Том 1 (1113039), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Пример 23.1. Дана треугольная призма АВСАгВгСм в которой треугольник АВС вЂ” основание, ААм ВВм СС1 — боковые ребра. Найти координаты точки А1 в системе координат (Вб АСм СВм ВАг). Решение. Координаты точки Аг в указанной системе координат совпадают с координатами вектора В1А1 в базисе АСы СВы ВАв Найдем эти координаты. Имеем (23.1) В1А~ = В|В+ ВАь Для вектора Вг В имеют место следующие разложения: В~В = В~8 Е СВ, В1 В = А1А = А1В + ВА, В1 В = С1С = С1 А + АС. Сложив эти равенства, получим В~Э = — (СгА + А1 В + В~ И) = — — (АС1 + ВА1 + СВ1) .
3 3 Отсюда и из (23.1) следует, что 1 — ~ 1 — ~ 2 В1А~ = — -АС1 — -СВ1 + — ВАм 3 3 3 1 1 2 и, значит, А1(--,— —, -). ° 3' 3' 3 223. Аффннная система координат. Координаты точки 193 Пример 23.2. Дан вектор ОА = (х,у). Найти координаты вектора ОВ, получающегося из вектора ОА поворотом на угол ~с. Система координат прямоугольная.
Решение. Пусть ОВ = (х', у'). Перейдем к новому базису е = ( ем ез), полученному из исходного поворотом на угол ~с. Тогда новые координаты вектора ОВ будут совпадать с координатами (х,у) вектора ОА в старом базисе, поэтому 1 х = хссах — уе1пу, у = хв1пЗо+ усовЗз. ° ЗАДАЧИ В задачах этого параграфа, если не оговорено противное, система координат считается аффинной. Координаты точки 23.1. Дан правильный шестиугольник АВСРЕР.
Найти координаты всех его вершин в системе координат: а) (А; АВ, АЕ); б) (А; АВ, АК), где К вЂ” точка на диагонали АЕ такая, что АК = АВ. 23.2. Даны две смежные вершины А( — 1,3), В(2, — 1) параллелограмма АВСР. Найти две другие его вершины, если известно, что диагонали параллелограмма параллельны осям координат. 23.3. Относительно прямоугольной декартовой системы координат дана точка М(х,у). Найти точку Мп симметричную точке М: а) относительно начала координат; б) относительно оси абсцисс; в) относительно оси ординат; г) относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов; д) относительно биссектрисы второго и четвертого координатных углов.
23.4. Даны три последовательные вершины параллелограмма А( — 2, 1), В(1, 3), С(4, 0). Найти его четвертую вершину Р. 23.5. Даны три последовательные вершины трапеции А( — 1, — 2), В(1,3), С(9,9). Найти четвертую вершину Р этой 7 — 4271 Глава 1 1. Векторная алгебра 194 трапеции, если ее основание АР в полтора раза длиннее основания ВС. 23.6. Даны две точки А( — 3,1) и В(2, — 3). На прямой АВ найти точку М так, чтобы она была расположена по ту же сторону от точки А, что и точка В, и чтобы отрезок АМ был втрое больше отрезка АВ.
23.7. Относительно прямоугольной декартовой системы координат дана точка М(х, у, х). Найти координаты точки Мы симметричной точке М: а) относительно начала координат; б) относительно плоскости Оху; в) относительно оси Ох. 23.8. Относительно прямоугольной декартовой системы координат дана точка М(х,у,х). Найти ее ортогональную проекцию Мо: а) на ось Ох; б) на плоскость Оуг. 23.9.
Дан параллелепипед АВСРА,В1С1Рп Принимая за начало координат вершину А, а векторы АВ, АР и АА1 — за базисные, найти координаты; а) вершин С, В1 и С1; б) точек К и Š— середин ребер А1В1 и СС1 соответственно; в) точек М и М пересечения диагоналей граней А1В1С1Р1 и АВВ1А1 соответственно; г) точки О пересечения диагоналей параллелепипеда. 23.10. Вершина О тетраэдра ОАВС принята за начало координат, а векторы ОА, ОВ, ОС вЂ” за базисные. Найти в этой системе координаты точек пересечения медиан граней тетраэдра. Деление отрезка в отношении 23.11.
Найти координаты точки М, делящей отрезок М|Мз, ограниченный точками М1(2, 3) и Мэ( — 5, 1), в отношении: 1 1 1) Л=2; 2) Л= — —; 3) Л=-4; 4) Л=-. 2' ' 3 23.12. Найти координаты середины отрезка М|Мз в каждом из следующих случаев; 1) М,(2,3), М ( — 4,7); 2) М ( — 2,4), М (2, — 4); 3) М1(0,0), Мх(1,1). 923.
Аффинная система координат. Координаты точки 195 23.13. Один из концов отрезка АВ находится в точке А(2, 3), его серединой служит точка М(1, — 2). Найти другой конец отрезка. 23.14. Даны две точки А(3, 4) и В(2, — 1). Найти точки пересечения прямой АВ с осями координат. 23.15. Найти точку пересечения медиан треугольника с вершинами А(хму1), В(хз, уз), С(тз, уз). 23.16. Даны середины сторон треугольника: М| (2, 4), Мг( — 3,0), Мз(2,1).
Найти его вершины. 23.17. Даны две смежные вершины А( — 4, — 7), В(2, 6) параллелограмма АВСР и точка пересечения его диагоналей М(3, 1). Найти две другие вершины параллелограмма. 23.18. На осях Ох и Оу отложены соответственно отрезки ОА = 8, ОВ = 4. Найти отношение, в котором отрезок АВ делится основанием перпендикуляра, опущенного на прямую АВ из начала координат, Система координат прямоугольная. 23.19. Даны две точки А( — 4,2), В(8, — 7). Найти точки С и Р, делящие отрезок АВ на три равные части. 23.20. Определить координаты концов А и В отрезка, который точками С(2, 2), Р(1, 5) разделен на три равные части. 23.21.
Дана точка А(2,4). Найти точку В при условии, что точка С пересечения прямой АВ с осью ординат делит отрезок АВ в отношении —, а точка Р пересечения прямой АВ с осью 2 абсцисс делит отрезок АВ в отношении — 1. з 23.22. Даны две точки А(9, -1) и В~ — 2, 6). В каком отношении делит отрезок АВ точка С пересечения прямой АВ с биссектрисой второго и четвертого координатных углов? 23.23. Найти точки А и В, зная, что точка С( — 5,4) делит отрезок АВ в отношении 4, а точка Р(б, — 5) — в отношении з. з 2 23.24. На сторонах АВ и АС треугольника АВС взяты соответственно точки М и Ж так, что (АВМ) = д, (АСМ) = и. Точку пересечения отрезков ВЮ и СМ обозначим через О. Найти отношения (В%О) и (СМО).
23.25. Применяя результат предыдущей задачи при р = и = 1, доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке. 23.26. Вершина А параллелограмма АВСР соединена с серединой М стороны ВС, а вершина  — с точкой Х, лежащей на стороне СР и отстоящей от точки Р на расстоянии, равном Глава [Г1. Векторная алгебра 196 з стороны СВ. В каких отношениях делятся отрезки АМ и Вй1 точкой К их пересечения? 23.27. Найти центр круга, вписанного в треугольник с вершинами А(9, 2), В(0, 20), С( — 15, — 10).
Система координат прямоугольная. 23.28. Найти точку пересечения общих касательных двух окружностей, центры которых совпадают с точками С~(2, 5) и Сг( —, — ), а радиусы соответственно равны 3 и 7. Система коорзз з~ динат прямоугольная. 23.29. Найти координаты точки, делящей отрезок М~Мз, ограниченный точками М~( — 3, 2,4) и Мз(6,0, 1), в отношении: 3 1 1) Л=2; 2) Л= — —; 3) Л=-; 4) Л= — 3. 23.30. На прямой, проходящей через точки М~(1,2,4) и Мз(-1, 4, 3), найти точку, лежащую в плоскости Охх.
23.31. Отрезок АВ разделен на пять равных частей; известны первая точка деления С(3, — 5,7) и последняя Е( — 2,4, — 8). Определить координаты концов отрезка и остальных точек деления. 23.32. Даны две вершины треугольника А( — 4, — 1,2) и В(З, 5, — 16). Найти третью вершину С, зная, что середина стороны АС лежит на оси Оу, а середина стороны ВС вЂ” на плоскости Охв.
23.33. Найти отношение, в котором каждая из координатных плоскостей делит отрезок АВ, ограниченный точками А(2, — 1, 7) и В(4, 5, — 2). 23.34. Даны две прямые: одна из них проходит через точки А( — 3, 5, 15) и В(0, О, 7), а другая — через точки С(2, — 1, 4) и В(4, — 3,0). Выяснить, пересекаются ли эти прямые, и если пересекаются, то найти точку их пересечения. 23.35. Даны две точки А(8, — 6,7) и В( — 20,15,10). Установить, пересекает ли прямая АВ какую-нибудь из осей координат. Преобразование координат 23.36. Найти новые координаты точек А(2,3), В( — 5,4), С(0,2) в системе, полученной переносом данной аффинной системы координат, если за новое начало координат принимается точка О'(7, — 1).
23.37. В аффинной системе координат задана точка М(2, 5). ~23. Аффинная система координат. Координаты точки 197 После переноса она имеет координаты ( — 4, 7). Найти старые координаты нового начала О' и новых базисных векторов е1, е~, а также новые координаты старого начала О и старых базисных векторов ем ез. 23.38.
Новая система координат получена поворотом некоторой прямоугольной декартовой системы координат на угол а = 60'. Координаты точек А(2ъ'3, — 4), В(~/3,0) и О(0, — 2~/3) определены в новой системе. Вычислить координаты этих же точек в старой системе координат. 23.39. В некоторой прямоугольной декартовой системе координат даны точки М(3,1), 57( — 1,5) и Р(-3, — 1). Найти их координаты в новой системе, полученной из исходной поворотом на угол о = — 45~. 23.40. Даны две прямоугольные системы координат.
Начало новой системы находится в точке О'( — 4, 2); угол от положительного направления оси Ох до положительного направления оси О'х' равен з; системы одинаково ориентированы. Найти выражение старых координат произвольной точки плоскости через ее новые координаты. 23.41. Новая система координат получена из старой переносом начала в точку О'(3, — 4) и поворотом на угол а такой,что сова = Я, ьйпа = — —.
По отношению к исходной системе координат дана точка А(б, — 2). Найти ее координаты в новой системе. Системы координат прямоугольные. 23.42. На плоскости даны две прямоугольные системы координат (О; ем ез) и (О', е'„е2). Вторая система координат получена из первой поворотом вокруг точки А на угол ~р в направленяи кратчайшего поворота от е1 к ез. Найти координаты (х, у) точки в первой системе координат, если известны ее координаты (х', у') во второй системе координат и, кроме того: 1) А(1, 1), ~р = 45', 2) А(2, 4), ~р = 180', З) А(З, О), ~р = бО', 4) А( — 2, 2), р = 90'. 23.43. Даны две точки А(2,1) и В(5,5).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
