Том 1 (1113039), страница 41
Текст из файла (страница 41)
26.23. Дана точка (О, 2) пересечения медиан треугольника и уравнения двух его сторон 5х — 4у+ 15 = О, 4т+ у — 9 = О. Найти координаты вершин треугольника и уравнение его третьей стороны. 26.24. Точка пересечения медиан треугольника лежит в начале координат. Известны уравнения двух его сторон: х+у — 4 = 0 и 2х + у — 1 = О. Найти вершины треугольника и уравнение его третьей стороны. 26.25. Даны уравнения 4я + бу = О, х — Зу = 0 медиан треугольника и его вершина (2, — 5).
Составить уравнения сторон треугольника и найти остальные его вершины. 26.26. В треугольнике АВС углы А и В при его основании АВ острые, а боковые стороны АС и ВС не равны между собой. Найти геометрическое место точек пересечения диагоналей прямоугольников, вписанных в треугольник так, что две вершины прямоугольника лежат на основании данного треугольника, а две другие — на его боковых сторонах. 26.27. Найти геометрическое место точек пересечения диагоналей параллелограммов, вписанных в данный четырехугольник так, что стороны этих параллелограммов параллельны диагоналям четырехугольника. Уравнения плоскости в пространстве 26.28.
Составить уравнения плоскостей, проходящих через точку (2, 6, — 3) параллельно плоскостям координат. 26.29. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки Мм Мз, Мз, если: 1) М1(2,3,1), Мт(3,1,4), Мд(2,1,5); 2) М1 (2, О, — 1), Мт( — 2, 4, 1), Мз (О, 2, — 1). 238 Глава Ъ71. Прямал на плоскости и плоскость в пространстве 26.30.
Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат и через точки М~(2,1,1) и Мз( — 3,0,4). 26.31. Даны вершины тетраздра А(2,1,0), В(1,3,5), С(б, 3,4), В(0, — 7,8). Написать уравнение плоскости, проходящей через ребро АВ и середину ребра СВ. 26.32. Даны вершины тетраэдра А(З, 5, — 1), В(7, 5, 3), С(9, — 1, 5), .0(5, 3, — 3). Написать уравнения плоскостей, равно- удаленных от всех вершин тетраэдра. 26.33. Составить уравнение плоскости, отсекающей на осях От и Оу отрезки 5 и — 7 и проходящей через точку (1, 1, 2).
26.34. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку (3, 5, — 7) и отсекающей на осях координат ненулевые отрезки равной длины. Система координат прямоугольная. 26.35. Написать уравнение плоскости, проходящей через две точки А(3, 5, 1) и В(7, 7, 8) и отсекающей на осях От и Оу ненулевые отрезки равной длины. Система координат прямоугольная. 26.36.
Составить уравнение плоскости, отсекающей на осях координат отрезки, равные 3, 5 и -7 соответственно. 26.37. Определить отрезки, отсекаемые на осях координат плоскостью х — у + 7в — 4 = О. 26.38. Определить объем тетраэдра, ограниченного координатными плоскостями и плоскостью 2х+Зу+бг — 18 = О.
Система координат прямоугольная. 26. 39. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось Оу и точку (2, — 5, 1). 26.40. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку (3,7,2) и параллельной двум векторам (4,1,2) и (5,3,1). 26.41. Составить параметрические уравнения плоскости, проходящей через точку (2, 3, — 5) и параллельной векторам ( — 5, 6,4), (4,-2,0), 26.42. Составить уравнения плоскостей, проходящих через оси координат и параллельных вектору (2,1, — 4), 26.43.
Написать уравнения плоскостей, проходящих через оси координат и через точку (3, — 5,1). 26.44. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось Оу и равноудаленной от точек (2,7,3) и ( — 1,1,0). 26.45. Составить уравнение плоскости, проходящей через две точки (4,5,2), (6,2,4) и параллельной вектору (1,2,1). 26.46. Составить параметрические уравнения плоскости, 927. Задачи взаимного расположения прямых и плоскостей239 проходящей через две точки 11, 7, 8), (2, — б, — б) и параллельной оси О«.
26.47. Даны вершины тетраэдра А(5,1,3), В(1,6,2), С(5, О, 4), ьг(4, О, б). Написать уравнение плоскости, проходящей через ребро АВ параллельно ребру СВ. 26.48. В плоскости, проходящей через три точки А(2,1, 3), В(2,4,0), С( — 3,0,4), выбрана аффинная система координат с началом в точке А и базисными векторами АВ = ег и АС = е«. Найти: 1) пространственные координаты (х, у, «) точки М, имеющей в плоскостной системе координаты и = 5, и = 3; 2) плоскостные координаты и и и точки пересечения данной ПЛОСКОСТИ С ОСЬЮ О«.
26.49. В плоскости 2х+ Зу — 4«+ 12 = 0 выбрана аффинная система координат, начало которой находится в точке С пересечения этой плоскости с осью О«, а концы базисных векторов е1 и ез соответственно в точках А и В пересечения плоскости с осями Ох и Оу. 1) Найти пространственные координаты (х,у,«) точки Е этой плоскости с плоскостными координатами и = 1, и = 1; 2) Написать в плоскостной системе координат уравнения прямых АВ, ВС и СА пересечения данной плоскости с координатными плоскостями пространственной системы. 3) Написать в плоскостной системе уравнение линии пересечения данной плоскости с плоскостью 5х+ 3- — 8 = О.
26.50. Написать общее уравнение плоскости по ее параметрическим уравнениям в каждом из следующих случаев; 1) х = 2+ Зи — 4п, у = 4 — и, « = 2+ Зи; 2) х=и+и, у=и — у, «=5+би — 4п; 3) х=1+2п, у= — 2, «=1 — уб 4) х = и — и, у = 1 — 4и, « = 7+ 2и.
827. Задачи взаимного расположения прямых на плоскости и плоскостей в пространстве Необходимые и достаточные условия того, что две прямые й: Агх+ Вгу + Сг = О и )г: Агх+ Вгу+Сг = О, (27А) заданные общими уравнениями в аффинной системе координат, совпадают, параллельны или пересекаются, приводятся в следующей таблице (в ней 240 Глава И1. Прямая на плоскости и плоскость в пространстве приняты об~~~~~е~~~: С= (,1 В ), Г = ( А В С ) ): /А1 В11 /А~ В1 С1 2 2 3 2 3 Если уравнения (273) относятся к прямоугольной декартовой системе координат, то необходимым и достаточным условием перпендикулярности прямых 11 и (з является условие (27.2) А1Аз + Вг Вз = О.
Необходимые и достаточные условия того, что две плоскости хг: А~х+В~у+С|з+Р1 = О и яз; Азх4-Взу+Сгя+Рз = О, (273) заданные общими уравнениями в аффинной системе координат, совпадают, параллельны или пересекаются, приводятся в следующей таблице (в ней у А1 В~ С1 1 у А~ Вг Сг Р1 приняты обозначения: С= ( А В С ) г = ( А В С р ) ): 3 3 2 2 2 2 2 Если уравнения (27.3) относятся к прямоугольной декартовой системе координат, то необходимым и достаточным условием перпендикулярности плоскостей я1 и яз является условие А1Аз + В~ Вз + СгСз = О. (27.4) 327.
Задачи взаимного расположения прямых и плоскостей241 Множество х(Ме) всех прямых плоскости, проходящих через данную точку Мо, называется пучкам (собственным) прямых с центром в точке Мо. Пусть 1з и 1г — две несовпадающие прялзые пучка зг(Мо), заданные уравнениями (27.1) в некоторой аффинной системе координат Оху. Положим Е(х, у) = А,х + В,у + С„где г = 1, 2. Теорема 27.1. Прямая принадлеэкига пучку х(Мо) тогда и только тогда, когда она определяется уравнением (27.5) арз(х,у) Е 13Рг(х,у) = О при некоторых а, 13 й И, одновременно не равных нулю.
Каждая пара чисел о, (3, где а~ + 13г ф О, определяет единственную прямую пучка. Уравнение (27.5) называется уравнением пу ~ка прямых, проходящих через точку пересечения прямых (27.1). Уравнение пучка х(Мз) с центром Мо(хз,уо) может быть записано в виде А(х — хо) + В(у — уз) = О, где А и В принимают все действительные значения, одновременно не равные нулю. Множество х(1) всех плоскостей пространства, проходящих через прямую 1, называется пучком плоскостей с осью!. Пусть хз и хг — две пересекающиеся плоскости пучка х(1), заданные уравнениями (27.3) в некоторой аффинной системе координат Охуг. Положим Г(х у, г) = Азх+В у+С г~Ри где з = 1, 2. Теорема 27.2. Плоскость принадлежит пучку х(1) тогда и таольхо тогда, когда она определлетасл уравнением (27.6) аГз (х, у, г) + (3Рг(х, у, г) = О при некоторых а, В е К, одновременно не раеньзх нулю.
Уравнение (27.6) называется уравнением пучка плоскостей, проходящих через прямую пересечения плоскостей (27.3). Пример 27.1. Найти необходимое и достаточное условие того, что прямая 1з: Азх + Взу Е Сз = О принадлежит пучку прямых с центром в точке пересечения прямых 1з: Азх+ Взу+Сз = О и 1г: Агх+ Вгу+ Сг = О. Система координат аффинная. Решение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
