Том 1 (1113039), страница 54
Текст из файла (страница 54)
34.56. Найти геометрическое место точек, делящих в отношении А ф 1 хорды окружности х~ + у~ = а~, параллельные оси Оу. 34.57. Отрезок постоянной длины скользит своими концами по двум взаимно перпендикулярным прямым. Точка М делит этот отрезок на два отрезка, длины которых равны а и 6. Найти линию, описываемую точкой М при движении отрезка. 34.58. Даны точки А~( — а,0) и Аз(а,0). Найти геометрическое место точек пересечения прямых, проходящих через точки А~ и А2 и отсекающих на оси ординат отрезки, произведение величин которых равно о~. 34.59. Около начала координат О как центра описаны две окружности радиусами а и 6.
Луч, вращающийся вокруг точки О, пересекает этн окружности соответственно в точках А и В. Через точку В проводится прямая, параллельная оси абсцисс, а через точку А — прямая, параллельная оси ординат. Найти геометрическое место точек М пересечения этих двух прямых прн вращении луча. 34.60.
Найти геометрическое место центров окружностей, касающихся двух данных окружностей, одна из которых расположена строго внутри другой, 34.61. Найти геометрическое место центров окружностей, касающихся данной окружности и проходящих через данную точку, лежащую внутри этой окружности. 34.62. Даны точки А~( — а,О) и Аз(а,О), Найти геометриче- 235. Линии, заданные общими уравнениями 307 ское место точек пересечения прямых, проходящих через точки А1 и А2 и отсекающих на оси ординат отрезки, произведение величин которых равно — 5 .
2 34.63. Найти геометрическое место центров окружностей, касающихся внешним образом двух данных окружностей, одна из которых расположена вне другой. 34.64. Найти геолзетрическое место точек, произведение расстояний от которых до двух противоположных сторон заданного прямоугольника равно произведению расстояний до двух других его противоположных сторон. 34.65.
Найти геометрическое место центров окружностей, касающихся данной окружности и проходящих через данную точку, лежащую вне этой окружности. 34.66. Найти геометрическое место точек, для каждой из которых произведение расстояний до двух пересекающихся прямых равно заданному положительному числу.
34.67. Найти геометрическое место точек, для каждой из которых сумма или разность расстояний до данной точки и до данной прямой есть величина постоянная. 335. Линии второго порядка, заданные общими уравнениями Пусть Оху — аффинная система координат на плоскости. Алгебраическая линия второго порядка на плоскости определяется уравнением аззх + 2аыху+ аззу + 2аззх+ 2агзу+ азз = О, з г (35.1) где агз, тазг+ азгз ~ О.
УРавнение (35.1) называетса общим УРавнением линии второго порядка. Группа слагаемых апх + 2аззху -ь аззу называется квадратичной частью уравнения (35.1) (или группой старших членов), группа слагаемых 2аззх+ 2аззу — линейной частью, азз — свободным членом. В основе классификации линий второго порядка лежит принцип разбиения их на непересекающиеся классы так, чтобы были выполнены следующие условия: — в каждом классе содержалось уравнение (35.1) одного, наиболее простого вида (например, такого, как канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы), — все уравнения линий одного класса могли быть приведены к выбранному простейшему виду некоторым преобразованием систелзы координат. В соответствии с этим принципом все линии второго порядка делятся на девять классов.
Т е о р ем а 35.1. Общее уравнение (35.1) линии второго порядка переходом к новой аф4инной системе координат О'х'у' мозюно привести к одному и толька одному из следующих девяти видов: Глава 1Х. Линии и поверхности второго порядка 308 Наиболее простым способом построения такого преобразования аффинной системы координат является метод выделения полных квадратов (метод Лагранжа), Пример 35.1. Определить вид линии второго порядка, заданной уравнением 2х2 4хр+ у2+4х — у = О. (35,2) Решение. В уравнении (35.2) коэффициент ам=2 при х отличен от нуля. Выделим полный квадрат в группе слагаемых левой части, содержащих переменную х: 2х — 4хУ+ 4х=2(х — 2ху+ 2х) =2(хг — 2х(у — 1) + (у — 1)2) — 2(р — 1)2= = 2(х — р+ 1)2 — 2у Ч-4у — 2, Тем самым, уравнение (35.2) перепишется в виде 2(х — д + 1) — у + Зр — 2 = О. В результате этого преобразования слагаемые — у + Зу — 2 в левой части получившегося соотношения уже не содержат переменной х и, так как коэффициент при р, равный — 1, отличен от нуля, к ним также можно при- 2 менить процедуру выделения полного квадрата: 2 — р + Зр — 2 = — (р — 2 — р+ -) + — — 2 = — ~у — — ) 2 4) 4 1 2) 4 Таким образом, уравнение (35.2) примет вид 2(х — у+ 1) — у — — + — = О с=э 4 р — — — 8(х — у+ 1) = 1 ч=ь 2) 4 (, 2) (2у — 3) — (2Ч2х — 2н2у+ 2ъ'2) = 1.
Переходя к новым переменным х~, у' по формулам (': х' = 2у — 3, у' = 2ъ'2х — 2~/2р+ 2ч'2, получим уравнение 309 335. Линии, заданные общими уравнениями (х') — (у') = 1. В силу теоремы 35.1 приходим к выводу, что исходное уравнение (35.2) задает гиперболу. ° П ример 35.2. Определить вид линии второго порядка, заданной урав- нением (35.3) 2ху+ х — 2у — 1 = О. Р е ш е н и е. В отличие от предыдущего примера левая часть уравнения (35.3) не содержит слагаемых с х и уг.
В этом случае следует сделать промежуточную замену переменных х = х1+ ум у = хг — уь В результате уравнение (35.3) примет вид: 2(хг — уг~) + х1 + уг — 2(х1 — у1) — 1 = О ч=ь 2хг~ — 2у~г — хг + Зуг — 1 = О. Здесь уже присутствуют слагаемые, содержащие хг1 и уггм и поэтому в этом уравнении можно выделить полные квадраты относительно хг и уг по схеме, описанной в примере 35.1. Имеем г 1 ~ ( г 3 2 (х, — -х1) — 2 (у1 — -уг) — 1 = О ч=: 2(хг — -) — — — 2(уг — -) + — — 1=0 ч=:. с=Ф' (хг — -) — (уг — — ) = О.
Вводя новые переменные х' и у' по формулам 1 1 1 х =-х+-у — —, 2 2 4' 1 1 3 у =-х — -у — —, 2 2 4' < 1 х =хг — —, 4' 3 у =уг 4 получим уравнение 2хг — 4ху -~- 2у' + Зх — бу + 1 = О. (35.4) Решение. Выполним поворот системы координат так, чтобы в новой системе координат Ох1у1 уравнение (35.4) линии не содержало слагаемого с хгуо Для общего уравнения (35.1) такой поворот осуществляется по (х') — (у') = О, относящееся к пятому виду классификации теоремы 35.1, и следовательно, исходное уравнение (35.3) задает пару пересекающихся прямых. ° Если общее уравнение (35.1) линии второго порядка задано в прямоугольной декартовой системе координат, то метод Лагранжа, вообще говоря, не позволяет выяснить форму или расположение линии данного вида на плоскости,так как матрица перехода в получающемся преобразовании может быть неортогональной.
Если для линии второго порядка необходимо выяснить какие-либо ее метрические характеристики, применяют так называемый метод вращений в комбинации с последующим переносом начала коордииапь П ример 35.3. Определить форму и расположение на плоскости линии второго порядка, заданной в прямоугольной декартовой системе координат Оху уравнением Глава 1Х. Линии и поверхности второго порядка формулам: х = сыр х1 — в!яр уп ам — агг у 1,, + „' где сСК 2эо = . (35.5) 2а1г В случае уравнения (35.4) имеем д = я/4, н формулы (35.5) принимают вид 1 1 х = — (х1 — у1 ), у = — (х1 + у1 ).
о'2 /2 Подставляя эти соотношения в (35.4), получим (х| — уг ) — 2(х1 — у1 ) (х1 + у1 ) + (х1 + уг ) + — (х1 — у1) — — (х1 Ч- у1 ) + 1 = О, г 3 5 ьг2 ьу2 т,е. — 8 4у, — у 2х1 — — у1 + 1 = О. ./2 (35.6) Отметим, что новая ось абсцисс Ох1 задается в исходной системе координат уравнением у = х, а новая ось ординат Оу1 — уравнением у = — х. Покажем теперь, что уравнение (35.6) переносом начала координат может быть приведено к каноническому уравнению параболы. Для этого выделим полный квадрат относительно переменной уо / г 2 4 ~у, — — у1) — н2х1+ 1 = О е=ь 4 ~у~ — — ) — ~/2 ~х1 4- — ) = О ьу2 ) с/2 У 1, з/2,) и введем новые переменные по формулам 1, 1 х =Хг+ —, у ыуг — —, ъ/2 ~/2 описывающим параллельный перенос системы координат в точку с коорди- 1 1 натами х1 = — —, у1 = — или, что то же самое, с координатами х = — 1, ~/2 ьг2 у = О в исходной системе координат. Таким образом, в построенной системе координат линия (35.4) задается уравнением (у) = — х, г тГ2 4 описывающим параболу с фокальным параметром р = у'2/8, Учитывая преобразования системы координат, получим, что уравне- ние (35.4) задает параболу с вершиной ( — 1,0), осью у = х + 1 и фокусом 15 1 г'( — —, — ).
° 16' 16 В случае общего уравнения (35.1) линии второго порядка на плоскости справедливо следующее утверждение. Теорема 35.2. Для любой линии второго порядка существует прямоугольная декартова система координата Оху, в которой уравнение этой линии имеет один иэ следующих видов: 335. Линии, заданные обтцнми уравнениями Каноническое уравнение Иазеание линии Эллипс Мнимый эллипс Парабола Пара параллельны с прямых Пара мнимых параллельных прямых Пара совпадающих прямых б 7 б у Отметим, что вид, форму и расположение на плоскости линии второго порядка, заданной общим уравнением (35.1), можно определить и непосредственно с помощью коэффициентов а,т, используя так называемые инварианты линий второго порядка. Введем матрицы ~ аы атг атз В = ~ атг агг агз ~ атз агз азз А ~ а11 а!2 1 Числа П = згА, 1г = )А), Кз = )В) называются инеариантами линии второго порядка, число Кг = а11 а13 а22 а23 ~ + ~ 22 2 — ее полуинеарианатз азз ~ ( агз азз том.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
