Том 1 (1113039), страница 57
Текст из файла (страница 57)
36.4.1. Составить уравнение эллипсоида, оси которого параллельны осям координат, зная, что в его сечении плоскостью Оух лежит эллипс 2у2 + 422 — 4у + 82 + 3 = О, а плоскостью Охх— эллипс х2+ 422 — 2х+ 82+ 3 = О. 36.5. Написать уравнение поверхности, получающейся при х2 у2 вращении эллипса — + — = 1 (а > Ь), -. = 0: 02 ь2 1) вокруг его большой оси; 2) вокруг его малой оси. 36.6. Установить, при каких значениях Р плоскость 2х+29+ 2 — Р = 0 пересекает эллипсоид 4х2 + 492+ 22 = 4. 36.7.
Найти ортогональную проекцию на плоскость Оху линии пересечения эллипсоида х2 + 4у2 + 1622 = 16 и плоскости х+42 — 4=0. 36.8. Найти центр сечения эллипсоида х2 + 2у2 + 422 = 10 плоскостью: 1) х+ у+ 22 = 5; 2) х+ У+ г = 7. 36.9. Найти уравнение множества центров сечений эллипсоида х2+ 2у2+ 322 = 4 плоскостями, параллельными плоскости Глава 1Х. Линии и поверхности второго порядка 324 х+у+г=1. 36.10. Найти уравнение плоскости, пересекающей эллипсоид х2+ 2у2 + 422 = 9 по эллипсу, центр которого находится в точке С(3, 2, 1).
36.11. Определить координаты центра окружности, лежащей в сечении сферы х2+у2+22 = В2 плоскостью Ах+ Ву+Сг+Р = О. При каком необходимом и достаточном условии такое сечение существует? 36.12. Доказать, что если и и и — большая и малая полуоси эллипса, получающегося при пересечении эллипсоида х у — + — + —,=1, а>б>с>0, аг б2 са = плоскостью, проходящей через его центр, то а>и>б>с>с. 36.13. Найти полуоси эллипсов, лежащих в сечении; 2 2 1) эллипсоида х + — + — = 1 плоскостью х + у = 0; 4 9 2) эллипсоида 4х2 + у2 + 422 = 4 плоскостью х — у = 1; 3) эллипсоида 4х2 + 4у2 + 22 = 4 плоскостью х + у+ г = 0; 4) эллипсоида 2х2+ у2+ 22 = 1 плоскостью х+ у — 2 = 1. 36.13.1.
Доказать, что сечения эллипсоида х2 у2 22 — + — + — =1, а>б>с>0, а2 62 с2 плоскостями, с~/а~ — б2х х а~(Р— с22 + Р = О, где ~Р~ < ас~/а~ — с~, представляют собой окружности. Найти их радиусы. 36.14. Выяснить, по какой линии пересекаются два эллипсоида х2 у2 22 х2 у2 22 — + — + — =1, — + — + — =1, а>б. б2 2 с2 ' а2 б2 с2 36.15. Написать уравнение однополостного гиперболоида вращения, проходящего через прямые у = ~х, 2 = 0 и через точку (1, 2, 3), если известно, что ось Ог является его осью симметрии.
З36. Эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды 325 36.16. Написать уравнение двуполостного гиперболоида с вершинами (0,0, хб), зная, что плоскости Охг и Оух являются его плоскостями симметрии и пересекают его по гиперболам, асимптоты которых образуют с осью Ог углы, соответственно равные х/6 и х/3.
36.17. Написать уравнение плоскости, параллельной плоско- хз уз сти Оух и пересекающей однополостный гиперболоид — + —— 9 4 г = 1 по гиперболе, действительная полуось которой равна 1. г 36.18. Найти прямолинейные образующие поверхности х~ + уз = 2(хз + 1), проходящие через точку (1, 1, О). 36.19. Определить угол между прямолинейными образующими однополостного гиперболоида хз + уз — ~з = 1, проходящими через произвольную точку. 36.20.
Найти уравнение плоскости, пересекающей гиперболоид х + 4у~ — 9хз = 36 по паре прямых, проходящих через точку М(6, — 3,2). 36.21. Составить уравнения плоскостей, проходящих через точку (и, О, О) и пересекающих однополостный гиперболоид хз у2 х2 — + — — — = 1 по двум параллельным прямым. а~ 5~ с~ 36.22. Пусть Р— множество всех точек гиперболоида х2 уз ' г2 — + — — — = 1, в которых его прямолинейные образующие п2 52 сз пересекаются под прямым углом.
Доказать, что: а) множество Р непусто тогда и только тогда, когда выполнено условие п1ах(а, 5) > с; б) при а = 5 > с множество Р является объединением сечений в) множество Р является пересечением гиперболоида с шаром х~+ у~+ хз = п~+ б~ 36.23. Доказать, что проекции прямолинейных образующих гиперболоида х + у — х = 1 на плоскость Оху касаются окруж- 2 2 2 ности х~ + у~ = 1.
36.24. Доказать, что прямолинейные образующие однопо- х2 у2 в2 постного гиперболоида — + — — — = 1 проектируются на плос- п2 52 с2 кость Оху в касательные к горловому эллипсу. 36.25. Определить, какие линии второго порядка могут по- 326 Глава 1Х. Линии и поверхности второго порядка лучиться в сечении: а) однополостного гиперболоида; 6) двуполостного гиперболоида произвольной плоскостью. 36.26. Исследовать линию пересечения гиперболоида х2 у2 — + — — 22 = 1 с плоскостью 4х — Зу — 12г — 6 = О,пользуясь 9 4 ее проекциями на координатные плоскости.
36.27. Определить вид линии пересечения гиперболоида х2+ у2 — 22 = 1 и плоскости Зх+ 4у — 52 = О. 36.28. Выяснить, по какой линии плоскость х+ у — г+ 3 = О пересекает гиперболоид х2+ у2 — 22 = — 4. 36.29. Найти центр сечения гиперболоида х2+2уя — 422 = — 4 плоскостью х + у + 2г = 2. 36.30. Найти уравнение множества центров сечений гипербо- лоида х2 + у2 — Зв2 = 2 плоскостями, параллельными плоскости х+у+2=1.
36.31. Выяснить,по какой линии пересекаются однополост- ный гиперболоид х2 у2 22 — + — — — =1, а>Ь, а2 Ь2 с2 и сфера х2+ у + 22 = а2. 36.32. Доказать, что прямая при вращении в пространстве вокруг оси, которая не пересекается с ней и ей неортогональна, описывает однополостный гиперболоид вращения. 36.33. Определить поверхность, которую описывает прямая, скользящая по трем прямым х у — 1 г х — 2 у г х у+1 г 2 Π— 1' О 1 1' 2 0 1' из которых никакие две не лежат в одной плоскости.
36.33.1. Доказать, что сечения гиперболоидов 2 2 2 — + — — — =х1, а>Ь>0, а2 Ь2 се плоскостями с-/а~ — Ь2у х Ь,(а2+ с22+ Р = О представляют собой окружности: 236. Эллилсоиды, гиперболоиды, параболоиды 327 а) для двуполостного гиперболоида при )Р! > Ьсъ~Ь~ + с~; б) для однополостного гиперболоида при любом Р. Найти их радиусы. 36.34. Написать уравнение эллиптического параболоида с вершиной (2,3,6) и осью, параллельной оси Ог, зная, что плоскость Оху пересекает его по эллипсу, оси которого параллельны осям Ох и Оу, причем эллипс касается этих осей координат. 36.35.
Написать уравнение гиперболического параболоида, 2 2 проходящего через гиперболу — — — = 1, г = с, зная, что его а2 Ь2 плоскости симметрии совпадают с двумя плоскостями координат Охх и Оух и что третья координатная плоскость Оху пересекает его по паре прямых. 36.36. Написать уравнение эллиптического параболоида, зная, что плоскости х = а и у = Ь пересекают его по параболам с вершинами (а,О, с) и (0, Ь,с), плоскость Оху касается параболоида в его вершине, а плоскости Охх и Оух являются его плоскостями симметрии. 36.37.
Написать уравнение гиперболического параболоида, проходящего через точку (10, 6, 11), зная, что плоскости Охг и Оух являются его плоскостями симметрии, а плоскость Оху пересекает его по паре прямых, один из углов между которыми равен 2я/3. 36.38. Написать уравнение гиперболического параболоида, проходящего через прямые у = хх, 2 = 0 и через точку (1,2, 3), если известно, что ось Ох является его осью симметрии. 36. 39. Найти уравнение проекции линии пересечения 1юверхностей х2 + 2у2 = 22, х + 2у + 2 = 1 на плоскость Оху.
Что представляет собой эта линия? 36.40. Выяснить, по какой линии пересекаются параболоид х2 — у2 = 22 и плоскость х+ у+ х = 1. х у 36.41. Доказать, что плоскость — — — + Ь = 0 пересекает а Ь параболоид х2 У2 — — — = 22 а2 Ь2 по прямой, и составить ее уравнение. 36.42.
Найти уравнение множества центров сечений параболоида х2 + у2 = 22 плоскостями, параллельными плоскости х+у+2=1. Глава 1Х. Линии и поверхности второго порлдка 36.43. Найти условие, необходимое и достаточное для того, чтобы плоскость х = ах+бу+с пересекала параболоид вращения хэ + уз = 2рг (р > 0) по эллипсу. 36.43.1. Доказать, что плоскость пересекает параболоцд хэ уа — + — = 2рх по параболе тогда и только тогда, когда она пап 2 52 раллельна оси Ог. 36.44. Доказать, что гиперболический параболоид не имеет плоских эллиптических сечений. 36.44.1. Какие кривые второго порядка могут получиться в сечениях гиперболического параболоида? 36.45.
Найти прямолинейные образующие параболоида 4х~— у~ = 16г, пересекающиеся в точке (2,0,1). хэ уэ 36.46. На параболоиде — — — = х найти прямолинейные 16 4 образующие, параллельные плоскости Зх + 2у — 4х = О. 36.47. На гиперболическом параболоиде х2 — у~ = 2х найти геометрическое место точек пересечения двух взаимно перпендикулярных образующих. 36.48. Найти геометрическое место точек на поверхности пахэ уэ раболоида — — — = 2г, через каждую из которых проходят две а2 ь2 взаимно перпендикулярные прямолинейные образующие этой поверхности.
36.49. Доказать, что прямые, по которым плоскость Оху пересекает гиперболический параболоид хэ — уз = 2рг (р > 0), являются его осями симметрии. 36.50. Доказать, что проекции прямолинейных образующих хэ уэ параболоида — — — = 2г на плоскость Охх касаются параболы а2 62 х~ = 2а~г. 36.51. Найти геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки и от данной плоскости, не проходящей через данную точку. 36.52. Найти геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных скрещивающихся прямых в пространстве.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
