Том 1 (1113039), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Осью конуса является ось Ох', т.е. биссектриса угла хОу. Образующие конуса наклонены к оси конуса под углом я/4. ° Пример 38.8. Определить форму и расположение в пространстве поверхности, заданной в прямоугольной декартовой систел1е координат уравнением х + 29 + з~ — хв + х — 129 + х = — 1. (38.11) Решение. В уравнении (38.11) присутствует лишь слагаемое с хх (слагаемые с ху и ух отсутствуют), поэтому выполним поворот вокруг оси Оу на угол, который согласно (35.5) равен я/4. Формулы преобразования в этом случае имеют вид 1 1 х = — (х1 — з1), у = ум з = — (х1 + г1).
х/2 х/2 Подставляя эти соотношения в (38.11), получим 1 э э 1 1, э 1 1 -(х1 — х1) +2у1+-(х14-э1) — -(х1 — х1)+ — (х| — з1) — 1291+ — (х1+х1) = — 1, 2 2 2 ч2 ъ'2 938. Поверхности, заданные общими уравнениями 341 т.е х1 + 49, + Зг1 Ч-2ъ'2х1 — 2491 = — 2. Выделим теперь полные квадраты относительно переменных хг и уы (хг+ ч'2) +4(у1 — 3) + Згг = 36. Последнее равенство показывает, что при переносе начала системы координат Охиигы т.е. в результате преобразования х' = хг + ~/г2, р' = Ю вЂ” 3, г' = гы получится каноническое уравнение зллипсоила (х) +4(у) +3(г) =36 е=' — 4- — + — =1. г ~г ~г (х')' (у')' ( ')' 36 9 12 Итак, уравнение (38.11) задает эллипсоид с центром х'=у =г =О ч=: хг= — ч2,уг=З,г,=О е=ь х=-1,9=3,х= — 1, полуосями а = 6, Ь = 3, с = 2ч'3 и осями симметрии '( г,=О 1 г= — 1; х' = ' = О ч=ь 1 х1 = — ъ~~, е ь 1 х+ г — — - ~~ р,=з — 1,=3 Отметим, что вид, форму и расположение в пространстве поверхности второго порядка, заданной общим уравнением (38.1), можно (так же, как для линий второго порядка) определить непосредственно с помощью инвариантов .
3 А Д А тг И В задачах этого параграфа считается, что система координат прямоугольная декартова. Случай произвольной аффинной системы координат оговаривается особо. 38.1. Составить уравнение кругового конуса, проходящего через все три координатные оси. 38.2. Составить уравнение кругового конуса, касающегося плоскостей Охх и Оух по прямым Ох и Оу соответственно. 38.3. Направляющая цилиндра дана уравнениями х = у2+ хг, х = 2г, а образующая его перпендикулярна к плоскости направляющей. Составить уравнение цилиндра.
38.4. Найти прямые, проходящие через начало координат и целиком лежащие на поверхности уг+Зхр+2ух — хх+Зх+2у = О. Система координат аффинная. См. (1, с,312 — 327). 342 Глана 1Х. Линии и поверхности второго порядка 38.5. Найти те прямолинейные образующие поверхности х2+ у~+ 5х2 — бху+2ух — 2хх — 12 = О, которые параллельны прямой х — 1 у+3 г 2 1 — 1 = —.
Система координат аффинная. 38.6. Найти линию пересечения поверхности: 1) Зх2+ 4у2 — 5х2+ 2ху — Зуг+ 5х — 8 = 0 с плоскостью Оху; 2) *2 + З~з + 2ху + 4хг + 2у + 5х — в =1 с плоскост ю Оу~; 3) ~в + у2 — 2ху+ 5у + ~~ — х+ Зу — = 0 ж~сквзсг~~ О~х. Система координат аффинная. 38.7. Определить вид линии пересечения поверхности хз + 2у~ + хз + 4ху — 2хх — 4ух + 2х — бх = 0 с плоскостью х — в = 0 и исследовать ее форму и расположение в пространстве. 38.8. Пользуясь методом Лагранжа, показать, что следующие уравнения в общей аффинной системе координат определяют поверхности, распадающиеся на пару плоскостей, и найти эти плоскости: 1) у~ + 2ху + 4хх + 2уг — 4х — 2у = 0; 2) х~ + 4у~ + 9хз — 4ху + бхв — 12уг — х + 2у — Зг — б = 0; 3) Зх~ — 4у~+Зхз+4ху+10хх — 4ух+бх — 20у — 14г — 24 = 0; 4) 5хг + 4уг + Зг2 + 9ху + бхх + 7ух + 7х + бу + 5г + 2 = О.
38.9. Определить вид поверхности, пользуясь методом Лагранжа (система координат аффинная): 1) 4х2+ бу~+ 4хз+ 4хх — 8у — 4г+ 3 = 0; 2) х~+ 5у2+ г~+ 2ху+ Охи+ 2ух — 2х+ бу — 10 = 0; 3) х~ + у2 — Зг2 — 2ху — бхг — був + 2х + 2у + 4г = 0; 4) х2 — 2у~+ в~ + 4ху — 8хх — 4ух — 14х — 4у+ 14г+ 16 = 0; 5) 2х~+у2+2хз — 2ху — 2уг+х — 4у — Зх+2 = 0; 6) х — 2у + г~ + 4ху — 10хг + 4уг+ х+ у — х = 01 7) 2х~ + у2 + 2х2 — 2ху — 2ух + 4х — 2у = 0; 8) хг + у2 + 4х2 + 2ху + 4хх + 4ух — бх + 1 = 0 9) 4ху+ 2х+ 4у — бг — 3 = 0; 10) ху+ хг + ух + 2х+ 2у — 2г = О, 38.10.
Определить вид и расположение поверхности, пользуясь переносом системы координат; 1) х~ + 4у + 9х~ — бх+ 8у — Збг = 0; 2) 4х2 — у2 — г2+ 32х — 12г+ 44 = 0; 3) Зхв — ул + Зхз — 18х + 10у + 12х + 14 = 0; 4) буг+ бх2+ 5х+ бу+ 30х — 11 = 0; 5) х = 2х~ — 4у~ — бх+бу+ 1; 6) х = х~+ Зу2 — бу+ 1; ~38. Поверхности, заданные общими уравнениями 343 7) хг + 2уг — 3»г + 2х + 4у — 6» = 0; 8) хг + 4уг — »г — 10х — 1бу + б» + 16 = 0; 9) Зхг + Зуг + 3»г — бх+ 4у — 1 = 0; 10) Зхг + Зуг — бх + 4у — 1 = 0; 11) 4хг — уг — 4х + 4у — 3 = О.
38.11. Определить вид поверхности и ее расположение относительно системы координат, пользуясь поворотом системы координат вокруг одной из ее осей: 1)»г = 2ху; 2)» = ху; 3)»г = Зх+4у; 4)»г = хг+2ху+уг+1. 38.12. Определить вид поверхности и ее расположение относительно системы координат, пользуясь переносом и поворотом системы координат вокруг одной из ее осей: 1) хг + 4уг + 5»г + 4ху+ 4» = 0; 2) хг+ 2х+Зу+4»+ 5 = О. 3)» хг+2ху+уг+1 4) 2ху+»г — 2»+ 1 = 0; 5) хг+уг — »г — 2ху+2» — 1=0; 6) 2ху+ 2х+ 2у+ 2» — 1 = 0; 7) хг+у + 2»г+ 2ху+ 4» = 0; 8) хг+уг+»г — 2у» — 2х — у+1 = О; 9)»г — 2ху — 4х — 2у+ 2» — 3 = О.
38.13. Определить форму и расположение в пространстве геометрического места точек, равноудаленных от оси 0» и от прямой у = », х = 1, не лежащей с осью 0» в одной плоскости. Глава Х. Элементы общей алгебры В39. Группа Непустое множество С с заданной на нем алгебраической операцией * называется группой, если: 1) операция ассоциативна: (а * Ь) * с = а * (Ь * с), лта, Ь, с б С; 2) операция обладает нейтральным элементом е й С: а*в=в*а=а, таеС; 3) для любого элемента а й С найдется симметричный элемент а' й С: а * а' = а' в а = е.
Обозначение; С или (С,*). Условия 1) — 3) называются аксиомами группы. Группа с коммутативной операцией называется каммутатиеной или абелевой. Если групповая операция названа умножением, то группу С называют мультипликативной, нейтральный элемент — единицей (и обозначают символом 1), симметричный элемент к элементу а — обратным к а (и обозначают символом а '). Аналогично аддитивная группа — это группа, а которой групповая операция названа сложением, при этом нейтральный элемент называют нулем (и обозначают символом 0), симметричный элемент к элементу а — противоположным к а (и обозначают символом — а). Обычно при исследовании группы используется терминология мультипликативной группы.
Из аксиом группы и свойств алгебраической операции следует, что 1) в любой группе существует, и притом единственный, нейтральный элемент; 2) в любой группе для каждого элемента существует, и притом единственный, симметричный элелтент. Теорема 39.1. Множество С с ассоциативной алгебраической операцией является группой, если оно обладает правой единицей е„и по отаношению к ней каждый элемент а б С обладает правым обратным. Следствие. В группе любая правил единица леллетсл левой и той единственной единицей, котаорой эта группа обладает, а любой правый обратный элемент к элементу а группы является лев м и тем единственнылт обритным, которым обладаети элемент а.
Теорема ЗЯ.2. Множестиво С с ассоциативной алгебраической операцией является группой тогда и только тогда, когда эта операция обладает обратной. В гддитивной группе обратная операция называется вычитанием (справа и слева), а элементы х = Ь+ ( — а) и у = ( — а) + Ь вЂ” разностью (правосторонней и левосторонней соответственно).
В абелевой группе обе разности совпадают и обозначаются единым символом Ь вЂ” а. Аналогично определяется деление и частное в мультипликативной группе. 339. ГРУппа 345 Теорема 39.3. В любой группе действует закон сокртцения слева и справа: ах = ау с=ь х = у; ха=уа с=э х=у. Две группы Сг и Сг с операциями лч и *г называют иэомор4ными, если существует биективное отображение 1 . Сг Сг, которое сохраняет групповую операцию, т.е. 1(а *л Ь) = ) (а) *г 1(Ь), ва, Ь й Сь Обозначение: Сг = Сг. Само отображение 1 при этом называют иэомор4иэмом. Изоморфизм обладает следующими свойствами: 1) отношение иэомар4изма яе лется отношением эквивалентности на множестве всех групп; 2) е иэоморг)1ных группах Сг и Сг образ (и прообраз) единицы является единицей; 3) е иэоморфных группах Сг и Сг образ (и прообраз) обраганого элемента ягллетсл обратным элементом, т,е. Э (а ) = (1(а)) Непустое подмножество Н группы С называется подгруппой группы С, если оно само является группой относительно алгебраической операции в С.
Т е о рв м а 39.4. Подмножество Н группы С является подгруппой этой группы тогда и только тогда, когда имеют места следующие импликации: аЬ б Н; =:.л а 'бН 1) а,бйН 2) айН Пусть С вЂ” группа, М и Ф вЂ” два ее подмножества. Произведением МФ этих подмножеств называется множество всевозможных произведений тп, где т й М, и й Н. Очевидно, что имеет место свойство ассоциативности: (МФ)К = М(НК). Если одно из подмножеств состоит только из одного элемента, например М = (гп), то произведение МН обозначается символом тЖ, а произведение НМ вЂ” символом Фт. Пусть Н вЂ” подгруппа группы С, а — элемент группы С.
Множество аН называется левым смежным классом группы С по подгруппе Н, порожденным элементом а, а множество На — правым смежным лассом. Из определения смежных классов следует, что: 1)абаН, абНа, ЧайС; 2) смежный класс состоит иэ элементов группы, причем любой элемент группы входит е какой-нибудь смежный класс; 3) подгруппа Н яеляетсл одним иэ смежных классов (как левых, так и правых); 4) е абглееой группе аН = На, га й С. Теорема 39.3. Смеэкный класс пороэкдается любым сеои.м элементом. Теорема 39.6. Любие деа левых (правых) смежных и асса либо совпадают, либо не пересекаются. Итак, вся группа разбивается на непересекающиеся левые (правые) смежные классы по подгруппе Н.
Это разбиение называется лееостлоронним (соответственно правосторонним) разложением группы С по подгруппе Н. 346 Глава Х. Элементы общей алгебры Группа, состоящая из конечного числа элементов, называется конечной группой. Число элементов конечной группы называется ее порядком н обозначается силтволом саед С. Т е о р е м а 39.7 (теорема Лагранжа). Во вслхой конечной группе порядок ее подгруппы является делитаелем порядка самой группы. Если а — элемент группы С, и й Б, то и-й степенью а называется элемент В адаптивной группе и-я степень элемента а обозначается символом па и называется элементом, кратным элементу а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
