Том 1 (1113039), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Известна матрица Грама С базиса ем ег, ег. Доказать, что матрица Грама базиса, взаимного с базисом еп ег, ез, является матрицей, обратной к матрице С. 24.92. Вектор а = (ам аг, аз) задан своими координатами в базисе ем ег, ег с метрическими коэффициентами д; . Найти координаты вектора а в базисе, взаимном с базисом е1, ег, ег. 24.93. Длины векторов базиса еь ег, ез равны единице, а углы между ними равны гг/3. Найти длины векторов 1П 12, Гз базиса, взаимного с ем ег, ез. 24.94. Пусть ем ег, ез и )ь 12, )з — взаимные базисы пространства.
Найти углы й, между векторами е; и Г; (1 = 1,3), если векторы еп ег, ез по длине равны единице, а углы между ними равны: игдг = (ем ег), иг1з = (еы ез), иггг = (ег, ег). 24.95. Доказать, что матрица С является матрицей перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису тогда и только тогда, когда С вЂ” ортогональная матрица. 925. Векторное и смешанное произведения Векторное произведение. Пусть в пространстве гг выбрана ориевтвцпя.
Базисы, задающие эту ориентацию, назовем правыми (положительными). Векторным произведением ненулевых векторов а и Ь называется вектор с такой, что: 1) ) с) = ) а) ) Ь)влп(а, Ь), 2) с ортоговелев каждому из векторов а и Ь н если с ф О,то 3) с направлен твк,что упорядоченная тройка а, Ъ, с — правая. Если один из векторов а или Ь нулевой, то векторное произведение считается равяылг О.
Обозначение: (в, Ь). Теорема гблг (критерий коллииеарности). Векторы а и Ь каллинеарны тогда и только тогда, когда (а, Ь) = О . Глава 77. Век горлан алгебра 218 Т е о р е м а 25.2. Векторное произведение антикоммутатпивно: | а, Ь| = — ( Ь, а), 'г'а, Ь, Следствие 2. Смешанное произведение линейно по каждому из сомножителей.
Векторное и смешанное произведения в прямоугольных координатах. Пусть ег, ег, ез — ортонормированный базис пространства и пусть ег, ег, ез †прав тройка. 1. Если векторы а = (ап аг, аз) и Ь = (6(, Ьг, 6з) заданы своими координатами в базисе ег, ег, ез, то аз аг аз а( аг Ь, ' Ь, Ь, " + Ь, Ь, ! ' |,Ь)= Ь,' или, в условной записи в виде мнемонического определителя, е, ег ез |а, Ь| = а( аг аз Ь! Ьг Ьз (имеется в виду разложение этого определителя по первой строке).
2. Если векторы а = (ам аз,аз), Ь = (Ь!, Ьг,бз), с = (с(, сг, сз) заданы своими координатами в базисе еы ег, ез, то а( аг аз ( а, Ь, с) = Ь( Ьг Ьз сг сг сз Замечание. Если исходный базис ег, ег, ез отрицательно ориентирован,то (! Ь,' 6,' ~ г-~ 6, 'Ь,' ~ г+~ 6, 'Ь.' 'з) ег ег ез а( аг аз, (а, Ь, с) = — 6( Ьг Ьз с( аг аз Ь Ь сг сз (а, Ь) = — а( Ь Теорема 25.3. Векторное произведение линейно по казкдому из сомножителей.
Смешанное произведение. Смешанным произведением векторов а, Ь и с называется число, равное скалярному произведению векторного произведения а и Ь на вектор с. Обозначение: (а, Ь, с). Итак, (а, Ь, с) = (|а, Ъ), с). Теорема 25.4 (критерий компланарности). Векторы а, Ь, с компланарны тогда и только тогда, когда (а, Ъ, с) = О. Теорема 25.5. Смешанное произведение некомпланарных векторов а, Ь и с равно по абсолютной величине обеему У' параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах а, Ь, с.
Причем ( ь', если а, Ь, с — правая тройка; — (г', если и, Ь, с — левая гпройка. Теорема 25.5. Длл любых векторов а, Ь, с выполнено равенсглво (|а, Ъ|, с) = (а,(Ъ, с|). Следствие 1. Для любых векторов а, Ь, с имеют место равенства (а, Ь, с) = ( Ь, с, а) = (с, а, Ь) = — ( Ь, а, с) = -(а, с, Ь) = — (с, Ь, а), 325. Векторное и смешанное произведения 219 Пример 25.1. Ребро куба АВСРА1Влс10л равно 2, точка К вЂ” центр грани АВВлАь Найти расстояние р(См РК) от точки Сл до прямой РК.
Решение. Из определения векторного произведения следует, что р(с,,рк) = )(Рк, вс,)( )Рк! Найдем координаты вектороа РК и РСл в ортонормированном базисе а = -'ВА, Ь = -'ВВл, с = -'ВС, Имеем: РК = (-1, 1, — 2) (см. пример 24.2), РС1 = Р7!+ РР1 — — — 2 а+ 2 Ъ, так что РСл = ( — 2, 2, 0). Отсюда а Ь с (РК,ВС ) = — 1 1 -2 = (4,— 4,0), — 2 2 0 ((РК,РС~)! = 4ч'2, )РК) = л/б. Следовательно, р(сл, РК) = 4лУЗ!3. ° Пример 25.2. Ребро куба АВСРАлВлСлр1 равно 2, точка К вЂ” центр грани АВВлАь Найти расстояние межпу прямыми РК и ССл.
Решение. Заметим, что РК и СС1 — скрещивающиеся прямые и расстояние между ними равно расстоянию между параллельными плоскостями, в которых они лежат, т.е. высоте 1л параллелепипеда, построенного на векторах РК, РС и Ррл (Ррл = ССл). Из свойств смешанного и векторного произведений следует, что цол,гсЛ В ортонормированном базисе а = л ВА, Ь = -'ВВл, с = л ВС векторы РК, РС и ррл имеют координаты Рк= (-1,1, -2), Рс = (-2,0,0), 001 = (0,2,0), поэтому — 1 1 — 2 (рк РС РР,) — 2 0 0 =8, 0 2 0 а Ь с (РК Я 1 1 2 = (0,-4,2), — 2 0 0 ((РК, РС) ~ = 2ъ~5.
Следовательно, й = 4Я/5. ° Пример 25.3. Ребро куба АВСРАлВлслрл равно 2, точка К вЂ” центр грани АВВлАь Среди треугольников КТР, где точка Т лежит на прямой ССм найти треугольник наименьшей площади. Глава к7. Вектерная алгебра 220 Решение. Имеем вкто = -ВК 5, где 6 — высота треугольника КТО. Площади всех таких треугольников определяются длинами высот. Среди всех высот А наименьшую длину имеет общий перпендикуляр к прямым ОК и ССО т.е. его длина совпадает с расстоянием между ближайшими точками этих прямых. Из примера 25.2 следует, что 6 м = р(ВК,СС1) = 4х/5/5, ВК = ъ'6.
Таким образом, Я „ = 2х/ЗОО/5. ° Пример 25.4. Дан треугольник АВС. Найти все такие точки Р, что площади треугольников АВР, ВСР и АСР равны. Решение. Так как площади треугольников АВР, ВСР и АСР равны, то векторы [РА, РВ), [РВ, Рб'), [Рд, РА) одинаковы по длине. Из определения векторного произведения следует, что векторы [РА, РВ), [РВ, РС), РС, Р.А) перпендикулярны плоскости треугольника АВС и сонаправлены. аким образом, [РЛ, РВ) = [РВ,Р7) = [РС, РЛ), (25.1) Выразим векторы РВ и Р7! через векторы р = АР, Ь = АВ и с = АС: РВ= Ъ вЂ” р, РС= с — р. Подставим эти соотношения в (25.1) и преобразуем получившиеся равенства в соответствие со свойствами векторного произведения: [ — р, Ь вЂ” р] = [Ь вЂ” р, с — р), [ [-р, Ь] = -[Ь, р) — [р, с)+ (Ь, с], ( [ — р, Ъ вЂ” р) = [с — р,— р) [ ( — р, Ь) = — [с, р) [2 Ь вЂ” с, р) = [Ь, с), [ Ь + с, р) = О.
Из второго равенства последней системы следует, что векторы р и Ь+ с коллинеарны и потому р = а(Ь+ с) для некоторого а Е Й. Тогда из первого равенства системы получим: (2Ь вЂ” с,аЬ+ ас) = (Ь, с) ч=ь (1 — За)(Ь, с] = О. Вектор (Ь, с) не нулевой и, тем самым, а = 1/3. Следовательно, р = 5( + ) Так как конец вектора ЛМ = 1~ р = э(Ь+ с) делит сторону ВС треугольника пополам, то ЛМ вЂ” медиана треугольника, а точка Р делит эту медиану в отношении 2: 1, считая от вершины А. Поэтому Р— точка пересечения медиан в треугольнике АВС. ° Пример 25.5. Доказать, что векторы а, Ь, с не компланарны тогда и только тогда, когда не компланарны векторы [Ь, с], [с, а), [а, Ъ).
Решение. Пусть векторы а, Ь, с не компланарны. Рассмотрим равенство а[ Ь, с) + В[ с, а) + у[а, Ь) = О. Умножая скэлярно обе части этого равенства на вектор а, в силу свойств смешанного произведения получим и = О. Аналогичным образом доказывается, что В = у = О, Это означает линейную независимость (т.е.
некомпланарность) системы векторов [Ь, с], [с, а), [а, Ь). Пусть теперь [Ъ, с), [с, а), [а, Ь) не компланарны. Рассмотрим равенство аа+ ВЬ+чс = О. 221 525. Векторное н смешанное произведения Умножая сквлярно обе части этого равенства на вектор ( Ъ, с(, в силу свойств смешанного произведения получим о =О. Аналогичным образом доказыва- ется, что г7=7=0.
Это означает некомпланарность векторов а, Ь, с. ° Две тройки векторов аы аг, аз и Ьз, Ьг, Ьз называются взаимными (биорглогональнылзи), если векторы этих троек связаны соотношениями ( О, еслигг-г, 1, еслиз=). Тогда ег ег ез (Ь, с) = 6 0 0 = (О,О,Ьсг), сз сг 0 (а, (Ь, с)) = (агЬсг, — азЬсг,О) Ь(а, с) — с(а, Ь) = ((азсг + агсг)6,0,0) — (сгагЬ,сгаг6,0) = = (агсгЬ, — сгаз6,0) = (а, (Ь, с((, ° Пример 25,7.
Найти объем (г параллелепипеда, построенного натройке базисных векторов а, Ь, с, если известна матрица Грама С = С(а, Ъ, с). Решение. Пусть еп ег, ез — ортонормированный базис, одинаковоориентированный с тройкой а, Ь, с, и пусть векторы а, Ь, с в этом базисе имеют координаты: а = (аг,аг,аз), Ь = (Ьз,Ьг,Ьз), с = (сз,сг,сз). Тогда аз с)= Ьз сз аг аз Ь Ь сг сз аг аз Ь Ь сг сз аз Ь! с1 аг Ьг сг аз Ьз сз (г=(а,Ь, аг Рг= Ьз сз откуда получаем, что ЗАДАхХИ В задачах этого параграфа считается, что координаты векторов заданы в прямоугольной декартовой системе координат, В решении задачи из примера 25.5 фактически показано, что если (а, Ъ, с) = 1, то тройка (Ь, с], (с, а), (а, Ъ) является взаимной к тройке векторов а, Ь, с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
