Том 1 (1113039), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Найти внутренние углы треугольника АВС, если А(9,2,4), В(2,3, -1), С(5, -1, — 6). 24.53. Вычислить длину д диагонали ОВ параллелепипеда, зная длины а = ОА, 5 = ОВ, с = ОС трех его ребер, выходящих ~24. Скалярное произведение 213 из одной вершины О, и углы о = ВОС, Д = СОА, у = АОВ между ними. Найти также косинусы углов, образуемых диагональю ОР с ребрами ОА, ОВ, ОС. 24.54.
Одна из вершин параллелепипеда АВСРА~В~С~Р~ находится в точке А(1, 2, 3), а концы выходящих из нее ребер — в точках В(9,6,4), Р(3,0,4), А~(5, 2,6). Найти длину И диагонали АС~ этого параллелепипеда и угол, образуемый этой диагональю с ребром АВ. 24.55. Вычислить углы р~, уэ, уэ, образованные противоположными ребрами тетраэдра, вершины которого находятся в точках А(3, — 1,0), В(0, — 7,3), С( — 2,1, — 1), Р(3,2,6). 24.56. Найти вектор х, коллинеарный вектору а = (12, — 16, — 15), если известно, что ! х~ = 50 и вектор х образует с осью Ог острый угол.
24.57. Найти вектор х, перпендикулярный векторам а = (2,3,— 1) и Ь = (1, — 2,3), зная, что он образует с осью Оу тупой угол и что ) х! = Зъ'3. 24.58. Даны два вектора а = (8, 4, 1) и Ь = (2, — 2, 1). Найти вектор с, компланарный векторам а и Ь, перпендикулярный вектору а, равный ему по длине и образующий с вектором Ъ тупой угол. 24.59. Даны два вектора а и Ь. Представить вектор Ь в виде суммы двух векторов х и у так, чтобы вектор х был коллинеарен вектору а, а вектор у ортогонален вектору а. 24.60. Даны два неколлинеарных вектора а и Ь. Найти вектор х, компланарный векторам а и Ъ и удовлетворяющий системе уравнений ( а, х) = 1, (Ь, х) = О. 24.61.
Даны три некомпланарных вектора а, Ь, с. Найти вектор х, удовлетворяющий системе уравнений (а, х) = 1, (Ь, х) = О, (с, х) = О. 24.62. Даны векторы а и и. Найти ортогональную проекцию вектора а на плоскость, перпендикулярную вектору и. 24.63. Найти ортогональную проекцию вектора ( — 14, 2, 5) на ось, определяемую вектором (2, — 2, 1). 24.64. Найти величину ортогональной проекции вектора (5, 2, 5) на ось, определенную вектором (2, — 1, 2). 24.65. Найти величину ортогональной проекции вектора а = (4, — 3,2) на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы.
214 Глава 77. Векторная алгебра 24.66. Найти ортогональную проекцию вектора (8,4,1) на плоскость, перпендикулярную вектору (2, — 2,1). 24.67. Даны векторы а = (8,4,1), Ь = (2, — 2,1), с = (1, 1, 9). Найти ортогональную проекцию вектора с на плоскость, параллельную векторам а и Ь. 24.68. Найти сумму векторов, являющихся ортогональными проекциями вектора а на стороны равностороннего треугольника АВС. 24.69.
Известны величины ортогональных проекций векторов а, Ь, с и д на ось, определенную вектором е: (рг, а) = 5, (рг Ь) = — 3, (рг, с) = — 8, (рг с1) = б. Образуют ли векторы а, Ь, с, Й замкнутую ломаную? 24.70. Десять векторов таковы, что длина суммы любых девяти из них меньше длины суммы всех десяти векторов. Доказать, что существует ось, величина проекции на которую каждого из десяти векторов положительна. 24.71. Векторы а = (0,1,2), Ь = (1,0,1), с = (2,1,0) являются ребрами параллелепипеда, выходящими из одной вершины.
Найти ортогональную проекцию меньшей внутренней диагонали параллелепипеда на грань, параллельную векторам Ь и с. Скалярное произведение в аффинных координатах 24.72. Выразить через метрические коэффициенты ды, диь дзз базиса ем еэ на плоскости; а) длины базисных векторов; б) угол ю между базисными векторами; в) площадь параллелограмма, построенного на базисных векторах. 24.73. Зная матрицу Грама С = (д, ) базиса еы еэ на плоскости, найти: а) скалярное произведение векторов а= (аы аз) и Ъ = (Ьм Ьэ); б) длину вектора а = (ам аз) и его направляющие косинусы; в) угол между векторами а = (ам аз) и Ь = (Ьы Ьз).
24.74. В аффинной системе координат дан вектор а = (7, — 8). Найти вектор Ь единичной длины, перпендикулярный вектору а и направленный так, что пара векторов а, Ь имеет положительную ориентацию,прн этом дм = 4, дш = 8, дзз = 25. з24. Скалярное произведение 215 24.75. Зная длины базисных векторов (е1( = 2, (ез! = 3 и угол между ними ь~ = л/З,найти длину вектора а = ( — 4,6). 24.76. Известны длины базисных векторов аффинной системы координат ~ е1( = 4, ! ез ~ = 2 и угол между ними ы = я/3.
Относительно этой системы координат заданы вершины треугольника А(1,3), В(1,0), С(2, 1). Определить длины сторон АВ и АС этого треугольника и угол А мел~ду ними. 24.77. Относительно аффинной системы координат дан треугольник АВС с вершинами А(1, 1), В(5, 3), С(3, 5), длины сторон которого суть АВ = ~/52, АС = 4, ВС = ~/28. Определить длины базисных векторов этой системы координат и угол между ними. 24.78. Относительно аффинной системы координат дан прямоугольный треугольник АВС с вершинами в точках А(1,0), В(0, 1), С(3, 2), прямым углом при вершине С н катетами СА = 2, СВ = 3.
Определить длины базисных векторов этой системы координат и угол между ними. 24.79. Относительно аффинной системы координат дан прямоугольный треугольник АВС с вершинами в точках А(1,0), В(0, .1), С(3, 2), прямым углом при вершине С и катетами СА = 2, СВ = 3, Определить длины сторон А|В1 и А1С1 треугольника А|В1 С1 и угол А1 между ними, если вершины этого треугольника имеют координаты А1(1,1), В1(2,2), С1(2,4).
24.79.1. Доказать, что скалярный квадрат вектора а = о1 е1+ оз ез + аз ез вычисляется через его координаты в базисе еы ез, ез по правилу 2 2+ 2+ 2 — з тогда и только тогда, когда этот базис ортонормированный. 24.80. Базисы еы ез и 1ы 1з на плоскости называются взаимными (биорглоаональными), если ( еы 1~) = ( ет, 1г) = 1, (еы $з) = ( ет, 11) = 0 Зная матрицу Грама С = (д, ) базиса еы ез, найти: а) матрицу Грама взаимного базиса; б) координаты векторов взаимного базиса 1ы (з в базисе еы ег; в) длины векторов взаимного базиса; г) угол между векторами 11 и 1з взаимного базиса. 24.81. Вектор а = (амат) задан своими координатами в базисе еы ез, а вектор Ь = (51,5з) — своими координатами во 216 Глава И. Векторная алгебра взаимном базисе Гы 1з.
Доказать, что их скалярное произведе- ние вычисляется по формуле (а, Ь) = а161 + а26з. 24.82. 1) Найти векторы е1, е~, полученные поворотом на угол д векторов е1 и ез соответственно, если известны метри- ческие коэффициенты ды, днн дзз базиса еы ез. 2) Рассмотреть частный случай поворота на угол у = я/2.
24.83. Найти вектор а', полученный поворотом вектора а = (ам аз) на угол р, зная метрические коэффициенты ды, д|з, дзз базиса еы е2, в котором заданы координаты вектора а. 24.84. 1) Найти векторы е1, е~, полученные поворотом на угол ~р векторов е1 и е2 соответственно, если ( е1( = ( ез( = 1, а угол между векторами еы ез равен оз. 2) Рассмотреть частный случай поворота на угол ~р = я/2. 24.85. Выразить через метрические коэффициенты д, ( е,, е ) базиса еы ез, ез в пространстве: а) длины базисных векторов; б) углы оз, = ( е,, е ) между базисными векторами.
24.86. Пусть С = (д; ) — матрица Грама базиса еы ез, ез в пространстве, а„6, — координатные столбцы векторов а и Ь соответственно в базисе еы ез, ез. Доказать, что скалярное про- изведение векторов а и Ъ вычисляется по формуле (а, Ь) = атС6,.
24.87. Зная матрицу Грама С = (д,у) базиса еы ег, ез в пространстве, найти: а) длину вектора а = (аы а2, аз); в) угол между векторами а = (аы аз, аз) и Ь = (6м 6з, 631. 24.88. Найти направляющие косинусы вектора а = (ама2, аз), заданного своими координатами в базисе еы ез, ез, если: а) известны метрические коэффициенты д; = (е;, е ) этого базиса; б) известно, что базисные векторы еы е2, ез по длине равны 1, а углы между ними равны: ьз1з = (еы ез), ы1з = (ем ез), оззз = (ез, ез) 24.89. Базисы еы ез, ез и Гы $г, 1з в пространстве называ- ются взаимными (биортогональными), если / 1, еслибы=д, ( О, если г ф ~. (е„1') = ° д25.
Векторное и смешанное произведения 217 Найти матрицу перехода от базиса еы ег, ез к его взаимному базису 1П Гг, )з, если известна матрица Грама С базиса еп ег, ез. 24.90. Вектор а = ~ап аг,аг) задан своими координатами в базисе ем ег, ез, а вектор Ь = (Ьмбг, Ьг) — своими координатами во взаимном базисе )м $~, 1з. Доказать, что их скалярное произведение вычисляется по формуле (а, Ь) = аг61 + агЬг+ озЬз. 24.91.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
