Том 1 (1113039), страница 52

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 52)

Директриса д, называется соответствующей фокусу Г„г = 1, 2. Теорема 34.5. Гипербола есть геометрическое место точек М плоскости, длл которых отношение расстлояния от данной точки Е к расстоянию до данной прямой д, не проходящей через эту точку, равно постоянному числу е > 1, т, е.

р(М, Р) р(Л4,4) (34.5) Для гиперболы, определенной условием (34.5), а) точка г является фокусом, б) прямая д — соответствующей фокусу Р директрисой, в)число г — эксцентриситетом, г) а =, с = аг, Ь = а (г — 1), где т = р(Г, д). г' — 1' Теорема 34.6. В канонической системе координат уравнение ка- сательной к гиперболе е ее точке (хс, уо) имеет еид ххо ууо — — — = 1. аг Ьг Рис.

3 Парабола. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых расстояние от некоторой фиксированной точки Р плоскости равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой д,не проходящей через точку Г. Точка Р называется Фокусом параболы, прямая д— 295 334. Эллипс, гипербола и парабола ее директрисой. Расстояние от фокуса параболы до ее директрисы называется фекальным параметрам параболы и обозначается через р. Число г = р(Г, М) называется 4охальным радиусом точки М.

Эхсцентриситет параболы по определению считается равным единице. Введел1 на плоскости каноническую систему координат для данной параболы. Примем за ось Ох прямую, проходящую через точку Г перпендикулярно прямой д, ориентированную от прямой д к точке Г, за начало О— середину отрезка ГО, где Π— точка пересечения оси Ох с прямой д; ориентацию на оси Оу выбираем произвольно (рис. 3).

В канонической системе координат параболы ее фокус Г имеет координаты ( —, О), а директриса д — уравнение х = — —. р р 2' 2 Теорема 34.7. Уравнение параболы е канонической сисглгме каординагп имеет аид у =2рх, р>0. (34.6) Уравнение (34 6) называется каноническим уравнением параболы. Парабола обладает следующими простейшими свойствами. 1'. Ось Ох канонической систелпл координат является осью симметрии параболы. Она называется осью параболы. Начало координат называется вершиной параболы.

2'. Все точки параболы расположены в правой полуплосхостпи от аси Оу. Следует отметить, что определение параболы, по существу, означает ее директориальное свойство р(М, Р) р(М, д) Т е о р е м в 34.8. В канонической системе координат уравнение касательной х параболе в ее точке (хо,уа) имеет вид ууа = р(х Ч- хо). Пример 34.1. Найти геометрическое место центров окружностей, касающихся данной окружности и данной прямой 1, ее не пересекающей. Решение. Пусть А — центр данной окружности, а г — ее радиус.

Введем на плоскости прямоугольную декартову систему координат следующим образом (рис. 4). Проведем ось Ох перпендикулярно прямой 1 так, чтобы она проходила чеу рез центр А данной окружности. Обозначим через  — точку пересечения г х оси Ох и прямой 1, а через К вЂ” точку В О К А пересечения оси Ох с данной окружностью, ближайшую к прямой 1, Выберем на оси Ох направление от точки В к точке К. Ось Оу проведем через М(х, ) середину отрезка ВК перпендикуляр(х у) но оси Ох.

Будем считать также, что точка К владеет координаты (1,0). При таком выборе системы коорди- Рис. 4 наг прямая 1 задается уравнением х = — 1 и, кроме того, Ь( — 1,0) и А(г -Ь 1,0). Глава 1Х. Линии и поверхности второго порядка 296 Рассмотрим произвольную точку М(х,у), принадлежащую искомому геометрическотяу месту. Пусть Н вЂ” основание перпендикуляра, опущенного из точки М на прямую 1, а  — точка пересечения отрезка МА и данной окружности.

Тогда р(М,1) = р(М,В) с= ° р(М,Н) = р(М,А) — т. Очевидно, точка М расположена правее прямой 1, и потому это соотношение в координатной форме имеет вид: ) = ))* — ' — )тю)' — . Отсюда )л'= 'Ь вЂ” '-))'~ ' = хг + 2(т + 1)х + (т + 1)2 = хг — 2(т + 1)х + (т + 1)2 + уг с=ь = уг = 4(т + 1)х. у — уо = )с(х — хо). (34.7) Прямая (34.7) является касательной к эллипсу, заданному каноническим уравнением (34.1), тогда и только тогда, когда система У = Уо + )с(х — хо), г уг — + — =1 а2 Ь2 (34.8) имеет единственное решение. Выясним, при каких й имеет место это свойство, Длл этого подставим первое уравнение (34.8) во второе: х 1 — + — (уо ь/сх — lсхо) = 1 е=:.

аг Ьг Ь + а~~с~ г 2й(уо — 1схо) (уо — 1схо) агЬ2 Последнее квадратное уравнение имеет единственное решение тогда и толь- ко тогда, когда его дискримииант равен нулю: Последнее соотношение является каноническим уравнением параболы с фокальным параметром р = 2(т + 1). ° т у Пример 34.2. Даны эл.н ос — 4- — = 1 и точка Мо(хо,уо) Выяснить, аг при каком расположении точки Мо из нее можно провести касательные к эллипсу, и, если эти касательные существуют, найти их угловые коэффициенты. Решение. Отметим сначала, что эллипс имеет лишь две вертикальные касательные: х = а и х = — а. Тем самым, из точки Мо(хо, уо) можно провести вертикальную касательную тогда и только тогда, когда хо = ха.

Рассмотрим теперь произвольную прямую, проходящую через точку Мо и заданную уравнением с угловым коэффициентом 934. Эллипс, гипербола и парабола 297 Перепишем последнее соотношение как уравнение относительно углового коэффициента Ул (хо а )Ь~ 2хоУой+ (Уог Ь ) О (34.9) Если хо = ха, то (34.9) илсеет решение только, если уо ~ О, и при этом Уо — Ь 2хоуо Таким образом, из точек Мо(ха, уо) можно провести: — единственную вертикальную касательную ~э уо — — О; — две касательные о=э уо ~ О.

Пусть хо ф ха. Тогда уравнение (34. 9) — квадратное и число его решений определяется его дискриминантом / г г Р = 4хоуо — 4(хо — а )(уо — Ь ) = 4а Ь ~ — Ч- — — 1) . г г г г г г г г хо Уо Ь Уравнение (34.9) имеет единственное решение, т.е. из точки Мо можно провести единственную касательную к эллипсу, если г г Р = О 4=: — + — = 1, т.е.

точка Мо — точка эллипса. хо уо аг Ьг Уравнение (34.9) имеет два корня, т.е. из точки Мо можно провести две различных касательных к эллипсу, если г г В > О о=о — + — > 1, т.е. точка Мо лежит вне эллипса. хо Уо аг Ьг Уравнение (34.9) не имеет решений, т.е, из точки Мо нельзя провести ни одной касательной к эллипсу, если хог уг Р ( О «=ь — о + — о ( 1, т.е. точка Мо лежит внутри эллипса.

аг Ьг Отметим, что при Р > О угловые коэффициенты касательных к эллипсу определвютсн в силу (34.9) по формуле хоуо ~;/Р(4 Ь= хг — аг о ЗАДАЯИ В задачах этого параграфа считается, что система координат прямоугольная декартова. 34.1. Составить каноническое уравнение эллипса, если: 1) его полуоси равны 5 и 4; 298 Глава 1Х. Линии и поверхности второго порядка 2) расстояние между фокусами равно 8 и ббльшая полуось равна 5; 3) ббльшая полуось равна 13 и эксцентриситет е = Ц; 4) расстояния от одного из фокусов до концов ббльшей оси соответственно равны 7 и 1; 5) прямые т = ~8 являются директрисами, а малая ось равна 8; 6) расстояние между вершинами, лежащими на ббльшей оси, равно 16, а расстояние между фокусами равно 10; 7) фокусами эллипса являются точки (~1,0), а точка (~/3, ~/3/2) принадлежит эллипсу; 8) фокусами эллипса являются точки (~2, О), а директрисами являются прямые х = ~18; 9) расстояние от директрисы до ближайшей вершины равно 4, а до вершины, лежащей на оси, параллельной директрисе, равно 8; 10) треугольник с вершинами в фокусах и в конце малой оси правильный, а диаметр окружности, проходящей через центр и две вершины эллипса, равен 7.

34.2. Составить уравнение семейства эллипсов, имеющих одни и те же фокусы Я( — с,0), Рз(с,0). 34.3. Оси эллипса совпадают с осями координат. Составить уравнение эллипса, если известно, что эллипс проходит через точки Р(2,2), Я(3,1). 34.4.

Определить эксцентриситег эллипса, зная, что: 1) его малая ось видна из фокуса под прямым углом; 2) расстояние между фокусами равно расстоянию между вершинами малой и большой осей; 3) расстояние между директрисами в четыре раза болыпе расстояния между фокусами; 4) отрезок между фокусом и дальней вершиной ббльшей оси делится вторым фокусом в отношении 2:1. 34.5.

Известно, что фокус эллипса имеет координаты (1,0), ему соответствует директриса х = 7, а эксцентриситет е равен 1/2. Найти второй фокус и вторую директрису этого эллипса. 34.6. Определить эксцентриситет эллипса, если расстояние межлу фокусами есть среднее арифметическое длин его осей. хз уз 34.7. Через фокус эллипса — + — = 1 проведена хорда, а~ Ьз у34. Эллипс, гипербола и парабола 299 перпендикулярная к ббльшей оси, Найти длину этой хорды. 34.8. Найти эксцентриситег эллипса, зная, что стороны вписанного в него квадрата проходят через фокусы эллипса параллельно его малой оси. 34.9. Составить уравнение прямой, проходящей через серехз уз дины хорд эллипса — + — = 1, лежащих на прямых 100 64 2х — у + 7 = 0 и 2х — у — 1 = О.

хз уз 34.9.1. Через точку (хо, 0) большей оси эллипса — + — = 1 а~ Ьз проведена хорда с угловым коэффициентом 6. Найти длину этой хорды. 34.9.2. Доказать, что среди хорд эллипса, параллельных заданной прямой, максимальную длину имеет хорда, проведенная через центр эллипса. Такая хорда называется диаметром эллипса. 34.9.3. Доказать, что две параллельные хорды эллипса равны тогда и только тогда, когда они симметричны относительно центра эллипса. 34.9.4. Многоугольник называется вписанным в эллипс, если все его вершины принадлежат этому эллипсу.

Доказать, что диагонали параллелограмма, вписанного в эллипс, являются его диаметрами. 34.9.5. Доказать, что стороны прямоугольника, вписанного в эллипс, параллельны его осям. 2 2 34.10. Дан эллипс — + — = 1. Вычислить длину стороны п2 62 квадрата, вписанного в этот эллипс. 34.10.1. Доказать, что максимальная площадь параллелохз уз грамма, вписанного в эллипс — + — = 1 и две стороны которого а~ 6~ параллельны заданной прямой, равна 2а6. 34.10.2. Доказать, что стороны прямоугольника максимальх у ной площади, вписанного в эллипс — + — = 1, равны ъ~2а и п2 62 ъ'26. 34.10.3. Доказать, что геометрическое место середин хорд х2 у2 эллипса — + — = 1 с угловым коэффициентом й есть диаметр а~ 6~ 300 Глава 1Х.

Характеристики

Список файлов книги