Том 1 (1113039), страница 44
Текст из файла (страница 44)
28.3. Две параллельные прямые 2х — 5у+б = 0 и 2х — 5у — 7 = 0 делят плоскость на три области: полосу, заключенную между этими прямыми, и две полуплоскости вне этой полосы. Установить, каким областям принадлежат точки А(2, 1), В(3, 2), С(1, 1), В(2,8), Е(7,1), Е( — 4,6).
28.4. Даны две точки А( — 3, 1), В(5, 4) и прямая х — 2у+1 = О. Установить, пересекает ли данная прямая отрезок АВ или его продолжение за точку А или за точку В. 28.5. Доказать, что прямая бх — у — 5 = 0 пересекает отрезок прямой Зт — 2у — 6 = О, заключенный между осями координат. 28.6. Даны четыре точки А(5,3), В(1,2), С(3,0), В(2,4). Установить, принадлежит ли точка М пересечения прямых АВ и СВ отрезкам АВ и СВ или их продолжениям. 28.7. В каком отношении прямая 2х — у+5 = 0 делит отрезок, начало которого находится в точке ( — 5,4), а конец — в точке (2, 1)? 28.8. При каких значениях параметра и точки прямой х = 2+ 5и, у = — 1+ и принадлежат отрезку этой прямой, заключенному между двумя прямыми х + 4у — 1 = О, т + у = О? 28.9.
При каком необходимом и достаточном условии точка 252 Глава Ы1. Прямая на плоскости и плоскость в пространстве (хо, ус) лежит межву двумя параллельными прямыми Ах+ Ву+ С~ = 0 и Ах+Ву+Сг =О? 28.10. Даны три прямые Ах+ Ву+ С~ = О, Ах+ Вр+ Сз = О, Ах + Ву + Р = О.
Найти условие, необходимое и достаточное для того, чтобы третья прямая лежала в полосе, образованной первой и второй прямыми. 28.11. Стороны треугольника АВС заданы уравнениями АВ: 2х — у + 2 = О, ВС: х + у — 4 = О, АС: 2х+ у = О. Определить положение точек М(3,1), М(7, — 6), Р(3,2) относительно этого треугольника. 28.12. Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы точка (хв, ус) лежала внутри треугольника, образованного прямыми А~х+В~у+С~ =О, Агх+Взу+Сэ=О, Аъх+Взу+Сз=О. 28.13. Стороны треугольника АВС заданы уравнениями АВ: Зх — у+ 4=0, ВС: 2х — у+ 1=0, СА: х — 2у=О.
Определить положение прямой 2х — у+ 3 =0 относительно этого треугольника. Плоскость в пространстве 28.14. Определить положение точек А(2, 5, 1), В(2, 1, 0), С(0, О, 1), Р(0, 1, — 9), Е( — 1, — З,О) относительно плоскости 2х+ 2у+ в+2=0. 28.15. Даны две плоскости 2х + в = О, х + у + Зв — 5 = 0 и точки А(2,1,1), В(1,0,3), С(0,0,1), Р( — 1,5,1), Е(1,4, — 3). Установить, какие из точек В, С, Р, Е лежат в одном двугранном угле с точкой А, какие в смежных с ним углах и какие в угле, к нему вертикальном.
28.16. Даны две параллельные плоскости Зх+ 4у+ 2г — 10 = О, Зх + 4у+ 2г+ 5 = 0 и точки А(1,1,1), В(2,0,0), С(5,6,1), Р( — 4,0,1). Определить положение этих точек относительно данных плоскостей. 28.17. Даны две точки А( — 3,1,5), В(5,4,2) и плоскость 2х— 4у + в + 14 = О. Установить, пересекает ли данная плоскость отрезок АВ или его продолжение за точку А или за точку В. 28.18.
Даны две точки М~(хм умг~), Мз(хз,уз,гз) и плоскость Ах+ Ву+Сг+Р = О. Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы данная плоскость пересекала: 1) прямую М~Мэ; 2) отрезок М~Мэ в его внутренней точке; 3) продолжение отрезка М~Мэ за точку М~, 4) продолжение отрезка М~Мв за точку Мз. у29. Метрические задачи в прлмоугольной системе координат253 28.19.
При каком необходимом и достаточном условии плоскость Ах+ Ву+ Сх+ Е = 0 лежит между параллельными плоскостями Ах+ Ву+ Сг + Р1 = 0 и Ах+ Ву+ Сх + Рг = О? 28.20. Даны две точки А(3, 5, 1), В(2, — б, 3). Найти отношение, в котором делит отрезок АВ точка С пересечения прямой АВ с плоскостью 2х — Зу+ бх — 1 = О. 28.21. Три плоскости Аьх+ Вьу+Сьх+Рь = О, )с = 1, 2, 3, образуют призму. При каком необходимом и достаточном условии точка Мо(хо, уо, хо) лежит внутри призмы? 28.22. Грани тетраэдра заданы уравнениями Аьх + Вьу + Сйх + Рь = О, )с = 1,4. Найти условие, необходимое и достаточное для того, чтобы точка Мо(хот уо, хо) и вершина тетрадра, противолежащая грани Агх + Вгу + С1х + .Р1 = О, лежали по разные стороны от этой грани.
28.23. Найти условие, необходимое и достаточное для того, чтобы точка Мо(хо, уо, го) лежала внутри тетраэдра, образованного плоскостями Аьх + Вьу + Сьх + Рь = О, )с = 1, 4. 329. Метрические задачи в прямоугольной декартовой системе координат Если Оху — прямоугольная декартова система координат, то угловой коэффициент к прямой у = )сх + 6 есть тангенс угла от положительного направления оси Ох до этой прямой.
При этом, если р — угол от прямой с угловым коэффициентом аист до прямой с угловым коэффиииентом йг (при условии, что эти прямые не перпендикулярны), то Йг — лтт Сйсо = 'Р= 1+6,й,' Прямые с угловыми коэффициентами йт и 1сг перпендикулярны тогда и только тогда, когда тст)сг = 1 Теорема 29.1. В прямоугольной декартовой системе координат Оху расстполнис р(Мо 1) от то оси Мс(хо уо) до прямой 1: Ах+ Ву+С = О определястпся формулой )Ахо + Вуо + С) ЧАг ЕВ' Теорема 29.2. В прямоугольной декартовой системе координат Охуг расстпояние от тпочки Мо(хо,уо, го) до плоскости к: Ах+ Ву+ Сг+ Р = О определяется формулой )Ахо+ Вуо+ Сго+ Р) —,г ~г'+с 254 Глава г/П.
Прямая иа плоскости и плоскость в простраистве Теорема 29.3. В прямоугольной декартовой системе координат Оху угол ~р мвжд1/ прямыми 1ь: Агх Ч- Вгу+ Сг = О, (г = 1, 2, совпадающий с углом между их нормалями, определяется формулой АгАг + ВгВг сову = ,/Аг + Вг, /Аг+ Вг Теорема 29.4. В прямоугольной декартовой системе координат Охуг угол р между плоскостями яг: Агх + Вьу + Сгг + Рг = О, й = 1,2, совпадающий с углам мемеду их нормалями, определяется формулой АгАг + ВгВг + СгСг гХ,+',-г,~-с,гА та +с ~Агх т Вгу + Сг! )Агх + Вгу + Сг( (29.1) т/Атг+ Вг т/А~ ~+ Вгг Тот факт, что точки М(х, у) и Ма(ха, уа) лежат внутри одного угла между прямыми (г и 1г означает, что они находятся в одинаковых полуплоскостях как относительно прямой 1м так и относительно прямой 1г.
Следовательно, (Агх+ Вгу+ Сг)(Агха ч- Вгуо+ Сг) > О, (Агх+ Вгу+ Сг)(Агха+ Вгуа+ Сг) > О, Отсюда и из (29,1) следует, что уравнение искомой биссектрисы имеет вид Агх+ Вгу+ Сг Агх+ Вгу+ Сг х/Агй -~- Вг „/Аг + Вгг если (Агхо + Вгуо + Сг)(Агхо + Вгуа + Сг) > О, Агх + Вгу т Сг Агх + Вгу + Сг /Аг+ Вг и/А~ + Вг если (Агхо + Вгуа ч- Сг)(Азха+ Вгуа + Сг) ( О ° (29.2) П ример 29 2. Даны две пересекающиеся прямые 1г .
Аьх+ Вгу+ Сг = О, гг = 1, 2, и точка Ма(ха, уа), не лежащая ни на одной из них. Вычислить косинус того угла между этими прямыми, в котором лежит точка Ма. Система координат прямоугольная. Решение, Опустим из точки Ме на данные прямые перпендикуляры МаМг и МаМг (рис. 1-4). Обозначим через о искомый угол, а через х — угол между нормалями пг = (Аи Вг) и пг = (Аг, Вг) к прямым 1г и 1г. Так как Пример 29 1. Даны две пересекающиеся прямые 1г . Агх 1Вьу+Сг = О, я = 1,2, и точка Мо(ха, уа), не лежащая ни на одной из них.
Написать уравнение биссектрисы того угла между прямыми, в котором лежит точка Ма. Система координат прямоугольная. Решение. Точка М(х,у) лежит на биссектрисе тогда и только тогда, когда р(М,(г) = р(М,!г), те. 929. Метрические задачи в прямоугольной системе координат255 вектор нормали к прямой 1ь направлен в сторону положительной полуплос- кости относительно данной прямой, то возможен один из указанных на рис.
1-4 вариантов расположения точки 57с. Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3 Рис, 4 Как видно из рисунков, если угол, в котором лежит точка Мо, образован полуплоскостями (относительно прямых 1г и 1г) одинакового знака (рис. 1, рис. 2), то о = т — 1с. Если же полуплоскости имеют разные знаки (рис. 3, рис. 4), то о = гг. Таким образом, гг, если (Агхс+ В1ус+ Сг)(Агхо+ Вгуо -1-Сг) ( О, -=( х — 1с, если (Агхс -> Вгуо+ Сг)(Агхо+ Вгуо+ Сг) > О, при этом АгАг + ВгВг /Атг+ Вг /А'г+ Вг АгАг+ ВгВг сова =— ь/Аг + Вг ~ Агг + Вг в первом случае; (29.4) во втором случае. ° Пример 29.3. Стороны треугольника АВС заданы своими уравнени- ями )7х — у — 3! т/50 Найдем координаты точек В и С; 7х †у †, 9 — О В( 1 10) )х+ у — 5) х+У вЂ” 5=0, г С(7 ( х †у †АВ: 7х — у — 3=0, АС: хьу — 5=0, ВС: х — у — 9=0.
Составить уравнение биссектрисы внутреннего угла А треугольника. Решение. В силу (29.1) уравнение биссектрис угла между прямыми АВ и АС имеет вид 256 Глава Ъ'тт. Прямая на плоскости и плоскость в пространстве Так как искомая прямая является биссектрисой внутреннего угла треугольника, то вершины В и С лежат относительно нее в разных полуплоскостях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
