Том 1 (1113039), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Вектор е~ компланарен с векторами е~ и ез и образует с вектором ез острый угол. Системы координат одинаково ориентированы. Найти координаты (х, у, х) точки пространства в первой системе координат, если известны ее координаты (х', у', г') во второй системе. 23.71. В пространстве даны две прямоугольные системы координат (О; еы ез, ез) и (О', ем е~, е~з).
Точки 0 и 0' различны, а концы векторов е, и е,', отложенных соответственно из точек О и 0', совпадают (г = 1, 2, 3). Найти координаты (х, у, г) точки пространства в первой системе координат, если известны ее координаты (х', у', х') во второй системе. 23.72. Координаты (х, у, х) каждой точки пространства в первой системе координат выражаются через координаты (х', у', х') этой же точки во второй системе координат соотношениями И Первая систем координат является прямоугольной декартовой. При каком необходимом и достаточном условии вторая система также является прямоугольной декартовой? 23.73.
В основании призмы АВСРА~В~С~Р~ лежит ромб с острым углом А, равным бО'. Точка К лежит на продолжении ребра АВ за точку В, причем угол АРК прямой. Найти координаты (х, у, г) точки пространства в системе координат (А; АВ, АР, АА~), если известны ее координаты (х', у', х') в системе координат (К; КА, КР, КС~). д24, Скалярное произведение 203 23.74. В треугольной призме АВСА|В1Сг точка М вЂ” точка пересечения медиан грани А1В1СВ Найти координаты (х,у, з) точки пространства в системе координат (А; АВ, АС, АВ1 ), если I г I известны ее координаты (х',у', х ) в системе координат )'Аи АгВ, А1С, А1М).
23.75. В тетраздре АВСР точка М вЂ” точка пересечения медиан грани ВСР. Найти координаты (х, у, х) точки пространства в системе координат (А; АВ, АС, АР), если известны ее координаты (х',у', х') в системе координат )'М;МВ,МС,МА). 23.76. В правильной шестиугольной пирамиде $АВСРЕГ с вершиной Я точка М является центром основания. Найти координаты (х, у, х) точки пространства в системе координат (А; АВ, АЕ, АЯ), если известны ее координаты (х', у', х') в системе координат (Я; ЯС, ЯР, ЯМ).
23.77. Дан параллелепипед АВСРА1В1С1Р,. Найти координаты (х, у, х) точки пространства в системе координат (А; АС, АВЬ АА1), если известны ее координаты (х', у', х') в системе координат (РВР1Р, Р|СЬ Р1 В), 324. Скалярное произведение Скалярным произведением (а, Ь) ненулевых векторов а и Ь называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними; (а, Ь) = )а) )Ь!сов(а, Ь). Если один из векторов а или Ь нулевой, то скалярное произведение этих векторов по определению считается равным нулю. Из определения следует, что ~ а( = ьг( а, а), соз( а, Ь) = ( а, Ъ) Я а) ) Ь|).
Величина ( а, а) называется скалярным квадратом вектора а и обозначается аг. Очевидно, что а = ~ а~~. Обозначим через рг Ь ортогональную проекцию вектора Ъ на ось, определенную вектором а ф О. Теорема 24лн Если а ~ О, то дяя любого вектора Ь (а, Ь) = ~а~(рг Ь) = (а,рг Ь). Теорема 24.2. Для любых векторов а, Ь, с и числа а Е К 1) ( а, Ь) = ( Ь, а); 2) (а+ Ь, с) = (а, с) + (Ь, с); Я) (па, Ь) = а(а, Ь); Глава И. Векторная алгебра 204 (е„ег) = 1 1 О Матрица ~ (е1, е1) С(е1, ег, ез) = (ег, е1) (ез, е1) (е1, ег) (е1, ез) ~( (ег, ег) (ег, ез) ~ ( ез, ег) ( ез, ез) называется матрицей Грима системы векторов е1, ег, ез, а ее элелгенты д, = ( е„ег) — метарическими коэ1знрициентами. Теорема 24.3.
Координаты (аг,ог,пз) вектора а в базисе е1, ег, ез вычиснннвпся по правилу сп=(а,е), 1=1,3, тогда и только тогда, когда этот бгэис ортонормированный. Направляющими косинусами вектора (луча) называются косинусы уг- лов, образованных этим вектором (соответственно лучом) с осями коорди- нат. Если е1, ег, ез — оРтоноРмиРованный базис и е — еДиничный вектоР, то ( е, е1) = сов(е, е1), (е, ег) = сов(е, ег), (е, ез) = соз( е, ез), н следовательно, в силу теоремы 24.3 направляющие косинусы вектора е являются его координатами в этом базисе.
Теорема 24.4. Ска яркое произведение векторов а = о1 е1 + азег + аз ее и Ь = В1 е1 + Вг ег + Ввез равно сумме напорных произве- дений координат з (а,Ь)м~ а,Д =1 тогда и только тогда, когда е1, ег, ез — ортонормированный базис. Следствие 1. Если вектлоры а = (а1, аг,оз), Ъ = (Вг,бг,бз) заданы координатами в ортонормированном базисе, то 111В1 + пзбг + 1ззбе ~а~ = ог1+ о~~+ оф сов(а, Ь) = ) а) (Ь! Следствие 2. В прямоугольной декартовой системе координат расстояние р(А, В) между точками А(х1, уг,г1) и В(хг, уг, гг) равно р(А, В) = (хг — х,)г 4-(уг — у1)'+(гг — г1)г.
4) ( а, а) > О, причем ( а, а) = О гпогда и только тогда, когда а = О. Из свойств 1 — 3 следует, что скаалрное прот введение линейно и по второму множителю: (а, Ь+ с) = (а, Ь)+(а, с), (а,пЬ) = а(а, Ь). Скалярное произведение векторов может быть вычислено по нх координатам, если известна "таблица умножения" базисных векторов: если з з з з а = 2 сне„Ь = ~ Ве„то (а, Ь) = ~ ~ ~абг(ем е). =1 =1 1=1 1=1 Векторы а и Ь называются ортогональными, если ( а, Ь) = О.
Из определения следует, что векторы а и Ь ортогоиальны тогда и только тогда, когда либо один из них нулевой, либо онн перпендикулярны. В терминах ортогонвльности векторов ортонормироввнность базиса ег,...,е„, где и = 1,2,3, означает, что 324. Скалярное произведение 205 П р и м е р 24.1. Пусть А, В, С и Р— произвольные точки плоскости или пространства. а) Доказать,что (АВ, СР) + (ВС, АР) 4-(СА, ВР) = О. (24.1) б) Используя тождество (24.1), показать, что в любом треугольнике высоты пересекаются в одной точке. Решение. а) Выразим все участвующие в левой части (24.1) векторы через векторы а = АВ, Ъ = ВС, с = СР и воспользуемся линейностью скалярного произведения по обоим его сомножителям: (а, с)+(Ь, а+ Ь+ с1+( — а — Ь, Ь+ с) =(а, с)+(Ь, а)+)Ь~~+ +(Ъ, с) — (а, Ь) — ~ Ь| — (а, с) — ( Ь, с) = О.
< (х,а) =О, (х, Ь) = )х) )Ь|/лУ2, )х) =)Ь!, (х,ез))0. (24.2) Пусть х = (ли хе,хз). Так как ( Ь) = л/2,то равенства (24.2) в коорди- б) Пусть теперь точка Р— точка пересечения высот, проведенных из вершин А и С треугольника АВС.
Тогда первые два слагаемых в левой части (24.1) равны нулю как скалярные произведения ортогонельных векторов, и значит, (СА, ВР) = О. Таким образом, пряллав (ВР) содержит высоту треугольника, проведенную из вершины В. ° Пример 24.2. Ребро куба АВСРАлВлСлРл равно 2, точка К вЂ” центр грани АВВлАл. Найти длину перпендикуляра, опущенного из вершины Сл на прямую РК. Решение. Единичные векторы а, Ь, с на ребрах ВА, ВВл, ВС образуют ортонорллированный базис пространства. Пусть точка Р— основание перпендикуляра, опущенного из точки С, на прямую РК, а точка М вЂ” основание перпендикуляра, опущенного из точки К на АВ. Найдем координаты вектора РСл в базисе а, Ъ, с.
Имеем: РК = РМ + МК = — 2с — а+ Ь, РР = аРК = — аа+ аЬ вЂ” 2ас, РСл = РР+ РСл = (аа — аЬ+ 2ас) + ( — 2 а+ 2 Ь) = (а — 2) а+ (2 — а) Ъ+ 2о с. Из ортогональности векторов РС, и РР следует, что (РСл, РР) = О. С учетом ортонормированности базиса а, Ь, с получаем, что — а(а — 2)+а(2 — а) — 4а = О, откуда находим гл = з. з Следовательно, РСл = — л а+ л Ь+ л с и ~РСл ~ = л л/3.
В 323 (пример 23.1) дано другое решение этой задачи. ° Приллер 24.3. Найти вектор х, перпендикулярный вектору а = (2, — 3,3) и образующий с вектором Ь = ( — 1, 1, О) угол я/4, если известно, что с осью Оу он образует острый угол, а его длина равна длине вектора Ь. Система координат прямоугольная.
Решение. По условию задачи Глава ( 1. Векторная алгебра 206 натной форлзе имеют внд 2хз — Зхг+ Зхз = О, — хз+хг = 1, х1+ хг+ хз — — 2, 2 2 2 хг)0. (24.3) Из первых двух уравнений следует, что х1=3 — Зхг, хг=Зхз — 2, хзей.
Подставляя эти соотношения в третье уравнение (24.3), получим: хз.= 1 или хз = —, и следовательно, 11 19 ' (24 5 11) х = (0,1,1) или х = ~ —,— —, — ~. (19 19' 19) Последнему условию в (24.3) удовлетворяет лишь первый вектор. Таким образом, х = (О, 1, 1). ° Пример 24.4. Векторы а, Ь, с таковы, что |а| = 1, |Ь! = |с| = 2, причем векторы а и Ь перпендикулярны, а вектор с образует с каждым из векторов а и Ь угол л/3. Найти угол между наибольшей и наименьшей внутренними диагоналями параллелепипеда, построенного на этих векторах. Решение.
Из правила сложения векторов следует, что диагонали параллелепипеда совпадают с векторами а+ Ь+ с, а+ Ъ вЂ” с, а — Ь + с, — а+ Ь+ с. Возьмем а качестве базисных векторы а, Ь, с. Матрица Грэма ~1 0 1~ этих векторов имеет вид: С(а, Ь, с) = 0 4 2 . Пользуясь этой "табли- 1 2 4 ~ цей" скалярных произведений, найдем квадраты длин диагоналей: |а+ Ь+ с|2 =(а+ Ь+ с, а+ Ы- с)=|а|2+ |Ь|2+ |с|2+ 2(а, Ь)+ +2(Ъ, с) + 2(а, с) = 15. Аналогично: |а+ Ь вЂ” с|2 = 3, |а — Ь+ с| = у, | — а+ Ь+ с|2 = 11.
( а+ Ь+ с, а+ Ь вЂ” с) = | а+ Ъ| — | с|2 = | а|2 Ч- | Ь| — | с|2 = 1. Тем самым, косинус угла между этими диагоналями равен (а+Ь+с,а+Ь вЂ” с) 1 |а+ Ь+ с||а+ Ь вЂ” с| ЗД П ример 24.5. В параллелограмме АВСР: АВ = 3, ВС = 4, ВАС = 60', точка М вЂ” середина стороны ВС, точка 2У делит отрезок РС в отношении 2.
Найти тупой угол между прямыми АМ и ВФ. Таким обрвзом, наибольшей является диагональ а+ Ь+ с, а наименьшей — диагональ а+ Ь вЂ” с. Для вычисления угла между ними, найдем скалярное произведение: 207 924. Скалярное произведение Решение. Введем базисные векторы а = СМ, Ъ = СФ. Матрица 4 1 Грама этой системы векторов имеет вид: С(а, Ь) = [ 1 1 ~. Найдем координаты векторов АМ и ВФ в базисе а, Ь: АМ = — а — 3 Ь, ВМ = -2 а+ Ь, так что АМ = ( — 1, — 3), ВФ = ( — 2, 1). Пользуясь "таблицей" С(а, Ь) скалярных произведений базисных векторов, получаем, что (АМ, ВФ) = 2 4л6 1 — 1 1 — 3.1 = 10 )АМ)~ = 1 4+2 3 !л9 1 = 19, — 10 (ВХ~~ = 4.4+2 ( — 2) 1+1 1 = 13.
Отсюда следует, что сов(АМ, ВХ) = —. ;/247 10 Таким образом, тупой угол между прямыми АМ и В!У равен х-агссоэ —. лг247 Пример 24.6. Найти ортогональную проекцию вектора а = (4,0, 1) на ось, определяемую вектором Ь = (-2, 1, 2). Система координат прямоугольная. Р е ш е н и е. Найдем сначала величину ортогональной проекции вектора а на указанную ось.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
