Том 1 (1113039), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Доказать, что в пространстве п — 1 раз дифферен- цируемых функций одной переменной векторы ~~(х),..., ~„(х) линейно независимы, если существует такое число а е К, что их вронскиан бег(1,'~ (а)) отличен от нуля. Верно ли обратное 0-0 утверждение? 136 Глава Г(т.
Введение в теорию линейных пространств ~16. Ранг матрицы Рангом ненулевой матрицы называется максимальный порядок ненулевых лтиноров этой матрицы. Ранг нулевой матрицы по определению считается равным нулю. Обозначение: тдА. Очевидно, что если А й й "", то гдА < ппп(т,п). Матрица, ранг которой равен числу строк (столбцов), называется матриией полного ранга по числу стпрок (столбцов).
Пусть гд А = т > а Любой ненулевой минор т-го порядка этой матрицы называется базисным минором, а строки и столбцы, в которых раоположен базисный минор, — баэисньсми строками и столбцами, Теорема 16.1 (о базисном миноре). Базисные строки (столбцы) линейно независимы. Любая строка (столбец) матрицы явллетсл линейной комбинацией ее базисных строк (столбцов). Следствие 1 (необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя).
Определитель матрицы равен нулю тогда и только тогда, когда какал-либо ее строка (столбец) лвллетсл линейной комбинацией других ее строк (столбцов). Теорема 1В.2. Если в линейкам пространстве ббльшал система векторов линейно выражается через мсныиую, то большая систпема линейно зависима.
Теорема 16.3. Ранг матприцы равен максимальному числу ее линейно независимых строк (столбцов). Следствие 2. гдА = тд А Теорема 1В.4. Если все строки (столбцы) матрицы А линейно выражаются через строки (столбцы) матрицы В, то гд А < гд В. Теорема 16 б. Ранг произведения матриц не превосходитл рангов сомножителей. Теорема 16.6. Ранг.матлрицы не иэлтеняетпсл при умножении ее на невыроэкденную матрицу. Теорем а 16.7. Элементарные преобразования матрицы не изменяют ее ранга. Теорема 16.В. Ранг матрицы не изменится, если иэ системы ее строк (столбцов) вычеркнуть или к ней приписать строку (соответственно столбец), которая лвллетпся линейной комбинацией других строк (соответпственно столбцов).
Метод Гаусса вычисления ранга. Теоретическую основу этого метода для вычисления ранга матрицы (см. З7) составляют следующие факты: — ранг верхней (нижней) трапециевидной матрицы равен количеству ее ненулевых строк (соответственно столбцов); — элементарные преобразования матрицы не изменяют ее ранга; — любая матрица элементарными преобразованиями строк и столбцов приводится к трапециевидной форме. Метод Гаусса вычисления ранга матрицы состоит в приведении этой матрицы элементарными преобразованиями к верхней (нижней) трапециевидной форме и подсчете ее ненулевых строк (столбцов).
Как следует из теоремы 3.1, элементарными преобразованиями только строк (столбцов) матрицы ее можно привести к верхней (соответственно нижней) ступенчатой форме. Так как ранг верхней (нижней) ступенчатой матрицы также равен количеству ее ненулевых строк (соответственно столбцов), то часто в методе Гаусса вычисления ранга матргпу приводят лишь к 316.
Ранг матрицы ступенчатой форме. Матрицы А, В б К "" называются эквиволентпнылли, если существуют невырожденные матрицы Р и 1в' такие, что выполнено равенство А = РВС4. Обозначение: А В. Т е о р е м а 16.9. Эквивалентность матриц является отношением эквивалентности на лсноэкестве матриц Ж Теорема 16.16. Любая ненулевая матрица А Е К "" рант т эквивалентна матрице 1 Е К "" вида (здесь все элементы, кроме первых т диагональных элементов, равных единице, равны нулю). Теорема 16 11.
Две матрицы А, В Е К "" эквивалентны тогда и только тогда, когда их ранги совпадаюгп. Пример 16.1. Найти ранг матрицы Р е ш е н и е. Для вычисления гй А воспользуемся методом Гаусса: 1 4 3 1 2 вычтем из 4-йстроки1-ю 1 строки ( 3 2 7 1 О ную 1-ю, а из 2-й — удво- 1 9 4 3 3 енную 2-ю строку ! 1 4 3 1 2 из 3-й строки вычтем 1 4 3 1 2 Π— 5 — 1 — 2 — 1 удвоенную 2-ю стра- Π— 5 -1 — 2 — 1 Π— 10 — 2 — 2 — 6 ку, а к 4-й строке при- О О О 2 — 4 О 5 1 2 1 бавим 2-ю строку О О О О О В последней верхней ступенчатой матрице — три ненулевые строки, и следовательно, гй А = 3. ° Пример 16.2.
Найти ранг матрицы А в зависимости от значения параметра Л: А= 1 Л 1 Решение. Воспользуемся методом Гаусса: Г переставим 1 (1 1 Л1 ( вычтем из 2-й строки 1-ю 1 А ~ 1-ю и 3-ю ~-ч 1 Л 1 л строку, а из 3-й — 1-юстро- ) -~ строки Л 1 1 ку, умноженную на Л ! л л О Л вЂ” 1 1 — Л Г прибавя к 3 1 - О Л вЂ” 1 1 — Л =А,.
О1-Л1-Лг~ 16 "р''2 З ~О О (2+Л1(1-Л1 ~ 138 Глава Лг. Введение в теорию линейных пространств Если Л = 1, то Ая= О 0 0 и гй А = гй Аг = 1. Если Л ф 1, то вторую и третью строки матрицы Ая можно разделить на Л вЂ” 1, так что Ая — я 0 1 — 1 Ранг последней матрицы равен 2, если Л = — 2, и равен 3, если Л ф — 2. Таким образом, гйА = 1 при Л = 1, гй А = 2 при Л = — 2 и гй А = 3 при всех остальных значениях Л. ° Пример 16.3. Установить, является ли следующая система векторов линейно зависимой: ая = (1,0,2,1,3,7), аг = (2, 1,0,3,1,1), аз = (1,2,3, 0,2,4), ая = (5,6,4,5,3,3).
Р е ш е н и е. Составим матрицу, строками которой являются данные векторы: 1 0 2 1 3 7 В силу теоремы о базисном миноре строки матрицы А, а следовательно, и заданные векторы, будут линейно зависимы тогда и только тогда, когда ранг матрицы А меньше числа ее строк, т.е. гй А ( 4. Для вычисления ранга А воспользуемся методом Гаусса: вычтем из 3-й строки 1 0 2 1 3 7 удвоенную 2-ю строку, а 0 1 — 4 1 — 5 — 13 из 4-й — 2-ю строку, умно- 0 0 9 — 3 9 23 женную на 6 0 0 18 -6 18 46 Ранг последней матрицы, очевидно, равен трем. Таким образом, векторы ам аг, аг, ая линейно зависимы. ° 3 А Д А 'Х И 16.1. Известно, что в матрице А существует ненулевой минор г-го порядка, а все миноры (г + 1)-го порядка равны нулю.
Доказать, что ги А = г. вычтем из 2-й строки удвоенную 1-ю строку, из 3-й строки — 1-ю строку, а из 4-й строки — 1-ю строку, умноженную на 5 1 0 2 1 3 7 01 — 4 1 — 5 — 13 0 2 1 — 1 — 1 — 3 О 6 -6 0 -12 -32 у16. Ранг матрицы 139 16.2.
Известно, что в матрице А Е К'""" все миноры порядка г с пнп(т, п), кроме одного, равны нулю. Доказать, что гб А= г. 16.3. Известно, что в матрице А е К "" не более, чем г, миноров порядка г ( пинает, и) отличны от нуля. Доказать, что г8А = г. Вычислить ранг следующих матриц.
3 1 — 1 — 9 5 2 1 — 3 1 4 3 — 2 37 259 481 407 19 133 247 209 25 175 325 275 16.4. [ 16.5. — 3 — 1 б — 3 1 4 3 5 -7 — 8 4 15 1187 401 388 166 16.6. 153 — 998 557 — 23 .16.7. 731 233 — 1303 47 16.8. 3 -14 -21 -12 8 14 б б 7 18 — 4 — 35 16.9. Вычислить ранг следующих матриц в зависимости от значения параметра Л.
3 1 1 4 Л 4 10 1 1 7 17 3 2 2 4 3 Л вЂ” 1 2 — 1 Л 5 10 — 6 1 16. 11. 16.10 1 Л 1 — 4 2 Л Л вЂ” 1 — 2 4 б 1 1 — Л вЂ” 1 2 — 2 1 — 1— 2 — 2 1 1 Л вЂ” 1 — 1 2 — Л 2 — 2 — 2 — Л 16.12. . 16.13. Л 1 1 Л 1 1 1 1 — 1 — 1 — 1 -1 — Л вЂ” 1 — 1 — Л ~1 — Л 1 — 2Л1 0 3 0 0 — 4 7 3 3 4 3 0 0 0 — 5 0 3 0 2 1 0 3 9 21 — 12 — б — 12 б — 3 — 9 18 15 б — 2 2 — 1 б — 2 0 — б 0 3 0 — 1 4 2 0 б — 1 0 4 2 0 5 2 — 12 3 7 9 140 Глава 1Ъ'. Введение в теорию линейных пространств 16.16. Доказать, что матрица а1 а2 аП вЂ” 1 а2 ай — 1 2 2 ° ° ° 2 1 аь аь2 ...
а"„ в которой Й < и, является матрицей полного ранга тогда и только тогда, когда числа а1, а2,..., аь различны. 16.17. Доказать, что в любых й линейно независимых строках (столбцах) матрицы найдется ненулевой минор порядка к. 16.18. В матрице ранга г взяты г линейно независимых строк. Являются ли они базисными строками? 16.19. Минор Мь+1 ()с+ 1)-го порядка называется окаймляющим минор Мь Й-го порядка, если Мь получается из Мь+1 вычеркиванием одной строки и одного столбца. Доказать, что если в матрице А существует ненулевой минор М, г-го порядка, а все окаймляющие его миноры равны нулю, то гй А = г (метод окаймления миноров). 16.20. Матрица А = (а, ) е К"'"" называется матрицей с диагональным преобладанием, если (а )) ~ ~а1 (, 2 =1т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
