Том 1 (1113039), страница 39
Текст из файла (страница 39)
25.45. Даны три некомпланарных вектора ОА, ОВ, ОС. Внутри углов АОВ, ВОС и СОА взяты соответственно ненулевые векторы ОР, ОЕ и ОЕ. Установить, будут ли упорядоченные тройки векторов ОА, ОВ, ОС и ОР, ОЕ, ОЕ иметь одинаковую или противоположную ориентацию. 25.46. Даны три некомпланарных вектора ОА = а, ОВ = Ь, ОС = с, отложенных от одной точки О. Найти вектор ОР = д, отложенный от той же точки О и образующий с векторами а, Ь, с равные между собой острые углы. 25.47. Из начала координат выходят два направленных отрезка ОМ1 и ОМз, образующие с осями координат углы ам Д, 71 и аз, ~3з, уз соответственно. Найти направляющие косинусы вектора ОМ, выходящего из начала координат, перпендикулярного обоим заданным направленным отрезкам и расположенного так, что тройка векторов ОМм ОМз, ОМ правая.
25.48. Одна из вершин параллелепипеда АВСРА1В1С1Р1 находится в точке А(1,2,3), а концы выходящих из нее ребер — в точках В(9,6,4), Р(3,0,4), А1(5,2,6). Найти угол ~р между диагональю АС1 и плоскостью грани АВСР этого параллелепи- 325, Векторное н смешанное произведения 227 педа. 25.49.
Вычислить объем параллелепипеда АВСРА1В1 С1 Ры зная его вершину А(1,2,3) и концы выходящих из нее ребер В(9, 6, 4), Р(3, О, 4), А~ (5, 2, 6). 25.50. Вычислить объем параллелепипеда, зная длины ОА = а, ОВ = 5, ОС = с трех его ребер, выходящих из одной вершины О, и углы ВОС = о, СОА = 13, СОА = у между этими ребрами. 25.51.
Три некомпланарных вектора а, Ь, с являются ребрами тетраэдра, выходящими из одной его вершины. Показать, что объем тетраэдра равен -'~( а, Ь, с)~. 25.52. Вычислить объем тетраэдра АВСР, зная координаты его вершин: А(2, — 2,1), В(3,0,2), С(5, — 1,3), Р(1,3,1). 25.53. Вычислить объем четырехугольной пирамиды ОАВСР, зная координаты ее вершины О(3,2, 1) и координаты вершин основания А( — 1, 1, 1), В( — 1,2,3), С(0, 1,4), Р(0, — 1, 0). 25.54. Пусть Аы Вн См Р1 — точки пересечения медиан граней ВСР, СРА, АВР и АВС тетраэдра АВСР.
Найти отношение объема тетраэдра А1В|С1 Р1 к объему тетраэдра АВСР. 25.55. Точки А, В, С, Р являются вершинами тетраэдра АВСР. Доказать, что их радиус-векторы удовлетворяют соотношениям ( ГА, гв, гр) = (гр, гн, гл) = (Гс, ГВ, гр) = (гс, гр, ГА) в том и только в том случае, когда гл + гн + гр + гр = О. 25.56. Пользуясь предыдущей задачей, доказать, что для точки О внутри тетраэдра АВСР объемы тетраэдров ОАВС, ОРВА, ОСВ.Р и ОСРА равны тогда и только тогда, когда О лежит на пересечении отрезков, соединяющих вершины тетраэдра АВСР с точками пересечения медиан противоположных им граней.
25.57. Даны три некомпланарных вектора а = (омаз,аз), Ь = (Ьы Ьз,бз), и = (пы из, пз). Найти площадь параллелограмма, являющегося ортогональной проекцией на плоскость, перпендикулярную к вектору и, параллелограмма, построенного на векторах а и Ь. 25.58. В тетраэдре АВСР ребро СР перпендикулярно плоскости АВС, М вЂ” середина РВ, 1У вЂ” середина АВ, К вЂ” точка на ребре СР такая, что СР = ЗСК. Доказать, что расстояние между прямыми ВК и СХ равно расстоянию между прямыми АМ и СХ. 228 Глава ~7. Векторная алгебра 25.59. Доказать,что в произвольном трехгранном угле биссектрисы двух плоских углов и угла, смежного к третьему плоскому углу, лежат в одной плоскости.
25.60. В ориентированном пространстве даны два перпендикулярных друг другу вектора а и п, причем [и[ = 1. В плоскости, положительная ориентация которой определяется упорядоченной парой векторов а, [ и, а], найти вектор Ь, полученный из вектора а поворотом в этой плоскости на угол ~р.
25.61. Даны три некомпланарных вектора ОА = а, ОВ = Ь, ОС = с, отложенных от одной точки О. Найти вектор ОВ, где Н вЂ” ортогональная проекция точки О на плоскость (АВС). 25.62. Доказать тождества: а) [а, [Ъ, с]] = Ъ(а, с) — с(а, Ь); б) [[а, Ь], с] = — а( Ь, с) + Ь( а, с). 25.63. Доказать тождества: а) ([а, Ь], [с, (Ц) = (а, с) (а, д) б) [[а, Ь], [с, д]] = с(а, Ь, д) — д(а, Ь, с) = Ь[а, с, с1)— а[Ь, с, с$); в) ( а, Ь, с) с1 = ( с1, Ь, с) а+ ( с1, с, а) Ь + ( с1, а, Ь) с; (х, а) (х, Ь) (х, с) г) (а, Ъ, с)(х, у, в) = (у, а) (у, Ь) (у, с) (и, а) (и, Ь) (я, с) д) ([а, Ь], [с, сЦ, [е, 1]) = ( а, Ь, д)(с, е, Г) — ( а, Ь, с)( д, е, 1).
25.64. Найти условие, необходимое и достаточное для выполнения равенства [[а, Ь], с] = [а, [Ь, с]]. 25.64.1. Найти условие, необходимое и достаточное для выполнения равенства ([а, Ь], [с, сЦ) = ([а, с], [Ь, сЦ). 25.65. а) Найти необходимое и достаточное условие для того, чтобы уравнение [а, х] = Ь, где а ф О, имело решение. б) Найти общее решение этого уравнения.
25.66. а) Показать, что условие ( аз, Ь) = 0 необходимо для того, чтобы система уравнений [ам х) = о, [аъ х] = Ь имела решение. 229 325. Векторное и смешанное произведения б) Найти это решение, если (ан аз) ф О. в) Пусть аы аз ~ 0 и (аы аз) = О. Найти необходимое и достаточное условие разрешимости системы в этом случае и по- строить ее общее решение. 25.67.
Рассматривается система уравнений [ам х! = Ьз, [аз, х] = Ьг, в которой аы аз, Ьз, Ьз — заданные векторы, причем а1 и аз не коллинеарны. а) Показать, что условия (аы Ьз) = О, (аз, Ьз) = О, (аы Ьз) + (аз, Ь1) = О необходимы для разрешимости этой системы. б) При выполнении указанных условий и условия ( аы Ьз) ф 0 найти общее решение системы.
25.68. Ненулевые векторы а и Ь удовлетворяют условию (а, Ь) = О. Найти векторы х и у из системы уравнений х + у = а, (х, у) = р, [х, у] = Ъ. 25.69. Даны плоские углы ВОС = о, СОА = 33, АОВ = у трехгранного угла ОАВС. а) Вычислить косинусы его внутренних двугранных углов А, В, С, противолежащих граням ВОС, СОА, АОВ. б) Доказать, что з1по з1п)3 зш у яп А з1п В зш С 25.70. Ребра трехгранного угла ОА, ОВ и ОС определяются единичными векторами а, Ь, с соответственно.
Доказать, что точка Р равноудалена от граней трехгранного угла тогда и только тогда, когда ОР Ц з1по а+з1п33 Ь+з1п у с, где а = ВОС, 33 = СОА, 7 = АО — плоские углы рассматриваемого трехгранного угла. 25.71. Ребра трехгранного угла ОА, ОВ и ОС определяются соответствующими единичными векторами а, Ь, с, образующими правую тройку. Доказать, что точка Р равноудалена от ребер трехгранного угла тогда и только тогда, когда ОР 73 [Ь, с]+ [с, а]+ [а, Ь]. Глава Ъ7. Векторная алгебра 230 Векторное и смешанное произведения в аффинных координатах 25.72. Выразить через метрические коэффициенты д6 базиса е1, е2, ез в пространстве объем параллелепипеда, построенного на базисных векторах. 25.73. Зная метрические коэффициенты д, базиса е1, е2, ез, найти объем У параллелепипеда, построенного на векторах а = (ам а2, аз ), Ь = (Ь1, Ь2, Ьз ), с = (с1, с2, сз ).
25.74. Объем параллелепипеда, построенного на базисных векторах е1, е2, ез, равен Ъ'. Найти объем параллелепипеда, построенного на базисных векторах взаимного базиса. 25.75. Доказать, что векторы [е2, ез] . [ез, е1] [е1, е2] (е1, е2, ез) (е1, е2, ез) (е1, е2, ез) а1 а2 аз Ь1 Ь2 Ьз С1 С2 СЗ (а,Ь,с)=~;. 25.75.2. Пусть (О; е1, ез, ез) и (О', е1, е~2, е~з) — две аффинные системы координат и С вЂ” матрица перехода от базиса е1, ез, ез к базису е1, е~з, ез, причем де1С > О. Доказать, что объемы Ъ; и $; параллелепипедов, построенных на соответствующих базисных векторах, связаны соотношением Ъ", = Ъ; Ве1С, 25.76. Векторы а = (а1, а2, аз) и Ъ = (Ь1, Ь2, Ьз) заданы своими координатами в базисе е1, ез, ез.
Найти координаты векторного произведения [а, Ь] в базисе, взаимном с базисом е1, ез, ез. образуют базис, взаимный к базису е1, е2, ез и имеющий ту же ориентацию. 25.75.1. Пусть тройка базисных векторов е1, е2, ез — правая и 1; — объем параллелепипеда, построенного на этих базисных векторах. Доказать, что для векторов а = (а1,аз,аз), Ь = (Ь1, Ь2, Ьз), с = (с1, с2, сз), заданных своими координатами в этом базисе, выполнено равенство Глава Ч11. Прямая на плоскости и плоскость в пространстве ~26. Составление уравнений по различным заданиям Канонические уравнения. Ненулевой вектор, коллинеарный прямой, называется ее направляющим вектором.
Теорема 26.1. На плоскости в аффинной системе координат Оху уравнение прямой 1, проходящей через точку Мо(хо, уо), с направляющим вектором а = (т, п) имеет вид х — хо У вЂ” Уо ! ,„ (26.1) х — хо у — уо т п (26.2) х — хо У вЂ” Уо хг — хо уг — уо = О. Два неколлинеарных вектора, параллельных плоскости, называются ее направляющими вектлорами. Теорема 26.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
