Том 1 (1113039), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Векторные уравнения прямой и плоскости 289 33.13. Найти ортогональную проекцию точки Мо( го) на прямую [г, а] = М (а ф О, (а, М) = 0). 33.14. Найти проекцию точки Мс(го) на прямую г = г!+ а1 параллельно плоскости (г, п) = Р, если (а, и) ф О. 33.15. Найти точку, симметричную точке Мс(го) относительно прямой г = г! + ас.
33.16. Найти ортогональную проекцию точки Мс(гс) на плоскость (г, п) = Р. 33.17. Найти проекцию точки Мо(го) на плоскость ( г, и) = Р параллельно прямой г = г! + а1, если (а, и) Ф О. 33.18. Найти точку, симметричную точке Мс( го) относительно плоскости ( г, и) = Р. 33.19. Найти ортогональную проекцию точки Мс(гс) на плоскость г = г! + аи+ Ьо. 33.20.
При каком необходимом и достаточном условии четыре плоскости ( г, пь) = Ры 1с = 1,4, имеют единственную общую точку? 33.21. Даны две плоскости ( г, пь) = Рь, !с = 1,2. При каком необходимом и достаточном условии они: 1) пересекаются; 2)параллельны; 3) совпадают? 33.22. Даны прямая г = го+ а1 и плоскость ( г, и) = Р. При каком необходимом и достаточном условии: 1) они пересекаются; 2) они параллельны; 3) прямая лежит в плоскости? 33.23. Даны две прямые г = гь + аьГ, lс = 1,2. При каком необходимом и достаточном условии они: 1) скрещиваются; 2) пересекаются; 3) параллельны; 4) совпадают? 33.24.
Через прямую г = го + а1 провести плоскость, перпендикулярную к плоскости (г, п) = Р, если [а, и] ~ О. 33.25. Через прямую г = го + а1 провести плоскость, перпендикулярную к плоскости г = гу + Ьи + си, если известно, что (а, Ь)т+ (а, с)з ф О. 33.26. Через линию пересечения двух плоскостей (г, п!) = Р! и (г,пз)= Ре провести плоскость, перпендикулярную к плоскости (г, пз) = Рз, если известно, что ( п!, пз) + ( п2, пз) фО. 33.27. Через прямую [г, а] = М (а ф О, (а, М) = 0) провести плоскость, перпендикулярную к плоскости (г, п) = Р, если [а, п] ф О. 33.28. Пусть [а, Ь] ф О. Через прямую г = го+ а1 провести плоскость, параллельную прямой г = г! + Ы, !Π†4! 290 Глава Ъ'П1.
Прямая и плоскость в пространстве 33.29. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку Мо(гс) н прямую [г, а] = М, не содержащую точку Мо ((а, М) = О). 33.30. Составить уравнение плоскости, содержащей две параллельные прямые г = г~ + а1 и г = гз+ а1. 33.31. Составить уравнение общего перпендикуляра к скрещивающимся прямым г = г» + а»1, 1 = 1, 2. 33.32. Составить уравнение общего перпендикуляра к скрещивающимся прямым [г, а»] = Мы 1 = 1, 2. 33.33. Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из точки Мс(го) на прямую г = г~ + а1, если [г~ — го, а] ф О. 33.34.
Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из точки Мс( го) на прямую пересечения двух плоскостей ( г, п») = Р», 1с = 1, 2, не содержащую точки Мо. 33.35. Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из точки Мо(гс) на прямую [г, а] = М (а ~ О, (а, М) = О), не содержащую точки Мс. 33.36.
Найти расстояние от точки Мо(го) до плоскости (г, и) =Р. 33.37. На прямой г = го + а1 найти точку, отстоящую от плоскости (г, и) = Р на расстоянии д. 33.38. Найти расстояние от точки Мо(го) до прямой г = г~ + а$. 33.39. Найти расстояние от точки Мо( го) до прямой пересечения двух плоскостей (г, п~) = Р~ и (г, пэ) = Р2, не содержащей точки Мо. 33.40. При каком необходимом и достаточном условии три плоскости (г, п») = Р», 1с = 1,2,3, образуют призму? 33.41. При каком необходимом и достаточном условии трн плоскости (г, п») = Ры 1с = 1,2,3, имеют и притом только одну общую прямую? 33.42.
При каком необходимом и достаточном условии четыре плоскости (г, п») = Ры 1с = 1,4, образуют тетраэдр? 33.43. Найти ортогональную проекцию точки Мо( го) на прямую пересечения двух плоскостей ( г, п~) = Р~ и (г, пт) = Рз. 33.44. При каком необходимом и достаточном условии прямая г = гс + а1 пересекает треугольник с вершинами в точках М» ( г»), 1с = 1, 2, 3? Глава 1Х. Алгебраические линии и поверхности второго порядка ~34.
Эллипс, гипербола и парабола г1+гэ=2а, а>с. Введем на плоскости каноническую систему координат данного эллипса. Для этого примем за начало координат О середину отрезка Р1 Рэ, за ось Оз — прямую Е1рэ, ориентированную от Рг к Рр, ориентацию на оси Оу выберем произвольно (рис. 1). Рис. 1 Фокусы Р1 и Е~ в канонической системе координат, очевидно, имеют координаты ( — с, О) и (с,0) соответственно. Теорема 34.1. Уравнение эллипса в канонической системе координагп имеет вид ав у — Е- — = 1, а2 о2 (34.1) гдеа>Ь>0,ив=а — с . Эллипс. Эллипсом называется геометрическое место точек М плоскости, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек Гг и Рэ плоскости есть постоянное число, большее, чем расстояние между Р1 и Рэ.
Это число мы обозначим через 2а. Точки Гы Е~ называются фокусами эллипса, расстояние между ними называется фокусным расстпвлнием и обозначается через 2с. Числа гг — — р(М, Р'1) и гв = р(М, Рэ) называются фекальными радиусами точки М. Таким образом, точка М плоскости является точкой эллипса тогда и только тогда, когда Глава 1Х. Линии и поверхности второго порядка 292 г — 1(' 1 — —. Для эллипса, не являющегося окружностью, дие прямые дг и дг, заданные и канонической системе координат уравнениями а а дг; х= — — и дг, х=-, Е г называются директрисами эллипса (рис.
1). Директриса д, называется соотеетстпеующей 4охусу Г„1 = 1,2. Теорема 34.2. Эллипс, не леллющийсл окружностью, есть геомегприческое место точек М плосхосгпи, длл которых отношение расстояния от данной точки К х расстоянию до данной прямой И, не проходящей ~ереэ эгпу тпочху, равно постоянному положитпельному числу, меньшему единицьь т.е.
р(М, К) ( '„— — г, 0<с<1. (34.2) Для эллипса, определенного условием (34.2), а) точка Е янляется фокусом, б) прямая д — соответствующей фокусу Г директрисой, и) число г — эксцентриситетом, г) а =, с = аг, Ьг = аг(1 — гг), где т = р(К, д). 1 — гг' Теорема 34.3.
В канонической системе координат уравнение ка- сательной к эллипсу е его точке (хо, уо) имеет еид ххо ууо — + — = 1. аг Ьг Гипербола. Гиперболой называется геометрическое место точек М плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний от двух фиксироаанных точек Рг и Рг плоскости есть постоянное положительное число, меньшее, чем расстояние между Гг и Рг. Обозначим это число через 2а. Точки Еы Рр называются 4охусами гиперболы, расстояние между ними называется 4окальным расстоянием и обозначается 2с, Числа гг — — р(М, Кг) и гг = р(М, Рр) называются 4охальными радиусами точки М.
Таким образом, точка М плоскости является точкой гиперболы тогда и только тогда, когда )гг — гг~ = 2а, а < с. Уравнение (34.1) назыааегся каноническим ураенением эллипса. Эллипс обладает слелующилш простейшими свойствами. 1'. Координатные оси канонической системы координат являются ослми симметрии эллипса, а начало координат — его центром с м.иетрии. Начало координат канонической системы координат называется центром эллипса, числа 2а и 2Ь вЂ” большой и малой осями эллипса, а числа а и Ь— его большой и малой полуосями.
2'. Все точки эллипса лежат е прл иоугольнике, ограниченном прямыми х = ха и у = хЬ. Точки ( — а, 0), (а, 0), (О, — Ь), (О, Ь) пересечения эллипса с осями координат называются вершинами эллипса. Число г = с/а называется эксцентриситетам эллипса Из определения следует, что 0 < г < 1, при этом 334. Эллипс, гипербола и парабола 293 Введем на плоскости каноническую систему координат данной гиперболы так же, как это было сделано выше для эллипса (рис. 2). Теорема 34.4. Уравнение гиперболы в канонической системе координат имеет вид х у — — — =1, аг Ьг (34.3) где Ь > О, Ьг = сг — аг.
Уравнение (34.3) называется каноническ м уравнением гиперболы. Если и каноническом уравнении (34.3) а = Ь, то такая гипербола назыаается равносторонней, Гипербола обладает следующими простейшими свойствами. 1~. Координатные оси канонической системы координат явллютсл осями симметрии гиперболы, а начало координат — ее центром с метрии. Ось Ох, называемая вещественной (действительной1) осью гиперболы, пересекает гиперболу а точках ( — а, О), (а,О) — вершинах гиперболы.
Ось Оу не пересекает гиперболу и называется ее мнимой осью. Начало координат иазыаается центром гиперболы, числа а > О, Ь > 0 — вещестпеенной (действительной) и мнимой полуосл и гиперболы. Рис. 2 2'. Все точки гиперболы лежат вне полосы, определяемой прямыми х = ха. Две кривые, на которые распадается гипербола, называются ее ветвлми 3'. Все точки гиперболы лежат в тех вертикальных углах, образован- Ь ных прямыми у = х-х, которые содержат вещественную ось. а Ь 4'. Прямые у = х-х яеллютлся асимптотами гиперболы при х — ~ со. а Ь Прямые у = х-х являются асимптотами и к гиперболе, заданной ураанением а х у — — — = — 1.
аз Ьг (34.4) Глава ХХ. Линии и поверхности второго порядка 294 Гиперболы, определяемые уравнениями (34,3) и (34.4), называются сопряженными. Число г = с/а называется эксцснтриситетом гиперболы. Из определения следует, что г > 1, при этом '1/1+ г ' Прямые д1 и дг, заданные в канонической системе координат уравнени- ями а а дг: х = , дг: х = г е называются директрисами гиперболы (рис. 2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
