Том 1 (1113039), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Прямая и плоскость в пространстве Для запоминания координат вектора а может быть использован мнемонический определитель е, ез ез а= Аг Вг Сг Аг Вг Сг где еы ег, ез — базис, соответствующий системе координат Охуг. Разложение этого определителя по первой строке совладает с разложением вектора а по базису ед, ез, ез. В прямоугольной декартовой системе координат, соответствующей ортонормированному базису ег, ез, ез, вектор [31.7) является векторным произведением [пг,пг[ нормалей пг и пг к плоскостям яг и ггг.
Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Пусть каждая нз прямых 1„г = 1,2, задана лежащей на ней точкой М,[х„у„г,) и направляющим вектором а, = [т„по Йг) в некоторой аффинной системе координат Охуг. Теорема 31.2. Прямые П и 1г лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда хг — хг гпг тг Уг — Уг «г — гг пг Йг =О. пг йг Теорема 31.3. Прл.мыс 1г и 1г совпадают тогда и только тогда, когда хг — хг уг — уг гг — гг '[ ! гб т, пг йг =1, тг пг 1гг параллельны и нг совпадают гпогда и только тогда, когда [тг пг йг~ [ хг — хг уг — уг гг — гг г газ пг г] гггг ггг 1г г пересекаются тогда и только тогда, когда тг пг хг — хг уг — уг гг — гг тг пг ] =гй тг пг Йг гггг па й г ] =2, Взаимное расположение прямой и плоскости.
Пусть в пространстве в некоторой аффинной системе координат Охуг заданы плоскость л; Ах+ Ву+ Сг+ Р = О и прямая ( Агп -Ь Вп + С1г = О, Аха+ Вуо+ Сго+ Р = О' арямал1 параллельна плоскости я, но нв лежит в ней тогда и талька тогда, когда ( Ат т Вп+ Ск = О, Ахо + Вуо + Сго .~- Р ф О; прямая 1 пгресгкаегл плоскость я тогда и только тогда, когда Ат+ Вп+ Ск ~ О.
г= го+1а, где гв = [хв, уа, го), а = 1т, и, 1г). Теорема 31.4. Прямая 1 лежит в плоскости я тогда и только тогда, когда 331. Уравнения прямой в пространстве 273 П р и м е р 31.1. Составить уравнение плоскости, параллельной прямой х — 2 у+7 з 1 3 — 2 и проходящей через линию пересечения плоскостей хГ: х — у + 2 = 0 и хз: у + г — 4 = О. Система координат аффинная.
Решение. 1-й способ. Из системы уравнений Г + 4 0' най- Г з — у+2=0, дем частное решение (2,4, 0), которое данг точку А(2,4, 0), через которую проходит прямая пересечения плоскостей яГ и ят. Из мнемонического опре- делителя ЕГ ЕЗ ЕЗ вЂ” = (-1,-1,Ц 0 1 1 х+1 у — 1 з — — — и 2 1 3 х — 2 у+2 з 3 4 1 Система координат аффинная. Решение. Искомую прямую можно рассматривать как линию, по которой пересекаются две плоскости, проходящие через данную точку и одну из данных прямых. Уравнения этих плоскостей х — 2 у+2 3 4 1 0 1 0 я+1 у — 1 з 2 1 3 =О, 1 0 0 =0 — 3=0, — общие или Зу — з — 3 = О, х — Зг — 2 = О.
Таким образом, г Г Зу — г ') х — Зз уравнения искомой прямой. ° Пример 31.3. Через точку пересечения прямой х — 1 у з 2 3 4 находим направляющий вектор р = ( — 1, — 1, Ц этой прямой. Из канониче- ского уравнения прямой 1 определим ее направляющий вектор с1 = 11, 3, — 2) . Таким образом, искомая плоскость проходит через точку А и параллельна неколлинеарным векторам р и сГ, поэтому она определяется уравнением х — 2 у — 4 з — 1 — 1 1 =0 ч= з+у+2г — 6=0. 1 3 — 2 2-й способ. Искомая плоскость принадлежит пучку плоскостей, опре- деленному плоскостями я1 и яз, поэтому ее уравнение имеет вид а(х — У+ 2) + ДУ+ з — 4) = О е=ь ах+ )6 — а)У+13г+ 2а — 413 = О. Так как прямая 1 параллельна этой плоскости, то ее направляющий век- тор с1 = 11, 3, -2) параллелен этой плоскости.
Следовательно, и + 3(6 — Гг) — 2)3 = О, откуда получим 13 = 2а (можно взять а = 1, ГЗ = 2) и уравнение искомой плоскости х+ у+ 2х — 6 = О. ° П р и м е р 31.2. Составить уравнения прямой, проходящей через точку (2, 1, 0) и пересекающей две прямые Глава Ъ'Н1. Прямая и плоскость в пространстве 274 х — 1 у в 2 3 4 = 0 ч=: 21х+ 46у — 46х — 21 = О. — 11 6 1 Искомая же прямая задается общими уравнениями ( х + 2у — х = О, 21х+ 46у — 4бх — 21 = О.
ЗАДАЯИ В задачах этого параграфа считается, что система координат произвольная аффинная. Случай прямоугольной декартовой си- стемы координат оговаривается особо. х у 31.1. В пространстве дана прямая — = — = 5. Найти направ- 2 3 ляющий вектор этой прямой.
31.2. Составить параметрические уравнения прямых: х — 2у+4х=О, ) х+у — в+5=0, Зх — 2у+ 5х = О; ) 2х — у+ 2я — 2 = О. 31.3. Составить уравнения прямой, проходящей через точки А и В, в каждом из следующих случаев: Ц А)2,3,1), В(4,5,О); 2) А)7,-1,2), В)5,-1,4); 3) А11,5,1), В11, — 5,1), 31.4. Представить каждую из следующих прямых как линию пересечения плоскостей, параллельных осям Ох и Оу: х = — 1+1, < 2) у=1 — 1, = 51.
х = 3+51, 1) у=7 — 41, х = — б+1; с плоскостью гг: х+ 2у — г = 0 провести прямую, перпендикулярную данной прямой 1 и лежащую в данной плоскости я. Система координат прямоугольная. Решение. 1-й способ. Обозначим через а = 12,3,4) — направляющий вектор прямой 1, а через и = 11,2, — 1) — вектор нормали к плоскости я. Вектор Ь = (а, п) = 1 — 11,6,1) будет направляющим вектором искомой прямой. Найдя точку Мс пересечения прямой 1 с плоскостью я, можно со- 1 3 ставить параметрические уравнения искомой прямой. Имеем Мс(-, — —, — 1) 2' 4' 1 3 х= — — 111,у= — -+бди= — 1-Ьа 2 ' 4 2-й способ.
Искомая прямая является пересечением плоскости л и плоскости .гг, проходящей через прямую 1 и перпендикулярной прямой 1. Следовательно, плоскость ггг проходит через точку (1,0,0) и параллельна векторам а = 12,3,4) и Ь = )а,п) = 1' — 11,6, Ц,поэтому она определяется уравнением 331. Уравнения прямой в пространстве 275 31.5. Написать уравнения прямой: 1) проходящей через точку (3, 5, 1) параллельно прямой х = 2+ 41, у = -31, х = -3; 2) проходящей через точку (О, — 5,4) параллельно прямой х+2у+6=0,в=5. 31.6. Дана точка А(1,2,3).
Считая, что система координат прямоугольная: 1) составить уравнения перпендикуляров, опущенных из точ- ки А на координатные плоскости; 2) составить уравнения перпендикуляров, опущенных из точ- ки А на оси координат; 3) написать уравнения плоскостей, проходящих через точку А и перпендикулярных к осям координат. 31.7. 1) Составить уравнения прямой, отсекающей на осях Ох и Оу отрезки, соответственно равные 2 и 3. 2) Написать уравнение плоскости, проходящей через эту пря- мую и параллельной оси Ох. 31.8.
Написать уравнения прямой, лежащей в плоскости Оуг, параллельной оси Оу и отсекающей на оси Ох отрезок, равный 3. 31.9. 1) Написать уравнения плоскостей, проходящих через ось Ох и делящих пополам двугранные углы, образованные ко- ординатными плоскостями Охх и Оуг. 2) Написать уравнения биссектрисы угла между положитель- ными направлениями осей Ох и Оу. Система координат прямоугольная. 31.10. Найти ортогональную проекцию прямой на плоскость Оху в каждом из следующих случаев: 1 ' 2 5х+8у — Зх+9=0, х — 3 у — 4 г — 6 2х — 4у+х — 1=0; ) — 5 6 8 Система координат прямоугольная. 31.11. Найти точки пересечения с плоскостями координат каждой из следующих прямых: бх + 2у — х — 9 = О, х = 6+21, 3х+2 +2 — 12=0' 2) у 2+4' х+ у г = — 51.
31.12. Даны точки пересечения прямой с двумя координат- ными плоскостями: (О, ум х1), (хз,О, гз). Вычислить координаты 276 Глава Ъ'111. Прямая и плоскость в пространстве точки пересечения этой прямой с третьей координатной плоско- стью. 31.13. х=7 — 6$, и у=2+ 91, -. = 121; х = 7+6~, и у=6+4~, г = 5+ 21. х=1+21, х=б+ 31, 1) у=7+ 1, и у= — 1 — 21, в=3+ 41 х= — 2+ 1; х= 1+28, х= — 2г, 3) у=2 — 2~, и у=-5+31, — в=4; 31. 14. 1 х+х — 1= О, ) '1 Зх+у — «+13=0 1 2х+Зу = О, ) х+г †8 х+у+г †1, ), у+4х=О ) Зх+у — 2г=6, ) ) 41х — 19у+ 52х = 68 31.15. х = 91, 1) у=51, г = — 3+1 х= 1, 2) у= — 8 — 41, х = — 3 — 31 х= 3+1, 3) у= — 1+21, я=4 х = — 2+31, 4) у= — 1, в=4 — ~ х=2+ 4Ф, 2) у= -61, г= — 1 — 8~ х = 1+9г, 4) у = 2+ 61, в=3+31 х — 2у+3 = О, у+2г — 8 = 0; < г — 4=0, 2х + Зх — 7 = 0; < 2х + Зу+ бх — 6 = О, Зх+ 4у+ 7г = 0; ~ х — 2у+5г =1, 33х+ 4у — 5Х = 63.
2 х — Зу — Зх — 9 = О, х — 2у+ в+3 = 0; х+у — в=О, 2Х вЂ” у+ 2Х = 0; х — Зу+« = О, х+у †в+4; 2у †в+2, х — 7у+ Зг — 17 = О. Установить, какие из следующих пар прямых скрещиваются, параллельны, пересекаются или совпадают; если прямые параллельны, написать уравнение плоскости, их содержащей; если прямые пересекаются, написать также уравнение плоскости, их содержащей, и, кроме того, найти их точку пересечения.
З31. Уравнения прямой в пространстве 277 Азх+ Взу+ Сзг+ Рз = О, ) Азх+ Взу+ Сзг+ Рз = 0 Агх+ Вгу+ Сгг+ Рг = 0 ) А4х+ В4у+ С4г+ Р4 = 0 лежат в одной плоскости? 31.17. Даны две прямые < Азх+ Взу+ Сзг + Рз = О, / Азх+ Взу+ Сзг+ Рз = О, Агх + Вгу + Сгг + Рг = 0 ) А4х + В4у + С4г + .Р4 = О. С помощью рангов матриц Аз Вз Сз Аг Вг Сг Аз Вз Сз А4 В4 С4 Аз Вз Сз Рз Аг Вг Сг .Рг Аз Вз Сз Рз А4 В4 С4 Р4 выразить условия, необходимые и достаточные для того, чтобы прямые: 1) скрещивались; 2) пересекались; 3) были параллельны; 4) совпадали. Установить в каждом из следующих случаев, лежит ли дан- ная прямая в указанной плоскости, параллельна ей или пересе- кает ее; найти точку пересечения прямой и плоскости. 31.
18. х — 12 у — 9 г — 1 1) = = и Зх+5у — г — 2=0; 4 3 1 х+ 1 у — 3 2) = = — и Зх — Зу+2» — 5=0; 2 4 3 х — 13 у — 1 г — 4 3) = — = и х+2у — 4г+1= 0; 8 2 3 х — 7 у — 4 г — 5 4) 5 1 4 и Зх у+2г 5=0. 31.19. 1) ) Зх+5У вЂ” 7г+16=0, 5 — — 4=0' '1 2х — у+в — 6=0 2) 2х+ Зу+бг — 10 = О, '1х+у+з+5=0 3) ~ 1 х+2у+Зг+8 = О, ~ 5х + Зу + з — 16 = 0 и 2х — у — 4г — 24=0 31.16.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
