Том 1 (1113039), страница 21
Текст из файла (страница 21)
11. Множество функций, монотонных на [а, 6]. 12. Множество функций, принимающих конечное число значений на [а, Ь]. 13. Множество функций, обращающихся в тождественный нуль в некоторых окрестностях точек а и 6, 14.10. Найти ошибку в следующем "доказательстве" того, что аксиома 1 а = а Ча Е Р' вытекает из других аксиом линейного пространства: "Пусть а = стЬ, тогда 1 а = 1(свЬ) = (1 ст)Ь = стЬ = 14.11.
Привести пример множества М, для которого выполнены все аксиомы линейного пространства, кроме аксиомы: 1 а = а эа е М. В чем состоит значение этой аксиомы в определении линейного пространства? 14.12. Доказать, что коммутативность сложения векторов вытекает из остальных аксиом линейного пространства. 915.
Линейная зависимость Линейная комбинация векторов называется тривиальной, если все ее коэффициенты равны нулю, н нетривиальной, если среди коэффициентов этой комбинации хотя бы один отличен от нуля. Система векторов ом ат, ..., вь называется линейно зависимой, если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная нулевому вектору, т.е. если существуют числа ам ам..., оь, одновременно не 315. Линейная зависимость равные нулю, такие, что агат + агат +...
+ агаь = д, (15.1) и линейно независимой, если нулевому вектору равна только тривиальная линейная комбинация этих векторов,те. если из равенства (15.1) следует, что от =аз=...=аз=О. Т е о р е м а 15.1. Система иэ одного вектора линейно зависима тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой.
Теорема 15.2. Систпема векторов ат,аг,..., аг, где тг > 1, линейно зависима тогда и только тогда, хогда тотал бы один иэ вектпоров этой системы линейно выражается ~срез другие. Теорема 15.3. Если подсистема систпемы векторов линейно зависима, то и всл система линейно зависима. Т е о р е м а 15.4. Любая подсистпгма линейно независимой системы ескторое линейно независима. Теорема 15.5.
Система вехторов ам аз,...,аг линейно независима тттогда и тттштьхо тпогда, когда любой еехтпор, лелхющийсл линейной комбинацией этих векторов, имеетп единстпвеннос разложение по этим векторам. Теорема 15.6. Если система векторов ат, аг,...,аь линейно независима, а система ат, аг,..., аы б линейно зависима, то вектор б линейно выражается через векторы ат, аг,..., аг. П рихтер 15.1.
Арифметическое пространство К". В арифметическом пространстве К" единичные векторы ет = (1,0,0,...,0), ег = (0,1,0,,0), (15.2) е„= (0,0,0,..., 1) линейно независимы. Это следует из того,что линейная комбинация этих векторов с коэффициентами ат, ог,..., а„представляет собой вектор (ат, аг, ..., а„), который равен нулевому вектору д = (О,..., 0) тогда и только тогда, когда о, = О, т = 1, п. Пример 15.2.
Пространство матриц К "". Матричные единицы Е„й К"'"" (т = 1,т, 1 = 1,п) (см. задачу 1.14) линейно независимы. Это следует из того, что линейная комбинация этих матриц с коэффициентами а,т (т = 1, т, 1 = 1, и) представляет собой матрицу А = (аи) й К"'"", которая равна нулевой матрице тогда и только тогда, когда а„= 0 (т = 1, т, б = 1,п). Пример 15.3. Пространство много членов. Многочлены 1, С Г,..., Г" линейно независимы. Это следует из того, что линейная комбинация этих многочленов с коэффициентами сто, от,..., о представляет собой многочлен 1 " с агг, котоРый Равен нУлевомУ многочленУ тогда и только тогда, когда аь = О, я = О, и. Пример 15.4. Геометрические пространства.
Следующие факты дают геометрическую иллюстрацию понятия линейной зависимости. Теорема 15.7. Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они холлинеарны. 132 Глава Лг. Введение в теорию линейных пространств Следствие 1. Любые два (значит, и более) вектора прямой линейно зависимы.
Теорема 15.8. Три вектора линейно зависимы тогда и тполько тогда, когда они компланарны. Следствие 2, Любые три (значигп, и более) вектора плоскости линейно зависимы. Теорема гб.в. Любые четыре вектора линейно зависимы. По аналогии с геометрическими векторами два вектора линейного пространства называются коллинеарными, если они отличаются лишь числовым множителем. 3 А Д А к1 И 15.1. Доказать, что система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависима. 15.2.
Доказать, что система векторов, два вектора которой различаются скалярным множителем, линейно зависима. 15.3. Доказать, что если три вектора ап аг, аз линейно зависимы и вектор аз не выражается линейно через векторы аг и аг, то векторы а1 и аг различаются между собой лишь числовым множителем. 15.4. Доказать, что упорядоченная система векторов ам аг., ..., аы отличных от нуля, линейно независима тогда и только тогда, когда ни один из этих векторов не выражается линейно через предыдущие. 15.5. Доказать, что если к упорядоченной линейно независимой системе векторов ам аг,..., аь приписать впереди еще один вектор (г, то не более чем один вектор полученной системы будет линейно выражаться через предыдущие. 15.6.
1) Доказать, что ненулевые строки верхней трапециевидной матрицы, т.е. строки аг = (аы,а12,...,ам,а1г-ьм...,а1п), аг =(О, агг,,агг,аг, -им...,агп) а, = (О, О, ...,аг„,ап,+и...,агп), где аьь ~ О, й = 1, г, линейно независимы как векторы пространства К". 2) Доказать то же утверждение для ненулевых строк верхней ступенчатой матрицы. 15.7. Элементарными преобразованиями системы векгпоров называются преобразования следующих типов: а) перестановка Я 5. Линейная зависимость 133 двух векторов системы; б) умножение вектора системы на ненулевое число; в) прибавление к одному вектору системы другого вектора, умноженного на произвольное число Доказать, что линейная зависимость и линейная независимость системы векторов не нарушаются при ее элементарных преобразованиях.
15.8. Доказать, что произвольную систему векторов арифметического пространства элементарными преобразованиями можно привести к системе векторов, образующих строки некоторой верхней ступенчатой матрицы. Как определить, была ли исходная система линейно зависима? 15.9. Доказать, что для любых трех векторов а, 6, с и любых трех чисел о,ф,7 векторы аа —,86, 76 — ос, 8с — 7а линейно зависимы. 15.10. Доказать, что векторы а, 6, с, д линейно зависимы тогда и только тогда, когда линейно зависимы векторы а + 6+ с, а+ Ь+ д, 6+ с+ й, а+ с+ 0. 15.11.
Пусть х, у, г — линейно независимая система векторов. Будут ли линейно независимы следующие системы векторов: а) х, х+у, х+у+г; б) х+у, у+с, г+х; в)х — у,у — х,х — х? 15.12. Найти все значения Л, при которых: а) из линейной независимости системы векторов аы аг следует линейная независимость системы Лог + аг, а~ + Лог, б) из линейной независимости системы векторов ам аг,..., а„ следует линейная независимость системы а~ + аг,аг + аз,..., о„~ + а„, а„+ Ла~ . Выяснить, являются ли следующие системы векторов ариф- метических пространств линейно зависимыми. 15.13.
х~ = ( — 3,1,5), 15.14. х~ = (4,— 12,28), хг = (6,— 2,15). хг = ( — 7,21, — 49). 15.15. х~ = (1,2,3,0), 15.16. х~ = (1,3,4,2,7,8), хг = (2,4,6,1). хг = (2,6,8,6,21,24). 15.17. х~ = (1,2,3), 15.18. х~ = (1,2,3), хг = (2,5,7), хг = (2,5,7), хз = (3 7, 10). хз = (3,7,10+с). 15.19. х~ = (1,2,3), 15.20. х~ = (3,4,1,2,0,0), хг = (4, 5, 6), хг = (6, 8, 2, 4, 1, 3), хз = (7,8,9). хз = (О 0 4,8,2,6). 134 Глава 1Ъ'.
Введение в теорию линейных пространств 15.21. Хз = (1,1,1,1), хг = (1, — 1, — 1, 1), хз = (1, — 1, 1, — 1), х4 = (1,1,— 1,— 1). 15.23. Пусть дана система странства 15.22. х| = (1,1,0,0,0), хг = (1,2,0,0,0), хз = (9,8,7,2,1), х4 = (5, 9,7, 1, 1). векторов арифметического про- х4 = (аы,а4г,...,а1 ), хг = (агн агг,, аг„), Хв = (ав1, авг,, авв), Я где з < п. Доказать, что если )а ( ) ~ ~(а; (, 1 = 1, з, то данная 4=1 (1 — а)(1 — 6), (1 — а)(1 — с), (4 — 6)(1 — с). система векторов линейно независима. 15.24. Если из каждого вектора аы аг,..., аь пространства Ж" исключить компоненты с номерами гп гг,, 1 (1 < 14 < гг « ...
1 < и), получится новая система векторов 6ы 6г,..., 6ь пространства К", которую будем называть укороченной для исходной системы. В свою очередь, исходную систему будем называть удлиненной для системы 6н 6г,..., 6ы Доказать, что любая укороченная система для линейно зависимой системы векторов сама линейно зависима, а любая удлиненная система для линейной независимой системы векторов сама линейно независима. 15.25. Доказать, что в пространстве многочленов всякая конечная система, состоящая из многочленов разных степеней и не содержащая нуля, линейно независима.
15.26. Дана система многочленов 14(1) = 1 — г~, Яг) = 1+г~, 1з(з) = г — 1, 74(з) = 1 + з+ 1 + з . найти линейные комбинации многочленов этой системы: а) 5Л + Л 4Уз' б) 71 + 9Л 4г4 Что можно сказать об исходной системе многочленов? 15.27. Для многочлена, полученного в предыдущей задаче, найти другие разложения по системе ЯЗ), Л(г), 73(г) 14(г). 15.28. Пусть а, 6, с — различные действительные числа. Выяснить, будет ли линейно зависима следующая система много- членов: я15. Линейная зависимость 135 15.29.
Доказать, что матрицы Ам..., Аь пространства К""'" линейно зависимы тогда и только тогда, когда линейно зависимы матрицы Атю..., Ать. 15.30. Доказать, что матрицы Ам..., Аь пространства Кь» линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы для одной невырожденной матрицы В е К" »" линейно зависимы матрицы ВАм..., ВАы 15.31. Пусть А я К""'", 1 = 1, й, и В Е К'»~. Доказать, что матрицы В З Ам В ® Аз,..., В З Аь линейно независимы тогда и только тогда, когда линейно независимы матрицы Ая, Аз,..., Аь и матрица В ненулевая. 15.32. Известно, что невырожденная матрица А такова, что для некоторого й Е И матрицы 1,А,...,А" линейно зависимы.
Доказать, что матрица А ' есть многочлен от А степени не выше 1с — 1. 15.33. Доказать линейную независимость следующих систем функций; а) зшх,совх; б) 1,зшх,созх; в) в!пх,зш2х,...,зшпх (и Е И); г) 1, соз х, сов 2х,, сов пх (и Е И); д) 1, сов х, зш х, соз 2х, вш 2х,..., соя их, зш пх (и Е И); е) 1,зшх,зш х,...,зш" х (и Е И); ж) 1, соз х, сов х,..., соз" х (и е И).
15.34. Доказать линейную независимость систем функций: а) есох еаух еа» (п ~ И) б) х'"~,х'"~,...,х~'" (и Е И), где оы..., а„— попарно различные действительные числа. 15.35. Доказать, что в пространстве функций одной пере- менной векторы 1~(х),..., Д(х) линейно независимы тогда и только тогда, когда существуют числа ам..., а„е К такие, что ое1(Яа,)) ~ О. 15.36.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
