. Найти угол между скрещивающимися медианами двух боковых граней правильного тетраэдра. 24.20.
Доказать, что если биссектрисы двух плоских углов трехгранного угла перпендикулярны, то биссектриса третьего плоского угла перпендикулярна каждой из них. 24.21. Доказать, что если в тетраэдре два ребра соответственно перпендикулярны своим противоположным, то и остальные два ребра взаимно перпендикулярны. 24.22. Доказать, что в тетраэдре все грани являются равными треугольниками тогда и только тогда, когда отрезки, соединяющие середины противоположных ребер, перпендикулярны. 24.23.
Доказать, что сумма квадратов длин ребер тетраэдра в четыре раза больше, чем сумма квадратов расстояний между 210 Глава Ъ'1. Векторная алгебра серединами его скрещивающихся ребер. 24.24. Доказать, что в параллелепипеде все внутренние диагонали одинаковы тогда и только тогда, когда этот параллелепипед прямоугольный. 24.25. Дан куб АВСРА~В~С~Р~ с ребром а. Найти длину наименьшего отрезка, концы которого расположены на прямых АВ~ и ВС~ и который образует угол 60' с плоскостью грани АВСР. 24.26. В треугольнике АВС точка Р делит сторону АВ в отношении Л. Выразить длину отрезка СР через длины а = ВС, б = АС, с = АВ трех сторон треугольника и число Л. 24.27.
В прямоугольном треугольнике АВС опущен перпендикуляр СН на гипотенузу АВ. Выразить вектор СН через векторы а=СВи Ь=СА. 24.28. В треугольнике АВС проведена высота АН. Выразить вектор АН через векторы Ь = АВ и с = АС. 24.29. Зная векторы а и Ь, на которых построен параллелограмм, выразить через ннх вектор, совпадающий с высотой параллелограмма, перпендикулярной к стороне а.
24.30. В тетраэдре ОАВС из вершины О опущена высота ОН на противоположную грань. Выразить вектор ОН через векторы а=ОА, Ь=ОВи с=ОС. 24.31. Дан прямоугольник АВСР и точка М (которая может лежать как в плоскости прямоугольника, так и вне ее). Показать, что: а) скалярное произведение векторов, идущих от точки М к двум несмежным вершинам прямоугольника, равно скалярному произведению векторов, идущих от той же точки к двум другим вершинам: (МА,МС) = (МВ,МР); 6) сумма квадратов длин векторов одной пары равна сумме квадратов длин векторов другой пары: (МА(~+(МС(~ = (МВ)~+ ~МР~2 24.32.
Дан параллелограмм АВСР. Доказать, что величина АХ~ + СХ~ — ВХ~ — РХ~ не зависит от выбора точки Х. 24.33. Пусть Π— центр окружности, описанной около треугольника АВС, а точка Н обладает тем свойством, что ОН = ~24. Скалярное произведение 211 ОА + ОВ + ОС. Доказать, что Н вЂ” точка пересечения высот треугольника АВС. 24.34. Доказать, что сумма квадратов расстояний от точки Х до вершин заданного треугольника минимальна тогда и только тогда, когда точка Х совпадает с точкой пересечения медиан в треугольнике.
24.34.1. Доказать, что сумма квадратов расстояний от точки Х до вершин заданного тетраэдра минимальна тогда и только тогда, когда точка Х совпадает с точкой пересечения середин его противоположных ребер. 24.34.2. Пусть Аы..., А„— произвольное множество точек пространства. Доказать, что существует и притом только одна такая точка Х, для которой выражение (ХА1(з +... + (ХА„(з достигает своего минимального значения. 24.35.
В выпуклом четырехугольнике сумма квадратов двух противоположных сторон равна сумме квадратов двух других противоположных сторон. Найти угол между диагоналями четырехугольника, 24.36. Доказать, что в произвольном четырехугольнике АВСР выполнено равенство АВ'+ ВС'+ СР'+ АР' = АС'+ ВР'+ 4МН', где М и И вЂ” середины диагоналей АС и ВР соответственно (теорема Эйлера). 24.37. Точки А, В, С и Р таковы, что для любой точки М числа (МА,МВ) и (МС,МР) различны.
Доказать, что АС = РВ. 24.38. Пусть  — радиус окружности, описанной около правильного и-угольника. Найти: а) сумму квадратов длин всех сторон и всех диагоналей этого многоугольника, выходящих из одной его вершины; б) сумму квадратов длин всех сторон и всех диагоналей этого многоугольника. 24.39. Правильный многоугольник А1... А„вписан в окружность радиуса В с центром О; Х вЂ” произвольная точка. Доказать, что А1Х +... + А„Хз = п(гез + ОХ ). 24.40. Точки Аы..., А„лежат на окружности с центром О, причем ОА1+... + ОА„= О. Доказать, что для любой точки Х справедливо неравенство ХА1+... + ХА„> иге, где Н вЂ” радиус 212 Глава Ъ7. Векторная алгебра окружности.
24.41. Доказать, что сумма расстояний от произвольной точки Х до вершин правильного и-угольника будет минимальной тогда и только тогда, когда Х вЂ” центр п-угольника, 24.42. Вычислить скалярное произведение векторов а и Ь, заданных своими координатами, в каждом из нижеследующих случаев: а) а = (3, 5, 7), Ь = ( — 2, 6, Ц; б) а = (3,0, — 6), Ь = (2, — 4,0); в) а = (2,5, Ц, Ь = (3, — 2,4); г) а = (9,8, 5), Ь = ( — 9,8, 3).
24.43. Определить угол а между векторами а и Ь, заданными своими координатами, в каждом из нижеследующих случаев: а) а = (8,4,Ц, Ь = (2,-2,Ц; б) а= (1,1,Ц, Ь = (3,3,-3); в) а = (2,5,4), Ь = (6,0, — 3); г) а = (1,0, 1), Ь = (2, — 2,0). 24.44. Даны векторы: а = (2, — 2, Ц, Ь = (1, 1, — Ц, с = ( — 1,1,2). Вычислить: а) 2а2+6(а, Ь) — 2с~; б) 2а~ — ЗЬ~+Зс~; в) 4(а, Ь) — 3(Ь, с) — 5(а, с); г) а~(Ь, с)+ Ь~(с, а)+ с~(а, Ь).
24.45. Даны векторы: а = (3,1,2), Ь = (2,1,— 2), с = (2,1,2). Найти координаты векторов: а) ( а, Ь) с — а( Ь, с); б) а Ь + Ь с + с а; в) (а — Ь)зс+ (Ь вЂ” с)за+ (а — с)з Ь. 24.46. Найти направляющие косинусы вектора АВ, если А( — 2,1,3) и В(0, — 1,2). 24.47. Луч образует с двумя осями координат углы в 60'. Под каким углом он наклонен к третьей оси? 24.48. Найти углы, образуемые вектором ОВ = (6,2,9) с плоскостями координат Оуг, Огх, Оху.
24.49. Найти угол между биссектрисами координатных углов хОх и уОв. 24.50. Найти угол между лучом, лежащим в плоскости Оху и образующим с осью Ох угол 30', и лучом, лежащим в плоскости Охх и образующим с осью Ох угол 60'. 24.51. Треугольник АВС задан своими вершинами А(3,2, — 3), В(5, 1, — 1), С(1, — 2, Ц. Определить его внешний угол при вершине А. 24.52.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
