Том 1 (1113039), страница 14
Текст из файла (страница 14)
° ЗАДАЧИ 9.1. Привести пример необратимых матриц А и В, дли которых АВ = Г прибавим к 1 3-й строке ( 2-ю Г1 1 0 4 5 — ~~01032 00122 100 010 001 232 312 322 ЗЯ. Обратная матрица 91 Пользуясь присоединенной матрицей, найти обратные для следующих матриц. 9.2.. 9.3... 9.4., а~+ 5~ фО. 9.5. [ 9.Т. [ 9.6 1 — 4 3 2 — 9 1 1 — 5 — 4 ~ 9.8 0 1 1 — 1 — 1 0 1 1 — 1 — 1 0 1 1 — 1 — 1 0 1 1 — 2 ΠΠ— 1 0 2 0 О 1 — 1 0 0 0 — 1 9.9.
9. 10. 1 1 1 Π— 1 2 1 0 2 5 2 О О О 0 2 0 О 0 1 О 0 1 0 О 1 0 2 1 0 2 0 9. 11. 9.12. 9.13. Доказать, что АА = АА = ~А~ 1. 9.14. Доказать, что для любых квадратных матриц А и В порядка и и любого о е И справедливы соотношения: а)аА=а" 'А; б)Ат=Ат; в) АВ = ВА; г) А~ = ~А~" зА, если А~ — — А. 9.15.
Привести пример квадратной матрицы порядка и, присоединенная к которой имеет лишь один ненулевой элемент, расположенный в заданной позиции (1,,1). 9.16. Найти все матрицы А с неотрицательными элементами, для каждой из которых все элементы обратной матрицы А также неотрицательны. 9.17. Пусть А и  — невырожденные матрицы одного порядка.
Доказать, что матрицы А и В перестановочны тогда и только тогда, когда перестановочны матрицы в любой из следующих пар: а)АиВ ', б)А ~иВ; в)А ~иВ ~; г)АиВ. 9.18. Как изменится обратная матрица А ~, если в исходной матрице А: 92 Глава 11. Определители а) переставить 1-ю и ~-ю строки; б) 4-ю строку умножить на число а, не равное нулю; в) к 4-й строке прибавить ~-ю, умноженную на число ~3, или сделать аналогичные элементарные преобразования столбцов? 9.19. Доказать, что обратная матрица для верхней (нижней) треугольной невырожденной матрицы будет треугольной матрицей такого же вида. 9.20.
Доказать, что если В = (Ь; ) — обратная матрица для верхней (нижней) треугольной невырожденной матрицы А = (а, ) порядка и, то элементы главной диагонали матрицы В определяются равенствами Ьа = 1/аи. 1 = 1, и, а остальные элементы находятся из следующих рекуррентных соотношений: а) для элементов 1-й строки верхней треугольной матрицы 1-1 Ь;.
= — а .~ ~ ~Ьгьаьг, 1' =1+1,п; й=г б) для элементов ~-го столбца нижней треугольной матрицы г-1 Ь = — а,, ~ ~а;ьЬьгч г'= у+1,п. ь=г 9.21. Угловым минором Ьь порядка lс квадратной матрицы А е К""" называется ее главный минор, расположенный в строках и столбцах с номерами 1,2,..., й. 1) Доказать, что если в квадратной матрице А угловые миноры Ьм 11г,..., 11„~ отличны от нуля, то А может быть разложена в произведение двух треугольных матриц — левой треугольной 1, и правой треугольной В: А = 1,11.
Это представление матрицы А называется ее треугольным разложением или 1,Л-разложением. 2) Выяснить, единственно ли треугольное разложение. 3) Привести пример квадратной матрицы, не имеющей треугольного разложения. 4) Доказать, что условие отличия от нуля всех угловых миноров 11м Ьг,..., 11„~ 'необходимо для существования треугольного разложения невырожденной матрицы А. 9.22. Построить треугольное разложение следующих матриц: З9. Обратная матрица 93 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 2 3 а);б) 2 3 4;в) 1 — 5 2;г) элементарных преобразований а) 2 7 , б) Применяя метод Гаусса-Жордана, найти обратные для следующих матриц.
9.26. 1 2 — 4 9.22. [ 9.28. [ ΠΠΠ— 1 ΠΠ— 1 О О 1 О О 1 О О О 1 — 3 2 О О 1 — 3 2 О О 1 — 3 О О О 1 9. 29. 9. 30. 1 1 1 1 1 — 1 1 — 1 1 1 — 1 — 1 1 — 1 — 1 1 О О О 1 ΠΠ— 1 2 О 1 — 2 3 — 1 2 — 3 4 9.31. 9.32. О 1 О 1 1 О 1 О О 1 О О ' 9.34. 1 ΠΠΠΠ— 1 — 1 — 1 1 1 1 О 1 1 — 1 О 1 — 1 — 1 О 9. 33. 9.23. Доказать, что квадратную матрицу с помощью элементарных преобразований только строк (только столбцов) можно привести к единичной матрице тогда и только тогда, когда она невырождена. 9.24. Доказать, что всякую невырожденную матрицу можно разложить в произведение матриц элементарных преобразований. 9.25. Разложить указанные матрицы в произведение матриц Глава 11.
Определители 94 Найти обратные для следующих матрицы. см 0 ... 0 0 сз2 ... 0 , ст, ф О, г = 1, о. 9. 35 , ст; ф О, т = 1, и. 9. 36 ст„... 0 0 1 — 1 0...0 0 0 1-1...0 0 0 0 1...0 0 000...11 000...01 0 0 0...1 — 1 0 0 0...0 1 ЛфО. 9.40 9. 39 ООО...Л 1 000...0 Л 0 0 0 ... 1 0 000...а 1 1 2 3 ... п — 1 п 0 1 2 ...
п — 2 и — 1 9.41 0 0 0 ... 1 2 0 0 0 ... 0 1 111... 1 101... 1 110... 1 9.43 9.42 000...1 1 000...0 1 111... 0 "Всюду, где по виду матрицы нельзя узнать ее порядок, предполагается, что порядок равен и. 0 0 ... сзн 0 ... 0 се~ 0 ...от 0 110...00 011...00 001...00 Л10...0 0 ОЛ1...0 0 ООЛ...О 0 111...1 1 011...1 1 001...1 1 100...0 0 а10...0 0 Оа1...0 0 95 з9. Обратная матрица О и — 1 и — 2 ... 3 2 1 и — 1 О О ... О 1 О и — 2 О О ... 1 О О 3 О 1 ... О О О 2 1 О ...
О О О 1 О О ... О О О 9.45. Найти обратную к матрице определителя из задачи 5.59а. 9.46. Доказать, что для невырожденной матрицы О О ... О а1п О О аг,п-1 йгп О Пп — 1,2 ап-1,п — 1 ап-1,п ап1 апг ° ° ап,п-1 апп обратная матрица В = А 1 имеет вид В= Ьп — 11 Ьп 12 ... О О Ьп1 О ... О О 9.47. Вычислить произведения А 'В и ВА 1, если 2 3 5, В= 2 3 4 А= [ Решить матричные уравнения — 3 — 2 1 9.49. Х 2 О 1 1 — 1 — 3 б О 3 9.48. [ Ь ЬАп Ь12 Ьгг Ь „ , Ь,п Ь2, О Глава И.
Определители 96 9.50. Х 2 2 — 1 2 — 1 2 — 1 2 2 ~5 8 — 1~ 9.51. 2 — 1 2 2 1 — 1 3 1 0 = 12-6 14 9.52. 2 4 Х 1 1 1 ... 1 1 0 1 1 ... 1 1 001...11 1аа...аа 01а...аа 001...аа Х= 9.53 000...11 000...01 000...1а 000...01 1 1 1 ... 1 1 0 1 1 ... 1 1 0 0 1 ... 1 1 100...00 110...00 1 1 1 ... 0 0 Х= 9. 54 000...11 000...01 111...10 1 1 1 ...
1 1 мСм. также задачи 2.41, 16.57. 9.55. Доказать, что любую невырожденную матрицу можно сделать вырожденной, изменив в ней ровно один элемент. 9.56. Доказать, что матрица, обратная к симметрической не- вырожденной матрице, также является симметрической. 9.57. Доказать, что матрица, обратная к кососимметрической невырожденной матрице, также является кососимметрической. 9.58. Доказать, что матрица, обратная к ортогональной матрице, также является ортогональной.
9.59. Доказать, что матрица, обратная к матрице перестановок, сама является некоторой матрицей перестановок. 9.60. Доказать,что матрица, обратная к периодической матрице А, также является периодической матрицей, причем ее период совпадает с периодом А. 9.61.'2 Найти все периодические матрицы второго порядка, 99. Обратная матрица 97 у которых: а) период равен трем; 6) период равен четырем. 9.62. Пусть невырожденная матрица А обладает тем свойством, что все ее строчные суммь77з одинаковы и равны числу г. Доказать, что г Э~ О и обратная матрица А 7 обладает тем же свойством, только для нее все строчные суммы равны 17'г. Верно ли аналогичное утверждение для столбцовых сумм? 9.63. Доказать, что обратная к невырожденной стохастической (дважды стохастической) матрице является матрицей, у которой все строчные суммы (соответственно все строчные и столбцовые суммы) равны 1.
Верно ли, что обратная матрица будет стохастической? 9.64. Доказать, что кронекерово произведение невырожденных матриц обратимо, причем (АЗВ) 7=А 2®В 9.65. Пусть А и  — невырожденные матрицы одного порядка. Групповым коммутатором матриц А и В называется матрица (А, В) = АВА 2В Доказать следующие свойства группового коммутатора: а) (аА, В) = (А, В); б) (А, В) ~ = (В, А); в) с1ес(А, В) = 1; г) (А, В) = 1 4=» А и В перестановочны; д) (А, В) = А 4=» А = 1.
9.66. Матрица А, у которой все элементы являются целыми числами, называется целочисленной. Доказать, что обратная к целочисленной матрице А сама является целочисленной матрицей тогда и только тогда, когда деФ А = ~1. 9.67. Пусть А и  — матрицы размера и х т и т х и соответственно. Доказать, что матрица 1„+ АВ обратима тогда и только тогда, когда обратима матрица 1„+ ВА. 9.68. Доказать, что если матрица А нильпотентна, то матрицы 1+ А и 1 — А обратимы. 9.69.
Доказать, что если 1 — А — невырожденная матрица, то а) 1+ А+ А2+ .. + А" = (1 — А"4 2)(1 — А) 6) 1+А+А2+ ..+А" +...=(1 — А) ~з По поводу строчных сумм см. задачу 1.39. 4 — 4271 98 Глава 11. Определители 9 70. Найти матрицу А, если 1+А+А +...+А"+...= ~ 9.71. Пусть В = тут, где х,у — вектор-столбцы одинакового размера п х 1. Доказать, что если д = 1 + х у ф О,то матрица 1 + В обратима и выполнено равенство (1+В) ~ =1 — — В. Р 9.72. Пусть 1„— матрица порядка п, все элементы которой равны 1.
Доказать, что (1 — 1„) ' = 1 — 1„. 9.73. Пусть А и  — квадратные матрицы порядка п, причем А невырождена, а В = тут, где х, у — вектор-столбцы одинакового размера п х 1. Доказать, что если д = 1+ у~А 'х ф О, то матрица А + В обратима и выполнено равенство (А+В) '=А ~ А — — В А 1 Р 9.74. В невырожденной матрице А к элементу ам прибавляется число 6, при этом полученная матрица А также невырождена.
Найти выражение для А ' через и и элементы матрицы А '. 9.75. В невырожденной матрице А ко всем элементам прибавляется одно и то же число Ь, при этом полученная матрица А также невырождена. Найти выражение для А ' через Ь и элементы матрицы А 9.76. Доказать, что матрица, обратная к невырожденной квазидиагональной матрице А, сама является квазидиагональной, причем она имеет такое же клеточное строение, что и А, а ее диагональные блоки обратны к соответствующим диагональным блокам матрицы А. 9.77.
Доказать, что матрица, обратная к невырожденной верхней (нижней) квазитреугольной матрице А, сама является верхней (соответственно нижней) квазитреугольной, причем она имеет такое же клеточное строение, что и А, а ее диагональные блоки обратны к соответствующим диагональным блокам матрицы А. 9.78. Найти обратные для следующих блочных матриц: 99 99. Обратная матрица а) О1 б) ОР,в) СР г) РВ (здесь А и Р— квадратные невырожденные матрицы порядков и и т соответственно, 1„и 1 — единичные матрицы соответствующих порядков, а В и С вЂ” произвольные матрицы подходящих размеров).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
