Том 1 (1113039), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Доказать, что множество линейных функций образует подгруппу группы дробно-линейных функций задачи 39.5. 39.32. Существует ли бесконечная группа, содержащая лишь две тривиальные подгруппы? Глава Х. Элементы общей алгебры 356 39.33. Доказать, что любая бесконечная группа содержит бесконечно много нетривиальных подгрупп. 39.34. Доказать, что конечная группа имеет лишь две тривиальные подгруппы — (е) и С вЂ” тогда и только тогда, когда ее порядок — простое число.
39.35. Указать все (с точностью до изоморфизма) конечные группы, имеющие ровно одну нетривиальную подгруппу. 39.36. Доказать, что любая группа либо имеет лишь две тривиальные подгруппы, либо имеет коммутативную подгруппу. 39.37. Найти все (с точностью до изоморфизма) группы, каждая из которых изоморфна любой своей неединичной подгруппе. Смежные классы.
Нормальный делитель 39.38. Является ли смежный класс группой? 39.39. Доказать, что между любыми двумя смежными классами по одной подгруппе Н группы С можно установить взаимно однозначное соответствие. 39.40. Пусть Н вЂ” подгруппа группы С. Доказать, что бинарное отношение: а?сб, если а и 6 находятся в одном левом (соответственно правом) смежном классе по подгруппе Н, является отношением эквивалентности на множестве С. 39.41. Доказать, что элементы, обратные к элементам левого смежного класса по произвольной подгруппе, образуют правый смежный класс по этой подгруппе. 39А2.
Доказать, что произведение двух левых смежных классов по подгруппе Н является левым смежным классом по этой подгруппе тогда и только тогда, когда Н вЂ” нормальный делитель. 39.43. Доказать, что отношение сопряженности элементов группы С является отношением эквивалентности на множестве С. 39.44. Найти смежные классы: а) аддитивной группы,'Е целых чисел по подгруппе рК чисел, кратных данному натуральному числу р; б) аддитивной группы И действительных чисел по подгруппе Ж целых чисел; в) алдитивной группы целых чисел, кратных 3, по подгруппе чисел, кратных 24; ~39. Группа 357 г) аддитивной группы Я рациональных чисел по подгруппе Х целых чисел; д) мультипликативной группы ненулевых действительных чисел по подгруппе В.ь положительных действительных чисел; е) мультипликативной группы ненулевых действительных чисел по подгруппе 1 — 1;1).
39.45. Найти смежные классы: а) аддитивной группы векторов плоскости по подгруппе векторов, лежащих на оси абсцисс Ох; б) группы всех параллельных переносов пространства Ъ~ из задачи 39.3(10) по подгруппе параллельных переносов на векторы, коллинеарные фиксированному вектору а ф 0; в) группы всех поворотов плоскости Ъ~ вокруг заданной точки О по подгруппе поворотов на угол, кратный 2л/и, где п > 2, пей; г) симметрической группы о„по подгруппе перестановок, оставляющих и на месте; д) алдитивной группы действительных многочленов степени не выше 5 по подгруппе многочленов степени не выше 3; е) алдитивной группы действительных многочленов степени не выше 4 по подгруппе многочленов, имеющих число х = 0 своим корнем. 39.46. Пусть С вЂ” алдитивная группа квадратных матриц К""".
Найти ее смежные классы: а) по подгруппе симметрических матриц; б) по подгруппе кососимметрических матриц; в) по подгруппе нижних треугольных матриц. 39.47. Пусть С вЂ” мультипликативная группа невырожденных матриц А е К""". Найти ее левостороннее и правостороннее разложения; а) по подгруппе всех невырожденных диагональных матриц; б) по подгруппе матриц перестановок; в) по подгруппе верхних треугольных матриц с единичными диагональными элементам; г) по подгруппе матриц с определителем, равным 1. 39.48.
Найти левые и правые смежные классы группы дробно-линейных функций (задача 39.5) по подгруппе линейных аж+5 функций вида у =, где а,б Е К, а ф О. Является ли эта От+ 1' Глава Х. Элементы общей алгебры 358 Порядок элемента. Циклические группы 39.53. Найти порядок элемента: сова — япа 1 а) ~ мультипликативной группы невырож- ~ — гйпа — сова ~ денных матриц второго порядка; ~ соз(2я(п) — з1п(2х/и) б) ~ . ~ ) ~ ) мультипликативной группы иц второго порядка; невырожденных матр О 1 0 О О 0 1 О 0 0 О 1 1 0 О 0 мультипликативной группы невырожден- ных матриц четвертого порядка; подгруппа нормальным делителем? 39.49.
Пусть С вЂ” мультипликативная группа невырожденных матриц второго порядка. ~1 а1 1) Доказать, что подмножество Н всех матриц вида ~ где а е К, образует подгруппу. 2) Показать, что подгруппа Н изоморфна аддитивной группе К вещественных чисел. 3) Найти левые и правые смежные классы группы С по подгруппе Н. Является ли подгруппа Н нормальным делителем? 39.50. Пусть м — группа из задачи 39.6.
1) Доказать, что множество 'Н всех подмножеств множества М, дополнение которых содержит заданное подмножество Ао, образует подгруппу. Является ли эта подгруппа нормальным делителем? 2) Построить разложение группы 0 по подгруппе Н. 39.51. Доказать, что в любой группе перестановок, содержащей хотя бы одну нечетную перестановку: а) число четных перестановок равно числу нечетных; б) четные перестановки образуют нормальный делитель. 39.52. Указать все нетривиальные подгруппы симметрической группы Яз. Находя правые и левые смежные классы по этим подгруппам, выяснить, какие из этих подгрупп являются нормальными делителями. ~39. Группа 359 /1 2 3 4 51 г) ~, 2 3 1 5 4 / РУппы э,.
/1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 1 6 / 39.54. Найти порядки всех элементов: а) адцитивной группы вычетов Уе, 5) мультипликативной группы Уэ '1 10). 39.55. Выяснить, элементы каких конечных порядков содержатся: а) в мультипликативной группе положительных рациональных чисел; б) в мультипликативной группе ненулевых рациональных чисел; в) в мультипликативной группе невырожденных диагональных матриц порядка и ) 2; г) в мультипликативной группе невырожденных матриц порядка п > 2. 39.56.
Показать, что в мультипликативной группе невырожденных матриц существует бесконечно много элементов второго порядка. 39.57. Привести пример бесконечной группы, в которой каждый элемент имеет конечный порядок. 39.58. Доказать, что если элемент а группы имеет конечный порядок п, то элементы 1, а, а,..., а" различны. 39.59. Доказать, что элемент а группы имеет порядок и, то аь = 1 тогда и только тогда, когда Й делится на и нацело. 39.60.
Доказать, что циклическая группа простого порядка порождается любым своим неединичным элементом. 39.61. Доказать, что если элемент а группы имеет порядок п,топ '=а" 39.62. Доказать, что во всякой группе а) элементы аб и ба имеют один и тот же порядок; б) элементы а и баб ' имеют один и тот же порядок; в) элементы або, бса и саб имеют одинаковый порядок; г) элементы або и оба могут иметь разные порядки. 39.63. Пусть элементы а и б группы С имеют конечный порядок и аб = ба. Доказать, что: а) если порядки элементов а и б взаимно просты, то порядок произведения аб равен произведению их порядков; 360 Глава Х. Элементы общей алгебры б) существуют гюказатели 1с и 1 такие, что порядок произведения а" б' равен наименьшему общему кратному порядков элементов а и б.
Верны ли эти утверждения для некоммутирующих элементов а и б? 39.64. Найти порядок элемента а", если порядок элемента а равен и. 39.65. Найти все образующие элементы адцитивной группы целых чисел. 39.66. В циклической группе (а) порядка и найти все элементы д, удовлетворяющие условию д~ = 1, и все элементы порядка Й при а) и=24, 1=6; б) и=24,1с=4; в) и=100,1=20; г) и=100, 1с=б; д) и=360, )с=30; е) и=360, 1с=12; ж) и=360, /с=7. 39.67. Пусть С вЂ” группа из и элементов.
Доказать, что С = (а) тогда и только тогда, когда п - порядок элемента а. 39.68. Доказать, что порядок любого элемента конечной группы является делителем порядка группы. 39.69. Доказать, что конечная группа простого порядка является циклической и порождается любым своим неединичным элементом. 39.70. Доказать,что в аддитивной группе и-го порядка для любого элемента а имеет место равенство па=О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
