Том 1 (1113039), страница 66
Текст из файла (страница 66)
40.34. Доказать, что группа невырожденных матриц порядка п над полем Жр изоморфна симметрической группе Я лишь в трех следующихслучаях; а) п=р=2,т=3; б) и=1,р=2, т=1;в) п=1,р=З,т=2. Конечные поля. Характеристика поля 40.35. Доказать, что в кольце, состоящем из и элементов, для любого элемента а кольца имеет место равенство па = О. 40.36. Доказать, что если в поле хотя бы один ненулевой элемент а имеет кратный элемент па, равный нулю, то характеристика поля отлична от нуля и не превосходит и.
40.37. Доказать, что если в аддитивной группе поля хотя бы один ненулевой элемент имеет конечный порядок, равный п, то любой ненулевой элемент поля также имеет конечный порядок, который не превосходит п. 40.38. Доказать, что порядок единицы поля в его адцитивной группе либо бесконечен, либо является простым числом. З40. Кольцо и поле 371 40.39. Показать, что множество из четырех матриц О, 1, ! 1 О\ ~1 1 над Уг образует поле.
40.40. Показать, что не существует поля, состоящего нз шести элементов. 40.41. Доказать, что любые два поля из четырех элементов изоморфны. 40.42. Доказать, что в поле из п элементов выполняется тождество т" = х. 40.43. Доказать, что если характеристика поля Р равна р, то 1) при р ф О для любого элемента а Е Р выполнено: ра = О; 2) при р = О: если а ф О, а е Р и и ф О, п е Е, то па ф О. 40.44. Показать, что характеристика коночного поля является делителем его порядка.
40.45. Привести пример бесконечного поля ненулевой характеристики. 40.46. Найти порядок элемента 2 в мультипликативной группе поля Ер для р = 3, 5, 7, 11. В каких из этих групп 2 является образующим элементом? 40.47. Найти все образующие элементы в мультипликативных группах поля: а) Ут, б) Уы. 40.48. Привести пример квадратных матриц А и В порядка р с элементами из кольца Ур, для которых выполнено равенство А — ВА = 1. 40.49.
Пусть Р— поле характеристики два. Доказать, что определитель кососимметрической матрицы нечетного порядка над полем Р равен нулю, если все ее диагональные элементы равны нулю. Верно ли это утверждение, если хотя бы один диагональный элемент кососимметрической матрицы не равен нулю? 40.50.
Пусть Р— поле характеристики два. Доказать, что определитель матрицы над полем Р с одинаковыми строками (столбцами) равен нулю. 40.51. Пусть Р— поле, состоящее из Й элементов. Доказать, что однородная система линейных алгебраических уравнений над полем Р с и неизвестными имеет й" "решений, где т — ранг матрицы системы. 40.52. Доказать, что система линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей коэффициентов А над любым по- 372 Глава Х.
Элементы общей алгебры лем имеет единственное решение тогда и только тогда, когда матрица А невырождена. 40.53. Решить в поле из задачи 4О.Ц12) уравнения: а) х~+ (4 — 2ъ~2)х+ 3 — 2ъ~2 = О; б) х~ — х — 3 = 0; в) х~+х — 7+6~/2 = 0; г) х~ — 2х+1 — ~/2 = 0; д) х~ — бх+1 = О. 40.54. Решить систему уравнений х+2г = 1, у+2г = 2, 2х+г = 2 а) в поле Уз, б) в поле Кз. 40.55. Решить систему уравнений Зх+ у+ 2г = 1, х+ 2у+ Зг = 1, 4х+ Зу+ 2в = 1 а) в поле Уз, б) в поле Жт. 40.56. Какие из уравнений: а)х~=5; б) хт=7; в) хз=а имеют решения в поле Жы? Если имеют, то сколько их? а Ь) 40.57. Пусть Ср — кольцо матриц вида ~ ~ с элемен- ~ — Ь а~ тами а, Ь из кольца вычетов Ур.
Доказать, что: а) Ср — коммутативное кольцо с единицей; б) если р — составное число, то в кольце Ср есть ненулевые необратимые элементы; в) Сз и Сь имеют делители нуля, и следовательно, не являются полями; г) кольца Сз и С7 являются полями; д) если р — простое число, то кольцо Ср является полем тогда и только тогда, когда уравнение х~ + у~ = О не имеет решений в кольце Ур. а Ь1 40.58.
Доказать, что кольцо матриц вида ~, где а, Ь е а ~' Ез, образует поле. 40.59. Доказать,что число элементов конечного поля равно р , где р — простое число, а т — натуральное. Глава Х1. Поле комплексных чисел ~41. Алгебраическая форма комплексного числа Комплексными числами называются упорядоченные пары (а,6) вещественных чисел, для которых понятия равенства, суммы, произведения и отождествления с вещественными числами вводятся согласно следующим правилам (аксиомам): 1) (а, Ь) = (с, д) с=в а = с, 6 = д; 2) (а,6) + (с,д) = (а+ с, Ь+ 4); 3) (а, Ь) (с, д) = (ас — М, ад+ Ьс); 4) пара (а,О) отождествляется с действительным числом а. Обозначения: г = (а,Ь); г = (0,1); С вЂ” множество всех комплексных чисел.
Очевидно, гг = — 1. Теорема 41.1. Множество С всех комплексных чисел является полем характперистики нуль. Следствие 1. Дял любой пари комплексных чисел г1 = (а,Ь), гг = (с,с1) суигествует, и притом единственная, разность ге — гг = (а-с,Ь вЂ” д). Следствие 2. Дяя любой пари комплексных чисел гз = (а,Ь), гг = (с,д) ~ 0 сущестпвует, и притом единственное, частное и ('ос+ Ы Ьс — ад~ гг (,сг + дг сг + дг,/ Теорема 41.2. Любое комплексное число г = (а,Ь) может бить записано в виде г = а + Ь4.
(41.1) Форма (41.1) записи комплексного числа г = (а,Ь) называется алгебраической формой числа г, при этом число а называется действительной частпью комплексного числа г = а + Ы и обозначается символом Йег, а 6 — мнимой частью и обозначается 1гпг.
Подчеркнем, что Гхег, 1т г Е й. Для вещественных чисел мнимая часть равна нулю. Комплексные числа, у которых действительная часть равна нулю, называются чисто мнимыми. Очевидно, два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда отдельно равны их действительные и мнимые части. Комплексное число г = а — Ьг называется сопряженным к числу г = а+В.
Т е о р е м а 41.3. Операция сопряжения комплексного числа обладает следующими свойствами: 1) г=г; 2)г=г е=: гйй; 8) г+ г = 2а, зг = а+ Ьг'; 4) гг = а + Ь', з'г = а+ Ь1; 5) г1 я гг = г1 я гг; г1гг = г| гг; (гч)гг) = г1/гг, гг ~ О. Глава Х1. Поле комплексных чисел 374 3 ам е ч а н и е. Для комплексных чисел, заданных в алгебраической форме, операции сложения, вычитания, умножения и деления производятся по обычным правилам выполнения этих операций над двучленами а + Ь1 с учетом тона что гг = — 1, и последующим приведением подобных членов (т.е.
отдельно группируются вещественные числа и чисто мнимые). Особенно это удобно для умножения чисел: если гг = а+ Ьг',гг = с ч- Иг', то гггг = (а + Ь1)(с+ с1г) = ас+ айг + Ьт' — ЬН = (ас — Ьй) + (аа' + Ьс)1. При делении чисел числитель и знаменатель дроби зг)гг следует предварительно умножить на гг. гг (а+ Ы)(с — аз), г г, (ас+ Ы) (Ьс — ай), =( гг=с +й ~б)= + г, гггг сг+ йг сг+ йг Пусть на плоскости 1гг выбрана прямоугольная декартова система координат. Отображение, которое каждому комплексному числу г = а+Ы ставит в соответствие точку М этой плоскости с координатами (а, Ь), является биекцией. Плоскость, точками которой изображаются комплексные числа, называется нолт ексной плоскостью, ее ось абсцисс — вещественной осью, ось ординат — мнимой осью (в соответствии с наименованием чисел, изображения которых лежат на этих осях).
Сложение и вычитание комплексных чисел выполняются по правилу сложения и вычитания радиус — векторов точек комплексной плоскости, изображающих эти числа. Пусть А = (а„) е С "" — матрица размера т х и над полем комплексных чисел. Матрица А = (а,"„) размера п х т называется сопряженной к матрице А, если а,";=а„, г=1,п,1=1,т. Очевидно, что А = (А) = (Аг'), где А = (ач).
Сопряженная матрица обладает следующими свойствами: 1) (А+ В)н = А + Вн, 2) (аА) = аАн, Ча Е С, 3) (АВ)н Вн,зн 4) (Ан)н = А, б) десА = йейА, б) гйА = гйА, выполненными для всех матриц, для которых определены левые части ра- венств. Комплексная матрица А Е С""" называется эрмитоеой, если Ан = А, и унитаарной, если А А = АА = 1. 3АДАх1И 41.1. Вычислить выражении: а) (2+г)(3 — г)+(2+31)(3+44); б) (2+г)(3+7г) — (1+2г)(5+Зг); в) (4+ г)(5+ Зг) — (3+ г)(З вЂ” г); г) (2+ г)з + (2 — г)з; з 3 з.
(5+ гН7 б') (5+')(3+ 5') 3+г ' 2г З41. Алгебраическая форма комплексного числа 375 (1+ Зг)(8 — г) (1+ Зг)~+ (2г)г (2 + г)з ' (2 + г)з + (1 + 2г)з 41.2. Вычислить гчг, г"з, г зг, г'г, где п Е Е 41.3. Доказать равенства: а) (1+ г)з" = 2~", гг Е У; б) (1+ г)4" = ( — 1)"2~", и Е К. 41.4. Доказать формулы сокращенного умножения: а) (хг~зз) = хг~х2згзз+хз~; б) -г~ — хзг = (хг — хз)(хг+зг); 41.5. Решить системы уравнений: ) (1+ г)зг + (1 — г)зз = 1+ г, (1 — г)хг + (1+ г)хз = 1+ Зг; б ) гзг + ~1+ г)хз = 2+ 2г, '1 2гзг + (3 + 2г)хз = 5 + Зг; ) (1 — г)хг — Зхз = — г, ) '1 2зг — (3+ Зг)хз = 3 — г; г ) 2хг — (2+ г)хз = — г, (4 — 2г)хг — 5хз = — 1 — 2г; хг + гхз — 2зз = 10, д) хг — зз + 2гзз = 20, гзг + Згз, — 11 + г)хз = 30, 41.6.
Найти вещественные числа х и у, удовлетворяющие уравнению: а) (2+г)х+(1+2г)у = 1 — 4г; б) (3+2г)х+(1+Зг)у = 4 — 9г1 41.7. Доказать, что; а) комплексное число з является вещественным тогда и только тогда, когда х = з; б) комплексное число з является чисто мнимым тогда н только тогда, когда х = — х. 41.8. Доказать, что: а) произведение двух комплексных чисел является вещественным числом тогда и только тогда, когда одно из них отличается от сопряженного к другому вещественным множителем; б) сумма и произведение двух комплексных чисел являются вещественными числами тогда и только тогда, когда данные 376 Глава Х1 Поле комплексных чисел числа или сопряжены, или оба вещественны; в) произведение двух комплексных чисел чисто мнимо тогда и только тогда, когда произведение их вещественных частей равно произведению их мнимых частей.
41.9. Найти все комплексные числа, сопряженные а) к своему квадрату; б) к своему кубу. 41.10. Найти все комплексные числа, квадраты которых равны: а) — 4; б) 2г; в) — 8г; г) 3 — 4г; д) — 15 + 8г; е) — 11 + ба; ж) -8 — бг; з) 8 — бз; и) 2 — Зг. 41.11. Решить уравнения: а) зз — (2+ з)з — 1+ 71 = 0; б) зз — ~3 — 21)з+ 5 — 5з = 0; в) (2+ г)зз — (5 — г)з + 2 — 2г = 0; г) з — 5г + 4+ 10~ = О. 41.12. Доказать, что определитель з1 з1 а зз Ь зз зз с где гп зз, гз — комплексные числа и а, Ь, с — вещественные числа, является чисто мнимым числом.
41.13. Показать, что множество матриц 01 ~ 0 ~ 10 ~ 0 образует мультипликативную группу, Абелева ли она? 41.14. Выяснить, какие из следующих множеств являются кольцами (но не полями) и какие полями относительно операций сложения и умножения комплексных чисел: а) комплексные числа вида а + Ьг', а, Ь е У,; б) комплексные числа вида а + Ьг, а, Ь е Я. / а Ы 41.15. Показать, что матрицы вида 1 ), а, Ь Е К, обра- 1,— Ь а)' зуют поле, изоморфное полю С комплексных чисел. 41.16. Доказать, что матрицы вида, з, ю Е С, образуют некоммутатнвное кольцо с единицей и без делителей нуля. Показать, что оно нзоморфно кольцу из задачи 40.10.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
