Том 1 (1113039), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Написать уравнение другой боковой стороны треугольника, зная, что она проходит через точку (2, 6). 29.27. Концы основания равнобедренного треугольника находятся в точках А( — 3, 4), В(б, — 2), тангенс угла при основании равен 3/2. Найти координаты вершины С, зная, что начало координат и точка С лежат по разные стороны от прямой АВ. 29.28. Даны вершина В( — 3, — 1) равнобедренного треугольника, вершина С(2, 1) в его основании и сову = з угла ~р при вершине В. Составить уравнения сторон треугольника.
29.29. Точка А(2,0) является вершиной правильного треугольника, а противолежащая ей сторона лежит на прямой х+ ~29. Метрические задачи в прямоугольной системе координат2б1 у — 1 = О. Составить уравнения двух других сторон. 29.30. Зная уравнения двух сторон треугольника АВ; 2х + Зу — б = О, АС: х + 2у — 5 = 0 и угол при вершине В, равный 45', написать уравнение высоты, опущенной из вершины А на сторону ВС треугольника. 29.31. Даны две вершины А(1,2) и В(3,4) треугольника и косинусы внутренних углов А и В, прилежащих к данным вершинам; сов А = —, сов В = =. Составить уравнения сторон ч5' ЛО треугольника и найти его третью вершину. 29.32.
Дана вершина С( — 3, 2) треугольника АВС, тангенсы его внутренних углов: 18 А = —, 18 В = — и уравнение 2х — у— 2 = 0 стороны АВ. Составить уравнения двух других сторон треугольника. 29.33. Даны две прямые: х + Зу = 0 и х — у+ 8 = О. Найти третью прямую так, чтобы вторая из данных прямых была биссектрисой угла между первой из данных прямых и искомой прямой. 29.34. Зная уравнение стороны треугольника х + 7у — б = 0 и уравнения биссектрис х+ у — 2 = О, х — Зу — б = О, выходящих из концов этой стороны, найти координаты вершины, противолежащей данной стороне. 29.35. Даны уравнения сторон треугольника Зх + у — 3 = О, Зх + 4у = 0 и уравнение х — у + 5 = 0 биссектрисы одного из внутренних углов этого треугольника. Составить уравнение третьей стороны.
29.36. Определить тангенсы внутренних углов треугольника, стороны которого заданы уравнениями х+ 2у = О, Зх — у = О, х+у — 1=0. 29.37. Найти косинус того угла мел~ну двумя прямыми 11 и 1ъ в котором лежит точка М, если: 1) 11. х+5у — 2 =О, 1г. 10х+2у+1= 0, М(1,1); 2) 11.
2х — бу — 3 = О, 1з . х+ 7у+ 5 = О, М(4,1). 29.38. В каком (остром или тупом) угле, образованном прямыми 2х — у + 3 = О, х — 4у = О, лежит точка (2, — 1)? 29.39. Даны три прямые Аьх + Вьу = О, й = 1,2, 3, проходящие через начало координат. При каком необходимом и достаточном условии третья прямая расположена в остром угле, образованном двумя первыми прямыми? 29.40. Составить уравнения прямых, параллельных прямой 262 Глава ЪП.
Прямая на плоскости и плоскость в пространстве 5х + 12у — 1 = 0 и отстоящих от нее на расстоянии, равном 5. 29.41. Найти расстояние между параллельными прямыми Ах+ Ву + С~ = 0 и Ах+ Ву + Сз = О. 29.42. Составить уравнения двух параллельных прямых, зная, что расстояние между ними равно 4/~/5 и что на оси Ох они отсекают отрезки, равные соответственно — 3 и — 7.
29.43. Составить уравнения биссектрис углов между следующими прямыми: 1) Зх — у + 5 = О, Зх + у — 4 = 0; 2) Зх — 4р+ 2 = О, 5х+ 12у — 3 = О; 3) х — у=О, х+у=О; 4) х+ 2у = О, Зх+ 4у = О. 29.44. Составить уравнение биссектрисы острого угла между прямыми: 1) х — Зу = О, Зх — у+ 5 = 0; 2) х — 5у = О, — 10х + 2у + 1 = О. 29.45. Написать уравнение биссектрисы того угла между прямыми 1~ и 1з, внутри которого лежит точка М, если: 1) 1~ . х+ 7у = О, 1з .
х — у — 4 = О, М(1, 1); 2) 1~ . 10х — 2р+ 3 = О, 1з . х+ 5у = О, М(3, 1). 29.46. Даны две прямые1~ . Зх+4у — 2 = О, 1з . '5х — 12у — 4 = 0 и точка (1, 1). Внутри угла, образованного данными прямыми и содержащего данную точку, найти такую точку, чтобы ее расстояния до прямых 1~ и 1з были равны соответственно 3 и 1. 29.47. Найти точки, равноудаленные от обеих биссектрис координатных углов и от точки (1, ~/2). 29.48. Найти точку, находящуюся на равных расстояниях от точек (4, 1) и (8, — 3) и от прямой Зх — 4у = О.
29.49. На прямой х+ у — 8 = 0 найти точки, равноудаленные от точки (2, 8) и от прямой х — Зу + 2 = О. 29.50. На осях координат найти точки, равноудаленные от прямых 5х — у+ 6 = 0 и 5х + у — 3 = О. 29.51. На прямой х+2у — 12 = 0 найти точки, равноудаленные от прямых х + у — 5 = 0 и 7х — у + 11 = О. 29.52. На прямой х — Зу + 13 = 0 найти точки, отстоящие от прямой х + 2у + 3 = 0 на расстоянии, равном ~!5. 29.53. Найти точку, отстоящую от каждой из прямых 4х— Зу + 20 = 0 и Зх + 4у — 60 = 0 на расстоянии, равном 5. 29.54. Составить уравнения прямых, перпеьдикулярных пря- ~29. Метрические задачи в прямоугольной системе координат263 мой 2х+ бу — 3 = 0 и отстоящих от точки (5,4) на расстоянии, равном ~/ГО. 29.55.
Найти касательные к окружности с центром (1, 1) и радиусом 3, параллельные прямой 5х — 12у = О. 29.56. Написать уравнения касательных к окружности с центром (1, 1) и радиусом 2, проведенных из точки (7, — 1). 29.57. Найти общие касательные к двум окружностям, центры которых находятся в точках (1, 1) и (2,3), а радиусы соответственно равны 2 и 4.
29.58. Составить уравнение прямой, параллельной оси Оу и отстоящей от точки (3, 5) на расстоянии, равном 7. 29.59. Через начало координат провести прямую, отстоящую от точки (3, — 2) на расстоянии, равном 1. 29.60. Составить уравнения прямых, отстоящих от точки (1,9) на расстоянии, равном 5, и наклоненных к прямой х — 7у = 0 под углом 45'. Найти вершины квадрата, образованного этими прямыми.
29.61. Внутри треугольника, образованного прямыми (АВ): 7х+у — 2 = О, (ВС): 5х+5у — 4 = 0 и (АС): 2х — 2у+5 = О, найти точку, равноудаленную от двух его сторон АВ и ВС и отстоящую от третьей стороны АС на расстоянии, равном З~/2/4. 29.62.
Найти центр и радиус окружности, проходящей через точку ( — 1,3) и касающейся прямых 7х+ у = О, х — у+ 8 = О. 29.63. Найти центр круга, вписанного в треугольник, ограниченный осями координат и прямой Зх — 4у — 5 = О. 29.64. Найти центр круга, вписанного в треугольник, стороны которого заданы уравнениями х + у + 12 = О, 7х + у = О, 7х — у+ 28 = О.
29.65. Составить уравнения биссектрис внутренних углов треугольника, стороны которого заданы уравнениями Зх — 4у = О, 4х — Зу = О, 5х + 12у — 10 = О. 29.66. Написать уравнение биссектрисы наибольшего из внутренних углов треугольника со сторонами Зх — 4у — 2 = О, 4х — Зу — 5 = О, 5х+ 12у+ 27 = О. 29.67. Написать уравнения сторон квадрата, описанного около окружности с центром (1, 9) и радиусом 5, зная, что одна из его диагоналей параллельна прямой х — 7у = О.
29.68. Основанием равнобедренного треугольника служит прямая х+2у+6 = О, а боковой стороной — прямая 2х+у = О. На- 264 Глава Ъ'П. Прямая на плоскости и плоскость в пространстве писать уравнение другой боковой стороны треугольника, зная, что ее расстояние от точки пересечения данных сторон равно ъ'5. 29.69. Написать уравнения сторон прямоугольника, зная уравнения его диагоналей 7х — у+ 4 = О, х+ у — 2 = 0 и внутреннюю точку (3, 5) одной из его сторон.
29.70. Центр симметрии квадрата находится в точке ( — 1, 0), а одна из его сторон задается уравнением хтЗд — 5 = О. Составить уравнения трех других сторон квадрата. 29.71. Даны уравнения х+ у — 5ъ'2 = О, т+ у = 0 параллельных сторон ромба и точки (3, 5) и (1, 0), лежащие на двух других его сторонах. Составить уравнения двух других сторон ромба. 29.72. Составить уравнения сторон квадрата, две параллельные стороны которого проходят через точки (2, 1) и (3, 5), а две другие — через точки (О, 1) и ( — 3, — 1). 29.73. Составить уравнения сторон квадрата, зная его центр (1, 6) и точки на двух непараллельных сторонах; (4, 9) на стороне АВ, ( — 5, 4) на стороне ВС.
29.74. Даны уравнения боковых сторон равнобедренного треугольника 7х — у+ 4 = О, л + у — 2 = 0 и точка (3,5) на его основании. Составить уравнение основания. 29.75. Написать уравнения сторон ромба, зная точку М(1, б) пересечения его диагоналей и по одной точке на трех его сторонах: Р(3,0) на стороне АВ, Я(6,6) на стороне ВС, А(5,9) на стороне СР. 29.76. Вершины острых углов прямоугольных треугольников перемещаются по двум параллельным прямым, а вершина прямого угла — по прямой, к ним перпендикулярной.
Какую линию описывает при этом основание перпендикуляра, опущенного из вершины прямого угла на гипотенузу прямоугольного треугольника? 29.77. Найти геометрическое место точек, сумма расстояний которых до катетов СА и СВ прямоугольного треугольника АВС равна расстоянию до его гипотенузы АВ. 29.78. Найти множество точек плоскости, отношение расстояний от которых до двух пересекающихся прямых А~х + В~у + С~ =0 и Азх+ Взу+ Сз =0 есть постоянная величина, равная й. ~29.
Метрические задачи в прямоугольной системе координат265 Плоскость в пространстве 29.79. Через точку М( — 5, 16,12) проведены две плоскости: одна из них содержит ось Ох, другая — ось Оу. Вычислить острый угол между этими плоскостями. 29.80. Через начало координат провести плоскость, перпендикулярную к плоскости 5х — 2у+ 5х — 10 = 0 и образующую с плоскостью х — 4у — 8с + 12 = 0 угол 45'. 29.81. Через линию пересечения плоскостей х + 5у + х = 0 и х — г + 4 = 0 провести плоскость, образующую угол 45' с плоскостью х — 4у — 8х = 1. 29.82. Вычислить косинусы внутренних двугранных углов тетраэдра, образованного плоскостями координат и плоскостью 2х+ Зу+ бг — 12 = О.
29.82.1. Плоскость задана уравнением г = ах+ !и~+ с. Найти тангенс острого двугранного угла, образованного этой плоскостью и координатной плоскостью Оху. 29.83. Найти косинус того угла между плоскостями: 1) Зх+ у — 2г+ 4 = 0 и х — 7у+ 2г = 0; 2) 8х + 4у+ х + 1 = 0 и 2х — 2р+ х + 1 = О, в котором лежит точка (1,1,1). 29.84. Грани тетраэдра заданы уравнениями; 2х — 2у+х+2 = О, 8х+4у+г — 16 = О, х+у+г — 5 = О, 4х+Зу = О. Вычислить косинус внутреннего двугранного угла тетраэдра, ребром которого служит линия пересечения первых двух плоскостей. 29.85. Проверить, что три плоскости 11х + 10у + 2х = О, Зх+4у = О, х — у+с — 1 = 0 образуют призму, и вычислить косинус ее внутреннего двугранного угла, образованного первыми двумя плоскостями. 29.86.
Три плоскости Аьх+Вьу+Сьх+Вь = О, й = 1,2, 3, образуют призму. При каком необходимом и достаточном условии все внутренние двугранные углы этой призмы будут острые? 29.87. Составить уравнения биссекторных плоскостей двугранных углов между двумя плоскостями 7х + у — 6 = О, Зх + 5р — 4г+ 1 = О. 29.88. Составить уравнение биссекторной плоскости того двугранного угла между двумя плоскостями Зх+ 5у — 4г+ 1 = О, х — с — 5 = О, в котором лежит начало координат. 29.89. Написать уравнение биссекторной плоскости острого двугранного угла, образованного плоскостью 2х — Зу+ бг — 6 = 0 266 Глава И1. 77рямая на плоскости и плоскость в пространстве с плоскостью Оуг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
