Том 1 (1113039), страница 59
Текст из файла (страница 59)
37.19. Показать, что сечение цилиндра у2 = 2х плоскостью х + у + х — 1 = 0 представляет собой параболу. Найти ее ось и фокальный параметр. 37.20. Найти фокусы эллипса, получающегося при пересечении цилиндра х2 + у2 = Зб плоскостью Зх + 4у + 12х = О. 37.21. Какую поверхность образуют точки всех прямых с направляющим вектором а, которые пересекают: а) окружность х2 + у2 = 1, х = О, если а = 11, 1, Ц; б) эллипс х2+ 2у2 = 8, х = 1, если а = 11,0,1); в) параболу у2 = 2рх, х = 0 (р > 0), если а = 12, — 1, 1)? 37.22.
Какую поверхность образуют точки всех прямых: а) пересекающих окружность х2+ у2 = 1, х = 1 и проходящих через точку (1,0,0); б) пересекающих параболу у2 = х, х = 0 и проходящих через точку (2,0,1); в) пересекающих гиперболу х2 — у2 = 8, х = 0 и проходящих через точку (0,0,2)? 338. Поверхности второго порядка, заданные общими уравнениями Пусть Охуг — аффннная система координат в пространстве. Алгебранческая поверхность второго порядка определяется уравнением оых -1-оггу +оззг~+2озгху+2аззхг+2агзуг+2бзх-~-2бгу+2бзг+с = О, (38.1) где не все коэффициенты оо 1з13 = Т,3) равны нулю, ои — — о„(збд = 1,3).
Уравнение (38.1) называется общим уравнением поверхности второго порядка. В основе класснфнкацнн поверхностей второго порядка лежит тот же принцип, что н для линий второго порядка (см. 833). В соответствии с этим прннцнпом все поверхностн второго порядка делятся на семнадцать классов. Теорема 38.1. Общее ургенение (38.1) поверхности второго порядка переходом к новой офб)инной системе координат О'х'у'гз могкно ириеестгз к одному и только одному из следующих семнадцати видов: Глава (Х. Линии и поверхности второго порядка 336 Название поверхности Уравнение Эллипсоид Мнимый эллипсоид =О =О Пара совпадающих лоскостей Как и для линий второго порядка, наиболее простым способом построения такого преобразования вффинной системы координат является метод Лагранжа.
Пример 38.1. Определить вид поверхности второго порядка, заданной уравнением х + 2у — 2ху + 4уг — 4т е гу + 1гг — ! (38.2) Решение, В уравнении (38.2) коэффициент ам при х отличен от нуля и равен единице. Выделим полный квадрат в группе слагаемых левой чести, содержащих переменную х: хг — 2ху — 4х = (х — 2х(у+2)+(у+2) ) — (у+2) = (х — у — 2)г — уг — 4у — 4 Тем самым, уравнение (38.2) перепишется в виде (х — у — 2) + у + 4уг — 2у+ 12г = И. Применим аналогичную процедуру выделения полного квадрата сначала по переменной у: (х — у — 2)' + у' + гу(гг — ц + (г — 1)г — (2 — ц' + 1гг = И = (х — у — 2) Ч-(у + 2г — 1) — 4г + 1бг = 12, 1 ~ й Э 4 7 9 10 11 12 Ц 13 ! 1б 17 (х') + (у ) + (г ) (х ) + (у ) + (г ) (х') + (у ) + (г ) л)г + ( )г ( л)г (х ) + (у') — (г') (х )' + (у ) — ( ) (х ) + (у ) = г (*')' — (у')' = ' (х')г + (у') = 1 (х) +(у) = — 1 (х') — (у ) = 1 (у')' = ' (х')' — (у')' = О (х )г + (у~)г О (у')' = ! (у')' = -1 Вырожденный эллипсоид Однополостлный гиперболоид Двуполостный гиперболоид Конус Эллиптический параболоид Гиперболический параболоид Эллиптический цилиндр Мнимый эллиптический цилиндр Гиперболический цилиндр Параболический цилиндр Пара пересекающихся плоскостпей Пара мнимых пересекающихся плоскостей Пара параллельных плоскостей Пара мнимых параллельных плоскостей 337 338.
Поверхности, заданные общими уравнениями а затем по переменной ж (х — у — 2) + (у + 2г — 1) — 4(гг — 4г + 4) + 16 = 12 ч=л = (х — у — 2) + (у+ 2г — 1) — 4(г — 2) = -4 ч=; х — у г у+2г — 1 г г = ( — — 1) +( 2 2 ) — (г — 2) = — 1. Решение. Так как уравнение (38.3) не содержит слагаемых с хг, у, хг, то, как и а примере 35.2, сделаем промежуточную замену переменных х=хл+ум у=х1 — ум г=гь В результате уравнение (38.3) прилгет аид (хг — улг) + (хл — у,)гл + (х1 +ул)гл = О ч=ь хг — уз+ 2х г = О. Выделим полный квадрат относительно переменной хо (х, + 2хлгл + г,) — ул — гл — — О ч=л (хл + гл) — у, — гл = О.
г г г г г г Вводя новые переменные х', у~, г' по формулам 1 1 -х+ -у+я, 2 2 1 1 -х — -у, 2 2 х, 1 у =ум Ф:-:л х = у получим уравнение (х ) — (у ) — (г ) = О, относящееся по классификации теоремы 38.1 к шестому виду. Следовательно, исходное уравнение (38.3) задает конус. ° П р и м е р 38.3, Определить аид поверхности гг = Зх+ 4у+ 15. (38.4) Решение.
Преобразование координат х'=х, у'=Зх+4у+15, г'=г (38. 5) приводит (38.4) к уравнению ( ')'=у', которое и силу теоремы 38.1 определяет параболический цилиндр. ° Перейдем к новым координатам по формулам х — у, у+2г — 1 х= — — 1,у= 2 ' 2 , г'=г — 2. Тогда уравнение поверхности прнлгет аид (х') +(у) — (г) =-1, из которого и силу теоремы 38.1 следует, что исходное уравнение (38.2) задает дауполостный гиперболоид. ° П р и ме р 38.2. Определить аид поверхности второго порядка, заданной уравнением ху + уг 4- хг = О. (38.3) Глава 1Х. Линии и поверхности второго поридкг Если общее уравнение (38.1) поверхности второго порядка задано в пря юугольной декартовой системе координат, то метод Лагранжа, вообще го .оря, не позволяет выяснить форму или расположение поверхности данногг ида в пространстве.
Как и для линий второго порядка, метрические харак еристики поверхности могут быть выяснены, только если проводимое пре бразование системы координат ортогональио. Можно показать, что любо~ акое преобразование сводится к последовательному выполнению поворотог , пространстве вокруг специальным образом выбираемых осей и параллель юму переносу.
Теорема 38.2. Для любой алгебраической поверхности второе~ юрядка сугцествует прямоугольная декартова система координат Охуг . которой уравнение этой поверхности имеет один иэ следующих видов: Каноническое уравнение название поверхности 1, а>Ь>с>О Эллипсоид Мнимый1 эллипсоид 1,а>Ь>о,с>0 — 1,а>Ь>О,с>О О,а>Ь>о,с>0 с г сг 22, а>Ь>0 1,а>Ь>0 Мнимый эллиптический цилиндр хг аг у — =1 у Ьг 2рх, р>0 Гиперболический цилиндр Параболический цилиндр х у — — — =О, аг Ьг Пара пересекающихся плоскостей х у — + — =О, ,22 62 Пара мнимых пересекаю- щихся плосхостей Пара параллельных плоскостей у =аг, а~о х — + аг х2 + аг х2 — + а2 х2 а2 *2 2 а х — + ,2 х2 — + а2 г аг х2 — + а2 2 аг — + У Ьг уг — + 62 уг — + Ь2 У Ь У Ь2 у 62 У Ьг у 62 У 62 У 62 г с2 сг 2 с2 г сг 2 г Выроэюденный эллипсоид Однополостный гиперболоид Двуполостный гиперболоид Конус Эллиптический параболоид Гиперболический параболоид Эллиптпический цилиндр 838.
Поверхности, заданные общими уравнениями 339 у = — аг, афО у'=О Пара мнимых параллельных плоскостей Пара совпадающих плоскостей 17 Пример 38.4. Определить вид и расположение поверхности, заданной в прямоугольной декартовой системе координат уравнением 2х — Зуг — 3»г + 4х + 6» — 7 = О. (38.6) Зхг + 4уг — 12х 4- 8у -Л 16» = О. (38.7) Решение, Уравнение (38.7) не содержит слагаемых с ху и»г, поэтому только переносом начала координат можно освободиться от переменных х, у в первой степени.
Имеем 3(х — 2) + 4(у + 1) -л 16(» — 1) = О, Положив х — 2 = х', у -л 1 = у', » — 1 = »', получим уравнение — + — = — 2»', (х) (у) 8/3 2 которое определяет эллиптический параболоид с вершиной а точке О'(2, — 1, 1), дли которого а = 8/3, Ь = 2. Направление оси параболоцца совпадает с отрицательным направлением оси 0». ° П р и м е р 38.6. Определить форлгу и расположение поверхности, задан- ной в прямоугольной декартовой системе координат уравнением (38.4). Решение. Длл определенил расположения поверхности допустимы лишь ортогональные преобразования координат, так что преобразование (38.5) здесь ие подходит, Выполним поворот плоскости Оху вокруг оси 0» на угол, определенный соотношением (35.5).
В нашел» случае сов»о = 4/5, в1п~р = 3/5. Формулы Решение. Уравнение (38.6) не содержит слагаемого с х», поэтому только переносом начала координат можно освободиться от переменных х и» в первой степени. Имеем 2(хг + 2х+ 1) — 2 Зуг 3(»г 2» 4 1) + 3 — 7 = О л=ы. = 2(х т1)' — Зу' — 3(» — 1)' = 6. Положив х + 1 = »', у = у', » — 1 = х', получил» уравнение (х ) (у') (»') — + — — — = — 1, 2 2 3 которое является каноническим уравнением двуполостного гиперболоида с полуосвми а = Ь = ч'2, с = л/3 Каноническая система координат этого гиперболоида получена переносом исходной системы координат в точку О'( — 1, О, 1).
Эта точка является центром гиперболоида. ° П р и мер 38.5. Определить вцд и расположение поверхности, заданной в прямоугольной декартовой системе координат уравнением Глава 1Х. Линии и поверхности второго порядка 340 преобразования координат будут иметь вид 4 3 х1 = -х — -у, 5 5 3 4 уг = -х+ -у, 5 5 ьч 4 3 х = -х1+ -ум 5 5 3 4 у = — -х|+ -уы 5 5 й = хп (38.8) Отсюда Зх+ 4у = буг и уравнение (38.4) примет вид зг = 5(у1 + 3).
Положив х1 = х, у1 + 3 = у, г1 = х, (38.9) получим уравнение (х') = 5у, те, уравнение параболического цилиндра. 2 Из (38.8) и (38.9) находим 4 3, 3 4 х'=-х — -у, у'=-х+-у+3, х'=а 5 5 ' 5 5 Для всех точек цилиндра у~ > О, т.е. цилиндр лежит в положительном полупространстве относительно плоскости Зх + 4у + 15 = О. Образующие цилиндра параллельны оси х', т.е. прямой Зх + 49 + 15 = О, в = О. Направляющей цилиндра служит парабола с параметром р = 5/2, лежащая в плоскости х' = О, т.е. в плоскости 4х — Зу = О, с вершиной ( — 9/5, — 12/5, 0) и фокусом ( — 21/20, — 7/5,0). ° П ример 38.7.
Определить вид и расположение поверхности, заданной в прямоугольной декартовой системе координат уравнением х~ = 2ху. (38.10) Решение. Выполняя поворот плоскости Оху вокруг оси Ох на угол л/4 (см. соотношение (35.5)) 1,, 1 х= — (х — у),у= — (х +у),х=г, х/2 ч2 приведем уравнение (38.10) к виду (з') = (х') — (у')э. Это каноническое уравнение конуса вращения с вершиной в начале координат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
