Том 1 (1113039), страница 40
Текст из файла (страница 40)
В пространстве в аффинной системе координат Охуг уравнение яоскости к, проходящей ~срез точку Мо(хо, уо, го), с направляющими векторами рг = (ты пи яг) и рг = (тг, пг, кг) имеет вид х — хо у †х †тг п1 кг = О. (26.3) тг по Йг Уравнение (26,3) называется канани~вским уравнением плоскости. Следствие. Уравнение пяоглости, проходящей через тари точки Мо(хо, уо, го), Мг(хм ум зг), Мг(хг,уг, гг), не яехсащие на одной прямой, имеет вид х — хо хг — хо хг — хо у — уо е — го у, — уо зг — го = О. уг — уо гг — го Уравнение (26.2) означает лишь пропорциональность и в случае, когда т = О или п = О, равносильно уравнению х — хо = О или у — уо = О соответственно. Уравнения (26.1), (26.2) называются канонически:ми уравненилми прямой на плоскости.
Следствие. Уравнение прямой, проходящей через две различные точки Мо(хо, уо) и Мг(хмуг), имеет вид 232 Глава Ъ71. Прямая нв плоскости и плоскость в пространстве Параметрические уравнении. Теорема 26.3. Уравнение прямой, проходящей через точку Мс(го) с направляющим вектором а имеет вид (26.4) г= го+1а, геК, или, в координатной !рорме, в системе координат Оху ( == х = хо+гт, у=ус+!и, гбК (26.5) Число ~ в уравнениях (26.4) и (26,5) является координатой точки М(х, у) прямой на самой прямой, если за начало координат принимаетсн точка Ма(хо, уо), а за базисный вектор — вектор а = (т,п). Уравнения (26.4), (26.5) называются параметрическими уравненилми прямой на плоскости в векторной и координатной формах соответственно. Теорема 26.4.
Уравнение плоскости, проходящей через точку Мс(го) с направляю!дини векторами р! и рг имеет вид (26.6) г= го+ирг+ьрг, и,ьеК, или, в координатной д!орме, в системе координат Охуг < х = хе+ ит! + ьтг, у = уо + ип1 -)- опг, г = го+ив!+пуз, и,ьбК. (26.7) Ах+Ву+С=О, где А +В рО. (26.8) Уравнение (26.8) называется общим уравнением прямой на плоскости. Вектор и = (А, В) называется вектором нормали к прямой относительно уравнения (26.8). Теорема 26.6. Поверхность в пространставе является плоскостью тогда и только тогда, когда она лвляется алгебраической поверхностью первого порядка, т.е, определяется уравнением Ах+Ву+Сг+Р=О, где А +В +С ~О.
(269) Числа и,о в уравнениях (26.6) и (26.7) являются координатами точки М(х,у) плоскости на самой плоскости, если за начало координат принимается точка Мо(хс,уо,га), а за базисные векторы — векторы р! = (т!, пг, )г! ), Рг = (тг, и!, йг).
Уравнения (26.6), (26.7) называются параметрическими уравнениями плоскости в векторной и координатной формах соответственно. Общие уравнения. Теорема 26.5. Линия на плоскостпи является прямой тогда и только тогда, когда она является алгебраической линией первого порядка, т.е. определяетсл уравнением 926. Составление уравнений по различным заданиям 233 Уравнение (26.9) называется общим уравнением плоскости а пространстве.
Вектор и = (А, В, С) назыааегся вектором нормали к плоскости относительно уравнения (26.9). Общее уравнение примой (плоскости) называется полным, если асе коэффициенты А, В, С (соответстаенно А, В, С, Р) отличны от нуля. Теорема 26.Т. В аффинной системе координат Оху на плоскости (Охуг в пространстве) вектор а = (т, и) (соответственно а = (т,п,1с)) параллелен прямой (пяоскости), заданной общим уравнением (26.8) (соответставенно (26.9)), тогда и только тогда когда Ага+ Вп = О, (26.10) (26.11) (соответственно Ат + Вп + С/с = О). Следствие 1.
Вектор а = ( — В,А) ~ 0 параллелен прямой (26.8). Следствие 2. Векторы а=(0, — С, В), Ъ= ( — С,О,А), с= ( — В,А, 0) компланарны плоскости (26.9) . Сл е до т в ив 3. В прямоугольной декартовой системе координат вектор нормали и = (А, В) к прямой (26.8) (соответственно и = (А, В,С) к плоскости (26.9)) перпендикулярен этой прямой (плоскости). Урапнения и отрезках.
Полные уравнения (26.8) и (26.9) прямой на плоскости и плоскости а пространстве могут быть записаны ввиде: х у г и — + — + — = 1. а Ь с х у — + — =1 а Ь Эти уравнения называются уравнен ями прямой и соответственно плоскости в отрезках. Числа а, Ь, с а этих уравнениях называются отрезками, которые отсекает прямая (плоскость) на осях координат. Векторные уравнения.
Параметрические уравнения (26А) и (26.6) представляют собой векторные уравнения прямой (как на плоскости, так и и пространстве) и плоскости. Уравнение (26.6) порождает другую форму векторного уравнения плоскости: (г — го рм рг) = 0 или (г, ры рг) = В, (26.12) где В = ( го, рм рг).
Теорема 26.8. Уравнение пря.мой на плоскости (плоскости в пространстве), проходящей через точку Мо(го) перпендикулярно вектору и, имеет вид ( г — го, и) = 0 или, что то оке самое х — у+1=0, ( Зх — 2у+1=0, ( х — уа1=0, Зх — 2у+1=0 ' ( 2х — у — 1=0 ( 2х — у — 1=0 (г,п)=В, где  — константа, равная ( го, и). Пример 26.1. В треугольнике АВС даны уравнения сторон АВ: Зх— 2у + 1 = О, ВС: х — у+ 1 = 0 и медианы СМ: 2х — у — 1 = О.
Составить каноническое, общее и параметрическое уравнения стороны АС. Система координат аффннная. Решение. Из систем уравнений 234 Глава у11. Прямая на плоскости и плоскость в пространстве находим координаты точек В, М и С: В(1, 2), М(3, 5), С(2, 3). Так как точка М вЂ” середина отрезка АВ, то координаты (х,у) точки А находятся из х+1 у+2 соотношений — = 3, — = 5, так что А(5, 8). Каноническое уравнение 2 ' 2 АС как прямой, проходящей через точки А и С, имеет аид х — 2 у — 3 5 — 2 8 — 3 х — 2 у — 3 3 5 1 8 найдем координаты точки Я пересечения высот треугольника: Я( — —, --).
9' 9 — 28 28 Вектор АЯ = ( ††, †) перпендикулярен прямой ВС,поэтому вектор и = 9' 9 (1, — Ц можно взять за вектор нормали прямой ВС. Тогда общее уравнение прямой ВС будет иметь вид (26. 13) х †у+с. Чтобы найти коэффициент с, найдем координаты точки В: вектор (2, — 7)— направляющий вектор прямой АВ, поэтому прямая АВ определяется ураах — 3 у+4 пением — = — или 7х+ 2у — 13 = О, а точка В определяется системой 2 — 7 уравнений 7х+ 2у — 13 = О, ( 7х — 2у — 1 =О, Подставив найденные отсюда координаты (1, 3) точки В я (26.13), находим с = 2 и исколюе уравнение х — у+2=0.
° Пример 26.3. Напрямых1м х+у — 2 = 0 и 1т. 5х+у — 14 = 0 найти точки А Е 1м В Е 1з такие, что прямая АВ имеет угловой коэффициент, равный 3, и что длина отрезка АВ равна угГО. Система координат прямоугольная. Решение. Уравнение прямой АВ имеет вид у = ЗхЧ-Ь, поэтому вектор (1,3) яаляется направляющим вектором этой прямой. Следовательно, если (х, у) — координаты точки А, то точка В имеет координаты (х + 1, у + 31), 1 Е К, Параметр 1 находим из условия, что )АВ( = ~/ГО: 1 = х1, так что точка В имеет координаты (х х 1, у х 3).
Подставляя координаты точек А и В и уравнения прямых 1~ и 1з соответственно, находим искомые точки: А~(1, 1), В~(2,4) и Аз(5, -3), Вз(4, -6) ° П р и м е р 26.4. Составить параметрические ураанения плоскости треугольника с вершинами и точках А(2,5, 1), В(6,3,2), С(1, 1,1). Отсюда легко получить общее уравнение: 5х — Зу — 1 = О. Параметрическое уравнение АС как прямой с направляющим вектором АС = (3; 5), проходящей через точку С(2, 3), имеет аид х = 2+ 31, у = 3+ 51, 1 Е (й. ° П р и м е р 26.2. Зная вершину А(3, — 4) треугольника АВС и уравнения двух его высот ВН: 7х — 2у — 1 = О, СР: 2х — 7у — 6 = О, написать уравнение стороны ВС. Система координат прямоугольная.
Решение. Из системы уравнений ( 7х — 2у = 1, 2х — 7у = 6 226. Составление уравнений по различным заданиям 235 Решение. Векторы СА = 11,4,0) и СВ = (5,2, 1) — направляющие векторы плоскости, поэтому ее параметрические уравнения имеют вид < х = 1+ и+ 5и, у= 1т4и+2и, в=1+и, и,ийК. ЗАДАЧИ В задачах этого параграфа считается, что система координат произвольная аффинная. Случай прямоугольной декартовой системы координат оговаривается особо. Уравнения прямой на плоскости 26.1. Написать уравнение прямой: 1) проходящей через точку (3, — 2) параллельно оси Оу; 2) проходящей через точку (7, О) параллельно вектору 1 — 4, 2). 26.2.
Написать уравнение прямой: 1) проходящей через две точки (2, 3) и ( — 4, — 6); 2) проходящей через начало координат и через точку (1, 8). 26.3. Написать уравнение прямой: 1) проходящей через точку (2,3) и имеющей угловой коэффициент, равный — 5; 2) проходящей через точку ( — 2, 7) и имеющей тот же угловой коэффициент, что и прямая Зх+ у — 5 = О.
26.4. Написать уравнение прямой; 1) имеющей угловой коэффициент 3 и отсекающей на оси ординат отрезок, равный 4; 2) отсекающей на осях Ох и Оу отрезки, равные 3 и — 5 соответственно; 3) отсекающей на оси Ох отрезок 3 и проходящей через точку ( — 5, 3). 26.5. Выяснить, под каким углом к оси Ох наклонена прямая, проходящая через точки (1,4) и (3, 5). Система координат прямоугольная. 26.6. Написать уравнения сторон равнобочной трапеции, зная,что основания ее соответственно равны 10 и 6, а боковые стороны образуют с основанием угол в 60'.
Ось Ох содержит большее основание трапеции, за ось Оу берется ось симметрии трапеции, а за положительное направление оси Оу берется на- 236 Глава Ъ'П Прямая на плоскости и плоскость в пространстве правление луча, проведенного от большего основания к меньшему. Система координат прямоугольная. 26.7. Через точку М( — 4,10) провести прямые, отсекающие на осях координат ненулевые отрезки равной длины. Система координат прямоугольная. 26.8. Через точку М(2, — 1) провести прямую, отрезок которой между осями координат делился бы в данной точке пополам. 26.9. Определить площадь треугольника, заключенного между осями координат и прямой х+ 2у — б = О.
Система координат прямоугольная. 26.10. Через точку М(4, — 3) провести прямую так, чтобы площадь треугольника, образованного ею и осями, была равна 3. Система координат прямоугольная. 26.11. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку (5, — 3) параллельно вектору (2, — 4).
26.12. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку ( — б, — 4) и имеющей угловой коэффициент й= — —. э 7' 26.13. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через начало координат и наклоненной к оси ординат под углом в 150'. Система координат прямоугольная. 26.14. Составить параметрические уравнения прямой, отсекающей на осях Ох и Оу отрезки 3 и — 5. 26.15. Составить параметрические уравнения прямых: 1) Зх+ бу+ 5 = 0; 2) у = — Зх+ 5; 3) у = — 3; 4) х — 2у — 4=0; 5) х=2; б) 2х+Зр=О. 26.16. Составить общие уравнения прямых: 1) х = ~, у = 1 — З~; 2) х = 2+ 5~, у = 4 — 7~; 3) х=З вЂ” 2~, у=-8+бй; 4) х=З вЂ” 2й, у=З. 26.17.
Даны две прямые у = й~х+ 5~ и у = йзх+ бз. Найти геометрическое место середин отрезков, высекаемых данными прямыми на прямых, параллельных осям координат. 26.18. Даны вершины треугольника: А( — 2, 3), В(4, — 7), С(б,5). Написать уравнения прямых, равноудаленных от всех вершин треугольника. 26.19. Дан треугольник АВС: А( — 2, 3), В(4,1), С(б, — 5). Написать уравнение медианы треугольника, проведенной из вершины А. 26.20. Даны уравнения двух сторон треугольника 2х — у = О, 326. Составление уравнений по различным заданиям 237 бх — у = 0 и уравнение Зт — у = 0 одной из его медиан. Составить уравнение третьей стороны треугольника, зная, что на ней лежит точка (3, 9), и найти координаты его вершин.
26.21. Дано уравнение х — 2у + 7 = 0 стороны АВ треугольника АВС и уравнения т+ у — 5 = О, 2т + у — 11 = 0 медиан, выходящих из вершин А и В соответственно. Составить уравнения двух других сторон треугольника. 26.22. Через точку Р( — 3, — 5) провести прямую, отрезок которой между прямыми 2т+ Зу — 15 = О, 4х — 5у — 12 = 0 в точке Р делился бы пополам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
