Том 1 (1113039), страница 43
Текст из файла (страница 43)
27.34. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку 13, — 5, 1) и параллельной плоскости х — 2у + 4г = О. 27.35. Даны уравнения трех граней параллелепипеда 2х + Зу+ 42 — 12 = О, х+ Зу — 6 = О, г + 5 = О и одна из его вершин 16, — 5, 1). Составить уравнения трех остальных граней параллелепипеда. )( 2) ( 2) ( х=1+и+и, у=2+и, 2=3+и †; х=1+и+и, у=2+и, 2=3+и †; Х=1+и+и, у=2+и, 2=3+и †; х= 9= 3 = х= ф = 3= х= р = 3+ 2и, 2 — 2и+ 4и, 1+ и+ 325 1+ 4и, Зи+ и, 4+ 2и+ 2и; — 1+ 2и+ и, и+ 2и, 1+ Зи. З27.
Задачи взаимного расположения прямых и плоскостей247 27.36. Составить уравнения плоскостей, равноудаленных от точек А(1,3, — 4), В(1,1,2), С( — 3,— 1,2) и проходящих через начало координат. 27.37. Даны три плоскости; Аьх + Вьу+ Сь» + Рь = О, й = 1,2, 3. С помощью матриц С= Аз Вз Сз А1 В1 С1 Рз Аг В» Сг Рз Аз Вз Сз Рз выразить условия, необходимые и достаточные для того, чтобы: 1) эти плоскости имели единственную общую точку; 2) эти плоскости были попарно различны и имели единственную общую прямую; 3) эти плоскости попарно пересекались и линия пересечения каждых двух плоскостей была параллельна третьей плоскости (т.е.
плоскости образовывали призму); 4) две плоскости были параллельны, а третья плоскость их пересекала; 5) эти плоскости были попарно параллельны; б) две плоскости совпадали, а третья их пересекала; 7) две плоскости совпадали, а третья плоскость была им параллельна; 8) эти плоскости совпадали. 27.38. Определить взаимное расположение трех плоскостей в каждом из следующих случаев: 1) 2х — 4у + 5» — 21 = О, бх + у +» — 30 = О, х — 3» + 18 = 0; 2) 2х+ 4у — Ỡ— 1 = О, Зх+ бу — 9» — 5 = О, х + 2д — 3» = 0; 3) 15х + 8у — » — 2 = О, 7х+ 2у+» = О, Зх — у+ 2»+ 1 = 0; 4) 5х — 2у + 4 = О, Зх+» — 5 = О, 8х — 2р+» + 7 = 0; 5) бх+ 2у+ 12» — 3=0, 5у — 7» — 10=0, Зх+ у+ б»+ 12=0. 27.39.
Написать уравнение плоскости, проходящей через начало координат и через линию пересечения плоскостей 2х+ 5у— б»+ 4 = 0 и Зу+ 2»+ б = О. 27.40. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку ( — 3,1,0) и через прямую пересечения плоскостей х + 2у— »+ 4 = 0 и Зх — у+ 2» — 1 = О. 27.41. Через линию пересечения плоскостей бх — у +» = О, 5х+ 3» — 10 = 0 провести плоскость, параллельную оси Ох.
248 Глава Ъ71. Прямая на плоскости и плоскость в пространстве 27.42. Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей х+ 2у + 3» — 4 = О, Зх +» — 5 = 0 и отсекающей на осях Оу и О» ненулевые отрезки равной длины. Система координат прямоугольная. 27.43. В тетраэдр, ограниченный плоскостями координат и плоскостью 2х — Зу + 4» + 18 = О, вписан куб так, что одна из его вершин лежит в начале координат, три ребра, выходящих из этой вершины, направлены по осям координат, а вершина, противоположная началу координат, лежит в данной плоскости. Определить длину ребра куба, Система координат прямоугольная.
27.44. Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей 2х — » = О, х+у — »+ 5 = 0 и перпендикулярной к плоскости 7х — у+ 4» — 3 = О. Система координат прямоугольная. 27.45. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат, точку (1, 2, 3) и перпендикулярной к плоскости х — у+ 2» — 4 = О.
Система координат прямоугольная. 27.46. Составить уравнение плоскости, перпендикулярной к плоскости х+ Зу+ 5» — 10 = 0 и проходящей через линию пересечения данной плоскости с плоскостью Оху. Система координат прямоугольная. 27.47. В пучке, определяемом плоскостями 2х+у — 3»+2 = 0 и 5х + 5у — 4» + 3 = О, найти две перпендикулярные друг к другу плоскости, из которых одна проходит через точку (4, — 3,1). Система координат прямоугольная.
27.48. В пучке, определяемом плоскостями Зх+у — 2» — 6 = 0 и х — 2у+ 5» — 1 = О, найти плоскости, перпендикулярные к этим плоскостям. Система координат прямоугольная. 27.49. Даны уравнения граней тетраэдра АВСР: (АВС): х+ 2у+»+ 2 = О, (АВР): х+ у — 1 = О, (АСР): х — у — » = О, (ВОР): Зх+»+ 1 = О. Написать уравнение плоскости, проходящей через ребро АВ и середину ребра СР. 27.50. Показать, что три плоскости х+2у — » — 4 = О, Зх — 2у+ 3» — 6 = О, 4у — 3»+3 = 0 образуют призму, и написать уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения первых двух граней призмы и параллельной ее третьей грани.
27.51. Даны уравнения граней тетраэдра АВС.Р: 328. Полуплоскости и полупространства 249 (АВС); х + 2у — Зг — 6 = О, (АВР): 2у + 5г — 4 = О, (АСР): Зх+ г+ 1 = О, (ВСР): х+ 2у = О. Написать уравнение плоскости, проходящей через ребро АВ и параллельной противоположному ребру СР. 27.52.
Составить уравнение плоскости, проходящей через точку пересечения плоскостей х — у = О, х + у — 2г + 1 = О, 2х+г †4= 1) содержащей ось Оу; 2) параллельной плоскости Охг; 3) проходящей через начало координат и точку (2, 1, 7). 27.53. При каком необходимом и достаточном условии четыре плоскости Аьх + Вьу + Сьг+ Рь = О, )с = 1, 4, пересекаются в одной точке? 27.54. При каком необходимом и достаточном условии четыре плоскости Аьх + Вьу+ Сьг + Рь = О, lс = 1,4, образуют тетраэдр? 828. Полуплоскости и полупрострапства Пусть прямая 1 в аффинной системе координат Оху задана уравнением Ах+ Ву+ С = О. (28.1) Теорема 28.1. Точки Мг(хм уг) и Мг(хг, уг) принадлежат разным полуплоскосгпям относительно прямой 1 тогда и только тогда, когда (28.2) (Ахг + Вуг + С)(Ахг + Вуг + С) < О. Полуплоскость, для точек М(х, у) которой Ах+ Ву+ С > О, называется положительной полуплоскостью относительно уравнения (28.1) прямой 1 и обозначается символом 1е, а полуплоскость, для точек которой Ах+Ву+С < О, — отрицательной полуплоскосгпью и обозначается 1 Теорема 28.2.
Вектор нормали п = (А,В) к прямой П Ах -Ь Ву ~- С = О, отлоокенный от любой то"аси прямой, направлен в сторону положительной пол уел оскосгли. Пусть плоскость к в аффинной системе координат Охуг задана уравнением Ах+ Ву+ Сг+ Р = О. (28.3) Теорема 28.3.
Точки Мг(хг,уг, гг) и Мг(хг,уг, гг) принадлежат разным полупространствам относительно плоскости я гпогда и гполько тогда, когда (Ахг + Вуг + Сгг + Р)(Ахг + Вуг + Сгг + Р) < О. Полупространство, для точек М(х, у, г) которого Ах + Ву т Сг ч- Р ) О, называется полоокительным полупространством относительно уравнения (28.3) плоскости гг и обозначается символом .ге, а полупространство, 250 Глава У11. Прямая на плоскости и плоскость в пространстве для точек которого Ах+ Ву+ Сг+ Р < О, — отрицагпельным полупространсгпеом и обозначается л Теорема 28.4.
Вектор нормали и = (А, В, С) к плоскости ггг Ах+ Ву+ Сз+ Р = О, отлозкенный от любой точки плоскости, напраелен е сторону положительного полупространстеа. Пример 28.1. Дан треугольник АВС: А(3, 1), В( — 2,4), С(1,0) и прямая 1: х — 7у + 5 = О. Установить, пересекает ли эта прямая стороны треугольника или их продолжения. Решение. Выясним, в каких полуплоскостях относительно уравнения данной прямой находятся вершины треугольника: 3 — 7+ 5 > 0 =а А е 1зц — 2 — 28+ 5 < 0 =э В е 1; 1 — О+ 5 > 0 =ь С е 1е. Так как точки А и В находятся по разные стороны от прямой 1, то эта прямая пересекает сторону АВ. Аналогично приходим к выводу, что прямая 1 пересекает сторону ВС.
° Пример 28.2. Установить, при каком необходилголг и достаточном условии точка Мо(хо, уо, зо) лежит мемеду двумя параллельными плоскостями Ах+ Ву + Сг+ Рг = 0 и Ах+ Ву+ Сз+ Рз = О. Решение. Так как нормали к плоскостям совпадают: пг = пз (А, В,С), то точка Мс лежит между этими плоскостями тогда и только тогда, когда она принадлежит разноименным полупространствам относительно уравнений этих плоскостей, т.е. (Ахо + Вуо + Сзо + Рг )(Ахо + Вуо + Сзс + Рг) < О. ° Пример 28.3.
Плоскости яг: 5х+у+2з-7 = О, яг: 7х+у+Зз — 4 = О, лз . 2х + з — 3 = 0 образуют призму. Расположена ли точка Мо( — 1,0,4) внутри этой призмы? Решение. На каждом ребре призмы укажем по точке, взяв, например, в качестве ее абсциссы х = 0; +2г — 7= 0, +Зз — 4 =О, ггг П ггз .' -ь2з — 7=0, — 3=0, ггг Вяз .' +Зз — 4=0, — 3=0, яз Гз яз . Точка Мо лежит внутри призмы тогда и только тогда, когда она расположена в тех же полупространствах относительно уравнений граней призмы, что и точки, лежащие на противоположных ребрах: 0 — 3 — 3 < 0 =л Мгз Е (яз); — 2+ 4 — 3 < 0 о Ма е (тз)-; 0+ 1+ 9 — 4 > 0 ~ Мгз Е (ггз)+, — 7+0+ 12 — 4 > 0 ~ Мо Е (хз)+', 0 — 5+ 6 — 7 < 0 ь Мзз е (ггг)-; — 5+ 0+ 8 — 7 < 0 е Ма й (ггг) Таким образом, точка Мо расположена внутри призмы.
° Зх-ну 7х+у х=О 5х+ у 2х+ з х=О 7х+ у 2х+ з х=О х=О, у = 13, =э Мш(0, 13, -3); г = -3 х=О, у = 1, -м М„(0, 1, 3); з = 3 х= О, у= — 5, =а Мзз(0,— 5,3) з=З 251 З28. Полуплоскости и полулространства 3 А Д А х1 И В задачах этого параграфа считается, что система координат произвольная аффинная.
Прямая на плоскости 28.1. Даны две прямые (АС): 2х + Зу — 5 = О, (ВВ) х — у — 1 = 0 и пять точек Р(3,1), Я(2,2), Л( — 2,1), Я(1, — 1), Т(4, 0). Обозначая через ~АМВ тот из четырех углов, образованных данными прямыми, в котором лежит точка Р, а через АСМП вЂ” угол, ему вертикальный, установить, в каких углах лежат остальные четыре точки. 28.2. В каждом из следующих случаев определить,принадлежат ли две данные точки одному углу, смежным углам или вертикальным углам, образованным прямыми, заданными своими уравнениями: 1) (3, 5), ( — 2, 1), Зт — у+ 8 = О, 2т + 5у — 6 = 0; 2) (б, — 2), (5, 2), т+ у — 3 = О, 2х + Зу = 0; 3) (2, — 2), (3, 6), х — 2у+ 1 = О, 2х + бу — 9 = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
