Том 1 (1113039), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Для каждого значения параметра Л исследовать и решить системы уравнений. Лх+ (Л вЂ” 2)у = — 2Л, )' Лх+ Зу = Л вЂ” 2, х+2у=Л+5. ' ' ) Зх+Лу=1. 19.7. Выяснить, является ли вектор Ь = (1,2,...,и) е К" линейной комбинацией векторов а1, ао,..., а„Е К" вида: а) а1 = (1,1,1,...,1), б) а1 = (1,1,...,1), ао = (1, 2, 4,..., 2" 1), ао = (О, 1,..., 1), а„= (1,и,пз,...,ип 1); а„= (0,0,...,1).
19.8. Доказать, что любой многочлен степени п однозначно определяется своими значениями при и + 1 различных значениях переменной, т.е. показать, что для произвольных различных между собой чисел 1о,1м...,1„е К и произвольных чисел ао,а1,...,а„е К существует и притом только один многочлен Я) степени не выше п, для которого Дй) = а„1 = О,п. 2х — у+Зх=9, 19.1. Зх — 5у+ х = — 4, 4х — 7у+ х = 5. Зх+2у+ х = 5, 19.3. 2х+ Зу+ х = 1, 2х + у + Зх = 11. х+у+2х= — 1, 19.2.
2х — у+ 2х = 3, 4х+у+ 4х = — 3. х+ 2у+ 4х = 31, 19.4. 5х+ у+2х =29, Зх — у+ х = 10. Я9. Системы с квадратной невырожденной матрнцей 163 19.9. Пользуясь предыдущей задачей, доказать эквивалентность следующих двух определений равенства многочленов от одной переменной с действительными коэффициентами: а) два многочлена называются равными, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях переменной; 6) два многочлена называются равными, если их значения совпадают при каждом значении переменной. 19.10. Найти многочлен 1(л) второй степени, если известно, что г"(1) = — 1, г" ( — 1) = 9, Д2) = — 3.
19.11. Найти многочлен ДЬ) третьей степени, если известно, что У(-1) = 0, У(1) = 4, У(г) = 3, У(3) = 16. 19.12. Доказать, что любой многочлен г(~) степени и однозначно определяется своим значением и значениями всех своих производных до порядка и при некотором Ь = 1о, т.е. показать, что для любых чисел ао, ам аг,..., а„Е К существует и притом только один многочлен ~(1) степени не выше и, для которого У(1о) = ао Х'(~о) = ам Ун(1о) = аг,, Убй(1о) = ав. 19.13. Доказать, что, каковы бы ни были числа 101г, ао, ам , аа-ы Ьо Е К (1л ф лг), существует и притом единственный многочлен Д(1) степени не выше и такой, что У(11) = ао, ~'(гл) = аы..., УЬ' 0(1л) = а — и Д1г) = Ьо. 19.14. Доказать, что, каковы бы ни были числа Гы лг, ао, аы .,амЬо, 60,6~ Е К (1л ~ 1г; Й + 1 = и — 1), существует и притом единственный многочлен Г"(1) степени не выше и такой, что 1(лл) = ао 1~(лл) = аы..., г ~"~(гл) = аы г (гг) = Ьо У (1г) = Ьы..., г ~')(лг) = Ьь 19.15.
Доказать, что равенства АЬ|=смАЬг=сг,...,АЬ, =с в которых вектор-столбцы Ьы Ьг,..., Ь„е К""' линейно независимы, а вектор-столбцы сы сг,..., с„е К~»' произвольны, определяют и притом единственным образом матрицу А 6 К 19.16. Доказать, что для любой линейно независимой системы матриц Вы Вг,...,В„2 6 К"»" и чисел амаг,...,а„г Е К существует и притом единственная квадратная матрица А порядка п такая, что выполнены соотношения сг(АВь) = аы й = 1,пг. 19.17. Доказать, что система < Ьх+ау=с, ох+ аз =ь, су+ Ьз = а. имеет единственное решение, если аьс ф О, и найти зто решение.
19.18. Доказать, что система ах1+ Ьхг + схз+ дх4 = О, Ьх1 — ахг+Ихз — сха =О, ст1 — ахг — ахз+ Ьх4 = О, ахз+ схг — Ьхз — ах4 =О. имеет единственное решение, если действительные параметры а, Ь, с, Н не все равны нулю. Решить следующие системы уравнений. 1, Ь, ь2 хз+ хг+... + х„ азхз+ агхг+... + а„х„ а1х, + агхг+ . + а„х„ 2 2 2 19. 19. Ь" где ам аз,..., а„Е К попарно различны. х1+ а1хг+...
+а", х„=ьы 19.20. х1+ агхг+ . + аг х„= Ьг х1+ а„хг +... + а„х„= Ь„, и — 1 где аы а2,..., а„б К попарно различны. ь, Ь2~ Ьз> х~ + хг+ ° + хв а1х1+ агхг+...+ а„х„ а1х1+ агхг+... + а„х„ 2 г 19.21. Ь„, а1 х1+аг хг+...+а„" 'х„ где аы аг,..., а„Е Я попарно различны. 164 Глава К Системы линейных алгебраических уравнений д19. Системы с квадратной невырожденной матрицей 165 х1+ хг+...+ х„+1=0, 2х1+ 2гхг+...
+ 2"х„+ 1=0, 19.22 пх1+пгхг+...+и"х +1=0. ахг+ахг+... +ах„1+ Ьх„=с„, 19 23 ах1+ охг+ .. ° + Ьхв — 1+ ахь = ~п — г Ьх1+ ахг +... + ах„г + ах„= сы где (а — 6) (Ь + (п — 1)а) ф О. хв х1 хг + +...+ 61 — а1 61 — аг х1 хг + + + Ьг — а1 Ьг — аг Ь1 — а„ хв 19. 24. х1 хг ха + +...+ " =1, ܄— а1 ܄— аг ܄— а„ где аыаг,...,а„,ЬыЬг,...,Ь„Е К попарно различны.
19.25. Пользуясь правилом Крамера, вывести для и-й производной функции П~) =— д«) ь«) формулу 0 ... 0 д«) о ... о д«) ь«) ... о д"«) ь«) 0 ь'«) ь«) У( )«)-, Ьа«) 2Ь'«) (ь«)) + ЬОО«) С'Ь~"-О«) СгЫ"-г>«) ... Ь«) доо«) 19.26. Доказать, что если система Ах = Ь с квадратной вырожденной матрицей А совместна, то в формулах правила Крамера; )А;( = О, г = 1, и. 19.27. Пусть Ах = Ь вЂ” система с квадратной матрицей А и-го порядка и гяА = и — 1. Доказать, что если в формулах правила Крамера ~А;~ = О, г = 1, и, то система совместна.
Верно ли утверждение этой задачи в случае, если гя А ( и — 1? 166 Глава 1г. Системы линейных алгебраических уравнений $20. Системы общего вида Совместность системы. Пусть Ах = Ь (20. 1) — система общего вида и А = (а„) е 11 "". Составим матрицу В, приписав к матрице А столбец свободных членов: В = [А[Ь). Матрица В называется расширенной матрицгй системы (20.1). Теорема 20.1 (теорема Кронекера-Капелли).
Сивпгема линейных алгебраических уравнений совмвстпна тогда и гавяькв тогда, когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы. Схема исследования совместной системы. Пусть система уравнений аыхл +... + ал х„+ акемх эл +... + ал х = Ьы аглхг +... + а„х + ап,элх лл +... + а„„х„м Ь„ а лхл+...+а„,„х,+а хэлх,э1-1-...+а,„„х„=Ь совместна и гй А = гй В = т.
Схема исследования системы (*) состоит в следующем. 1. Выбирается базисный лгинор матрицы А. Не нарушая общности рассуждений, будем считать, что базисный минор матрицы А находится аленом верхнем углу, так что ам .. ал, ~0. ал .. а„ 2. Рассматривается укороченная система из первых г уравнений системы (э), т.е. из уравнений, коэффициенты которых входят в базисный ллииор: < аыхл +... + амх„+ ал, эгх +л +... + а|„х„= Ьл, (лл) а лхг+...+а, х +а,,+лх+л+...+а х =Ь,, Теорема 20.2. Укороченная система (э*) эквивалентна системе 3. Если г = и, то система (г*) имеет единственное решение как система с квадратной невырождеиной матрицей.
4. Пусть г ( и. Неизвестные хы, х„коэффициенты при которых входят в базисный минор, называются главными, а остальные неизвестные х,+л,..., х — свободными. Теорема 20.3. Придавая свободным неизвестным произвольные значения и вычисляя вначенил главных неизвестных из системы (гг), моэкно получить все решения системы (**) .
Изложенная схема дает правило, которое позволяет получить любое решение системы (**), а следовательно, и произвольной совместной системы линейных алгебраических уравнений. Теорема 20.4. Система аяггбраичсски урлвнений сп неизвесгпными имеет единственное решение тогда и только тогда, когда гй А = гя В = и. 920. Системы общего вида 1б7 Общее решение системы.
Чтобы описать множество всех решений неопределенной системы, можно решить систему (**) относительно главных неизвестных: *г = уг(х .ы,...,х„) (20.2) *. = 7,(*„,...,*.), где 7ь..., 7„— некоторые однозначно (в силу теоремы 19.1) определяемые нз (**) функции, Соотношения (20.2) прн произвольных з,+ы...,з описывают множество всех решений системы н называются общим решением системы. В отлнчне от общего, конкретное решение х = (сы ..., с„), где с„1 = 1, о,— т известные числа, называется частным решением.
Однородные системы. Система линейных алгебраических уравнений с нулевой правой частью называется однородное. Однородная снстема заведомо нмеег решение (О,...,0)т, называемое три виальньоа. Теорема 20.б. Одиораднал сисгаема с п неизвестными имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда гя А ( п. Теорема 20.6. Однородная система с квадратной матрицей имеет нетривиавьнве решение тогда и только тогда, когда ~А) = О. ЗАДАЧИ 20.1. Рассматривается система и линейных алгебраических уравнений с и неизвестными Ах=5. Указать все утверждения из приведенных ниже, равносильные невырожденности матрицы А.
1. Для любого Ь система имеет хотя бы одно решение. 2. Для некоторого Ь система имеет хотя бы одно решение. 3. Для любого Ь система имеет не более одного решения. 4. Для некоторого Ь система имеет не более одного решения. 5. Для любого Ь система имеет единственное решение. б. Для некоторого Ь система имеет единственное решение. 20.2. Что можно сказать о матрице А е К™хп, т ~ п, если система Ах = Ь совместна при любом Ь? 20.2.1. Что можно сказать о матрице А Е К"'"", если система Ах = Ь имеет единственное решение при любом Ь? 20.3. Привести пример матрицы А Е Кз" б, для которой система уравнений Ах = Ь совместна при любом Ь.
20.4. Привести пример матрицы А е Кз "з: а) ранга 1, б) ранга 2, для которой все три системы уравнений Ах =е,, г= 1,3, не имеют решений (е, — единичные вектор-столбцы из Кз). 168 Глава г'. Системы линейных алгебраических уравнений 20.5. Доказать, что для любой вырожденной матрицы А и любой нулевой матрицы О подходящих размеров существует ненулевая матрица В такая, что: а) АВ = О; б) ВА = О.
20.6. Доказать, что для того, чтобы система линейных урав- нений с числом уравнений, на единицу большим числа неизвест- ных, была совместна, необходимо (но, вообще говоря, не доста- точно), чтобы определитель расширенной матрицы был равен нулю. Показать, что это условие будет также и достаточным, если ранг основной матрицы системы равен числу неизвестных. 20.7. Доказать, что если столбцы основной матрицы систе- мы линейно независимы, то эта система имеет не более одного решения. 20.8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
