Том 1 (1113039), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Составить уравнения прямой, которая проходит через точку А(1, — 5,3) и образует с осями координат углы, соответ- ственно равные 60', 45' и 120'. 32.26. Определить угол, образованный прямыми х — 1 9+2 х — 5 х у — 3 я+1 и 3 6 2 2 9 6 32.27. Вычислить направляющие косинусы прямой х — я+3 = О, 5х — бу + 2г + 21 = О. 32.28. Определить угол между каждой парой следующих прямых; Глава УИ1. Прямая я плоскость в пространстве 284 х= 3+1, 1) у=7 — 21, и я = 4+За х =2+бг, у=1 — 1, 3=1; 4х+у — бг — 2 = О, у — За+2 = 0; < х — у+1=0, 2х + 2у — 5г + 1 = О. З х — 4у — 2» = О, 2х+у — 2г = 0 ) Зх+у — я+1 = О, 1 Зх — у+я=О 32.29.
Найти угол между прямой х = 5+4г, у = 1+1, г = 2 — 1 и плоскостью 7х + 49 — 4в + 5 = О. 32.30. Найти угол между прямой х+у — х = О, 2х — Зу+ г = 0 и плоскостью Зх + 5у — 4г + 2 = О. 32.31. Написать уравнение плоскости, проходящей через пря- мую х=1, 1) у=1 — 21, 2) — Ф 32.36. Найти уравнение и длину высоты АН треугольника х+7 у — 6 х — 2 3 1 и образующей угол я/3 с прямой х — у + г = О, х — р+ 2х = О. 32.32.
Через прямую х у+1 г — 1 1 — 1 0 провести плоскость так, чтобы острый угол между линиями ее пересечения с плоскостями Охг и Оуг был равен я/3. 32.32.1. Плоскость задана уравнением х = ах+ бу+ с. Найти тангенсы углов, которые образуют координатные оси Ох, Оу, Ог с этой плоскостью. 32.33. Трехгранный угол задан плоскостями х — у — 4г+13 = О, Зх + у — 4х+ 7 = О, Зх — 5у — 4г + 19 = 0 и его внутренней точкой <1,3,5). Найти направляющие косинусы луча, выходящего из вершины этого трехгранного угла и образующего с его ребрами равные между собой острые углы.
Установить, проходит ли этот луч внутри или вне трехгранного угла. 32.34. Найти расстояние от точки (1, 3, 5) до прямой, по которой пересекаются плоскости 2х + р+ г = 1, Зх + у + 2х = 3. 32.35. Найти расстояние от точки (1, 2, 5) до каждой из следующих прямых: у32. Метрические задачи в пространстве 285 А ВС, образуемого пересечением плоскости Зх — у+ 4х — 12 = 0 с координатными плоскостями, при условии, что вершина А лежит на оси Ох. 32.37.
Найти расстояние между каждой парой следующих прямых: х=З+Ф, х = — г, 1) у=1 — ~, и у=2+3~, г = 2+21 2 = 31; х+у — х+1=0, / х — 2у+Зх — 6=0, х + у = 0 ~ 2х — у + Зх — б = 0; / х+2у — а+1=0, / х+у+г — 9=0, '~ 2х — Зу+ г — 4 = 0 ~ 2х — у — г = О. 32.38. Найти расстояние между параллельными прямыми х — 2 у+1 г х — 7 у — 1 х — 3 и 3 4 2 3 4 2 32.39. Найти кратчайшее расстояние между диагональю ку- ба и непересекающей ее диагональю грани, если ребро куба равно единице. 32.40. Найти расстояние между двумя скрещивающимися медианами двух боковых граней правильного тетраэдра с реб- ром, равным а. 32.41. Найти угол ~р, образуемый прямой хо У Уо х хо а Ь с с плоскостью Ах+ Ву+Сг+Р = О, заданными своими уравнени- ями в аффинной системе координат с известными метрическими коэффициентами д, . 32.42.
Найти необходимое и достаточное условие перпенди- кулярности прямой — У Уо' х хо а Ь с и плоскости Ах+ Ву+ Сг+ Р = О, заданных своими уравнения- ми в аффинной системе координат с известными метрическими коэффициентами д, . Глава г7П. Прямая и плоскость в пространстве 286 ЗЗЗ. Векторные уравнения прямой и плоскости Векторное уравнение прямой, проходящей через точку Мс( ге), с направляющим вектором а имеет вид г= го+ а1, 1ЕЖ, нли [г — гс, а) = О, или [г, а) = М, где ( М, а) = О.
(33.1) Заметим, что если ( М, а) ~ О, условию [г, а) = М не удовлетворяет ни одна точка пространства. Геометрические свойства прямой, заданной третьим уравнением (33.1), рассматриваются в примере 33.1, Векторное уравнение плоскости, проходящей через точку Мо( гс), с на- правляющим векторами а1 и аз имеет вид г = го+ а1и+ ати, и,с Е К, или (г — го, ам ат) = О, или (г, ап аз) = р. Векторное уравнение плоскости, проходящей через точку Мс( гс) и пер- пендикулярной вектору и, имеет аид (г — го, и) = О, или (г,п)=Р. Пример 33.1. Доказать, что уравнение [г, а) = М, где а ~ О, (а, М) = О, определяет прямую. Найти ее направляющий вектор н какую- нибудь точку Мс( ге), ей принадлежащую.
Составить параметрическое уравнение этой примой. Решение. Рассмотрим вектор ге = ' . Согласно форлгуле двой- [а, М) ! а[т ного векторного произведения (пример 25.6) имеем [а,[а, М)! а(а, М) — М(а, а) [го, а! =— ! а[э ! а[э г= ' +ай 1ЕК, ° [а, М) — [а[з (33.2) (так как (а, М) = 0). Следовательно, точка Мс(ге) принадлежит линии, определяемой рассматриваемым уравнением, которое в силу равенства (го, а! = М эквивалентно соотношению [г — га, а) = О. Оно же, в свою очередь, равносильно коллинеарности векторов г — ге и а, т.е. существованию такого 1 Е Й, что г — ге = ай т.е. г= го+ аг, 1бй.
Таким образом, уравнение [ г, а) = М, где а ЗЬ О, ( а, М) = О, определяет прямую с направляющим вектором а и проходящую через точку Мо( гс), [а, М! где ге = ', а параметрическое уравнение этой прямой имеет вид ! а[э 287 '333, Векторные уравнения прямой и плоскости Пример 33.2. Найти радиус-вектор гс точки М пересечения трех плоскостей ( г, п1) = Р1, ( г, пз) = Рз, (г, пз) = Рз, где ( п1, пъ пз) г- О. Решение. Искомый вектор гз является решением системы уравнений ( г, п1) = Р1, (Г, П2) = В2, (33.3) (г, пз) = Рз Будем искать гс в разложении по базису п', = (пз, пз(, пз = [пз, п1(, пз — — [п1, пз(, взаимному к базису П1, пз, пз, т.е. в виде ГО = Х П1 + Д П2 + 2 ПЗ.
Умножая скалярно обе части этого равенства на п1, пз, пз, получим ( ГЗ П1) = Х( П1 П2, Пз) (го, пз) = р(п1, пз пз), (го, пз) = 2( п1, пз, пз). Так как гс — решение системы (33.3), то Р1 Вз Рз Х = р= 2= (П1, П2, ПЗ) (П1, П2, ПЗ) (П1, П2, ПЗ) Следовательно, Р1[пз, пз( + Вз(пз, п1) + Рз[пз, пз[ го— ( П1, П2, ПЗ) Пример 33.3. Составить параметрическое уравнение прямой (, явля- ющейся линией пересечения плоскостей (г, п1) = Р1 и ( г, пз) = Рг. Решение. Прямая 1 перпендикулярна как п1, так и пз, поэтому век- тор а = (п1, пз( — направляющий вектор й В качестве точки Мз( го) возь- мем основание перпендикуляра, опущенного иэ полюса на прямую 1, так что ( гс, а) = О.
Таким образом, вектор гс является решением системы ( г, пз) = Р1, (г, пз) = Рз, (г,а) =О. Поступая так же, как и при решении системы (33.3), получим, что Р1 [из, а)+ Рг(а, п1) [а,Ргп1 — Рзпз( [[п1, пз(,Рзп1 — Рзпз( гс— ( п1, пз, а) (и, (п!, п2() ([П1, пз)(2 Следовательно, параметрическое уравнение прямой 1 имеет вид [[ П1 П2) Р2 П1 Р1 П2) Г= ([ (( -ь[п1,пз[й зеп. ° Пример 33.4. Найти точку М1(г1) пересечения прямой Е: [г, а( = М ( а 4 О, ( а, М) =О) и плоскости н: (г, п) =В, если известно, что ( п, а) ф О, Р е ш е н не.
Воспользуемся параметрическим уравнением (33.2) прямой й Тогда задача сводится к нахождению такого числа 2 Е К, что < (а, М) (а(2 (г1, п) =Р, 288 Глава Ъ"111. Прямая и плоскость в пространстве т.е [[а, М), и) Р[а[г — [а, М, и) [а[г [а[г[а и) Отсюда 1 1 Р[а[г [а М и) тг = — [[а М)+ ' ' а(. ° — [аР ~ [а, и) ЗАДАЯИ 33.1.
Найти геометрическое место середин отрезков, концы которых лежат на двух скрещивающихся прямых. 33.2. Плоскость я пересекает две скрещивающиеся прямые. Найти геометрическое место середин отрезков, параллельных плоскости к, концы которых лежат на этих прямых. 33.3. Доказать, что уравнение (г, и) = Р, где и ф О, определяет в пространстве плоскость. Найти ее вектор нормали и какую-нибудь точку Мс[ гс), ей принадлежащую. 33.4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М1 [ г1) и прямую г = го + а1, эту точку не содержащую. 33.5.
Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М1[ г1) и перпендикулярной к прямой г = го + а1. 33.6. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку Ма[го) и перпендикулярной к прямой пересечения двух плоскостей [г, и1) = Р1 и [г, из) = Рт. 33.7. Найти точку пересечения прямой г = го+ а~ с плоскостью [г, и) = Р. 33.8.
Найти точку пересечения прямой г = го+ а$ с плоскостью г = гт + Ьи+ сс. 33.9. Найти точку пересечения прямой г = го+ а1 с плоскостью, проходящей через три точки Мь[ гь), 1 = 1, 2, 3, не лежащие на одной прямой. 33.10. Составить уравнение прямой, проходящей через точку Мо[го) и пересекающей две скрещивающиеся прямые г = г1 + а11 и г = гз + аз8. 33.11. Составить уравнение прямой, лежащей в плоскости [г, и) = Р и пересекающей под прямым углом прямую г = го+ а~, если ]а, и] ~ О. 33.12. Найти ортогональную проекцию точки Мс( гс) на прямую г= г1+ а1. '333.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
