Том 1 (1113039), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Множество всех классов эквивалентности называется дфактор-множе- ством .множества Х по оплношению эквивалентности Е и обозначается символом Х/Е. Внутренним законом композиции (алгебраической операцией) на мно- жестве Х называется отображение *:ХхХ Х, Тот факт, что (а,Ь) л с, записывается символически в виде а * Ь = с. В конкретных случаях вместо символа * используют символы +, —, х,: и др.
Алгебраическая операция * на множестве Х называется. ° коммутатпиеной, если аз 6 = 6*а, Ча,6 е Х, ° ассоциативной, если (а г 6) э с = а *(6 э с), Ча,б,с й Х. Элемент е Е Х называется нейтральным элементом множества Х относительно алгебраической операции *, если Юа Е Х: а*е=е*а=а. Пусть * — алгебраическая операция на множестве Х, обладающая нейтральным элеллентом е. Элемент х называетсл симметричным элементом для элементах е Х, если х*х = х'*х = е. Теорема 12.3. Нейтральный элемент единстаеен. Т е о р е м а 12.4.
Симметричный элемент относительно ассоциативной алгебраической операции единстеен. Говорят, что алгебраическая операция * на множестве Х обладает обратной операцией, если для любых двух элементов а,Ь й Х уравнения а *х = Ь и у э а = 6 имеют единственное решение. Пусть *л и *г — две алгебраические операции на множестве Х. Алгебраическая операция лч называется дистрибутивной справа относительно алгебраической операции лг, если (а *г 6) еч с = (а *л с) *г (Ь лл с), Ча, Ь, с Е Х; Глава 111.
Множества н отображения 112 дистрибутивной слева, если а гг (6*г с) = (а гч Ь) *г (а т с), га, Ь, с й Х, и дистрибутивной, если она дистрибутивна и справа, и слева. Пусть Х и Р— два множества. Внешним законом композиции на мнохсестее Х называется отображение РхХ- Х. Тот факт, что (а, х) ь-~ с, обозначается символом с = ох.
Внешний закон композиции на множестве Х называется дистрифтиеным относительно внутреннего закона композиции г в Х, если о(а * 6) = аа * аЬ, го Е Р, да,6 Е Х. Внешний закон композиции на множестве Х называется дистрибутивным отаноситгльно внутреннего закона композиции *' в Р, если (а г' (3)а = аа * (3а, 'г'а, В Е Р, г'а Е Х. ЗАДАЧИ 12.1. Привести примеры бинарного отношения: а) рефлексивного, симметричного, но не транзитивного; б) рефлексивного, транзитивного, но не симметричного; в) симметричного, транзитивного, но не рефлексивного. 12.2.
Найти ошибку в следующем "доказательстве" того, что рефлексивность бинарного отношения Е вытекает из симметричности и транзитивности: пТак как Я. симметрично, то из хгсу следует, что уГсх. Так как ?с транзитивно, то из х?су и уГсх следует, что х?сх, т.е. Я. рефлексивно." 12.3. Доказать, что любое разбиение множества определяет отношение эквивалентности на этом множестве. 12.4. Пусть 1: Х вЂ” Х вЂ” отображение на некотором множестве Х. Какое условие необходимо и достаточно для того, чтобы бинарное отношение ?с, задаваемое правилом: хЯ,у, если у = Дх), было а) рефлексивным: б) симметричным; в) транзитивным. 12.5.
Рассматривается бинарное отношение Я, на некотором множестве населенных пунктов. Два населенных пункта считаются связанными отношением Е, если либо они совпадают, либо между ними установлено железнодорожное сообщение. Является ли гс отношением эквивалентности? 12.5.1. Рассматривается бинарное отношение Я. на множестве всех жителей земного шара. Два человека считаются свя- Глава 111. Множества и отображения Для каждого из этих правил выяснить, является ли бинарное отношение Я.
рефлексивным, симметричным, транзитивным? 12.11. На множестве матриц К "" задано бинарное отношение И по одному из следующих правил: А%В, если а) существует невырожденная матрица Я Е К " такая, что В = ЯА; б) существуег невырожденная матрица Т е К""" такая, что В = АТ; в) существуют невырожденные матрицы Я Е К " и Т Е К""" такие, что В = БАТ. Доказать, что каждое из этих правил задает отношение эквивалентности.
Найти фактор-множество Я ""/Я,. 12.12. Пусть / — отображение множества Х во множество У. Доказать, что отношение Е, определенное правилом; х~Яхз, если /(х~) = /(хз), является отношением эквивалентности на множестве Х. Найти фактор-множество Х/Я. 12.13. Пусть на плоскости задана прямая 1 и пусть Л. — бинарное отношение, связывающее две точки М~ и Мз по одному из следующих правил; М~'ЕМз, если а) либо точки М~ и Мз совпадают, либо прямая М~Мз параллельна или совпадает с прямой 1; б) отрезок [М~Мз) либо не пересекает прямую 1, либо лежит на ней. Доказать, что в каждом случае Я.
— отношение эквивалентности. Что представляют собой фактор-множества по этим отношениям эквивалентности? 12.14. Пусть р Е М, р > 1. Два целых числа т и и называются сравнимыми по модулю р (т = п(пзоб р)), если при делении на р они дают одинаковые остатки. Пусть на множестве К целых чисел введено бинарное отношение по правилу Е: тбп, если т = п(шеар). Доказать, что Š— отношение эквивалентности. Найти фактор-множество Е/Е. 12.15.
На декартовом произведении множеств У. х И введено бинарное отношение по правилу: (р,п)И(д,т), если рт = дп. Доказать, что оно является отношением эквивалентности. Найти фактор-множество (У. х 1Ч)/Е. 12.16. На множестве дифференцируемых на прямой К функций Р задано бинарное отношение Я. по правилу; /(х)Яд(х), если /'(х) = д'(х), Ух е К. Доказать, что бинарное отношение Я яв- З12. Эквивалентность и алгебраические законы 115 ляется отношением эквивалентности. Найти фактор-множество Р/Я.. 12.17. На множестве всех непустых подмножеств непустого множества Х задано бинарное отношение Я. по одному из следующих правил: ЕЕГ, если а) ЕПГ~о; б) ЕСг.
Для каждого из этих правил выяснить, является ли бинарное отношение И рефлексивным, симметричным, транзитивным? 12.18. На множестве всех подмножеств непустого конечного множества Х задано бинарное отношение Я по правилу: ЕЯГ, если существует биективное отображение 1: Š— Г. Доказать, что отношение Е является отношением эквивалентности и найти соответствующее фактор-множество. 12.19. Для каждого из следующих множеств проверить, являются ли указанные операции алгебраическими. Если да, то выяснить, обладают ли они свойствами (К) коммутативности, (А) ассоциативности, (М) наличия нейтрального элемента, (Я) существования симметричного элемента для каждого элемента множества: 1) сложение, вычитание, умножение и деление чисел на множестве К вещественных чисел; 2) сложение, вычитание, умножение и деление чисел на множестве К 1 (О) ненулевых вещественных чисел; 3) сложение и умножение матриц на множестве всех невы- рожденных матриц п-го порядка; 4) сложение и умножение матриц на множестве невырожденных треугольных матриц (одинакового вида) и-го порядка; а Ь1 5) сложение матриц на множестве матриц вида ~, где 2Ь а ~' а,ЬеК; а Ь) 6) умножение матриц на множестве матриц вида а ~' гдеа,ЬЕЯ,а +Ь~фО; а Ь 7) умножение матриц на множестве матриц вида Ь, где а а,ЬеК; (а Ь1 8) умножение матриц на множестве матриц вида ~ Ь а ~' гдеа,ЬеК,а +Ь~~О; 116 Глава 111.
Множества и отображения а Ь) 9) умножение матриц на множестве матриц вида где а, Ь Е К, аэ + Ьэ ~ 0; 10) коммутатор матриц ~А, В] = А — ВА на множестве квадратных матриц и-го порядка; 11) произведение Йордана матриц А * В = 21АВ + ВА) на множестве квадратных матриц п-го порядка; 12) групповой коммутатор матриц 1А,В) = АВА )В ~ на множестве невырожденных квадратных матриц и-го порядка; 13) произведение отображений на множестве всех отображений множества Х в Х; 14) симметрическая разность А Ь В = (А о В) 1 (А П В) на множестве всех подмножеств некоторого непустого множества Х. 12.20.
Привести пример алгебраической операции, которая коммутативна, но не ассоциативна. 12.21. Привести пример алгебраической операции, которая не ассоциативна, обладает нейтральным элементом, но симметричный элемент не единствен. 12.22. На множестве всех подмножеств множества Х рассматриваются операции объединения и пересечения множеств. Доказать, что обе операции коммутативны, ассоциативны и каждая из них дистрибутнвна относительно другой. Обладают ли этн операции нейтральным элементом и, если да, то для каждого ли подмножества существует симметричный элемент? 12.23. Доказать, что ассоциативная алгебраическая операция на множестве Х обладает обратной операцией тогда и только тогда, когда эта операция имеет нейтральный элемент и для каждого элемента множества Х существует симметричный.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
