Том 1 (1113039), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Вычислить определитель квадратной матрицы А порядка и > 2, элементы которой заданы условиями а0 — — Ях ), где х Е И вЂ” произвольные числа, а Я!) — произвольные много- члены степени не выше и — 2. 8.30. Пусть у(2) = сег" + с4Р ' +... + с„— многочлен и-й степени и элементы квадратной матрицы А порядка и + 1 вычисляются по формулам а4 = ! (г) при ! = х + 6(4+ !' — 2), где х и 6 фиксированы. Доказать, что 41е! А ( /~2)п(п4'!)/2(и!се)п+! а1 — Ь1 + х а1 — Ь2 ... а1 — Ь„ а2 — Ь1 а2 — Ь2+ х ... а2 — Ь 8. 37.
аи — Ь1 аи — Ь2 ... аи — Ьи + Х ар4-п — 1 ар+2и-1 Х ар+1 — х ар+и+1 — Х ар — х ар+и — х 8.38. ар+и' 1 — Х ар+и(п — 1) Х ар+и(и-1)+1 Х а1 — ао а1 — ао ... а1 — ао 2 2 п п а2 ае а2 — аО ... а2 — ае 2 2 и п 8.38.1. аи — ао ап — ао ... а,", — ао а и-1 аи аи+1 а2 а3 а — х 4 а а — х 2 а3 а а2 8.39. а п-1 ап оп+1 а2п — 2 х+ а1 х х ...
х х+а2 х ... х х х+аз . х 8.40. Сп-1 Си п и Си-,' О 0 0 1 С1 8.41. 0 О О 0 С2 0 0 0 О О а3 ап-2 оп †аи 1 С„' Си+1 8.42 1 Сп — 1 п Си ' 2п-2 и — 1 С. 1 1 С1 С,' ао а1 1 1 С2 С,' С2 2 Си — 2 а2 1 СЗ С4 СЗ СЗ С„', Глава П. Определители х+оп Си — 2 С" — 2 и-1 С" 2 п — 2 85 38. Смешанные задачи 1 1 ... 1 1 1 1 С~ ... С,п 2 2 2 Ст+, С,„+, ...
С.„.п.„ 8.43. Г~и с~п /тп т+п-1 ' т-~-и ' ' ' ' т+2п — 1 1 1 О 0 ... 0 С21 С2 О ... О СЗ СЗ СЗ 8.44 1 С,', С„' С„' ... Сп-1 г п Г~и гп Ст-1п пИ-и+1 ' ' т+2п г п / п г и Ст+и-~-1 '«т-~-и+2 ' ' т+2п+1 8.45. 8.46. 1 С2п С2п ... С2п Ст+1 Ст+1 ... Ст+1 8. 47 1 Ст-1-и Ст+и ° ° ° Ст1и 1 О 0 ... О 1 1 С 11 0 ... О х 1 С' С2 . О х2 8.48 С1 С2 сп-1 п и и ' и 8.49. Доказать, что определитель квадратной матрицы А порядка и с элементами ся = С1, где и < т, вычисляется по фор- муле 11еС А = тп1п-~1 г'2 8.50. Определитпелем Вронского или еронскианом системы и — 1 раз дифференцируемых функций Ях), Ях),..., Ях) на- Сп„п с„' 1 С„'„ 1 С12 Ги Ст+2п-~1 С2 2 Сп„...
2 Сп„... Сп с„"„ с„"„ Глава 11. Определители 86 зывается определитель Л(х) Д(х) Д'(х) ... 1," (х) й*) ~~'( ) " 1~" "( ) и(Л,Л,...,Л) = 1.(*) У„(*) У„-(.) ... ~(" "(х) б) И вЂ” ', — ',..., —" = — '„И:(Л,Л, .,Дп); о И (Л~ ° ° ~,)п-2~ 1п) И (Л) ° ° ° 11п-з)И'()1~ 11п) д*И'(Л,",У -ъА -)) (И'(Л," Л-1))' 8.54. Доказать, что Л(х) 1)(х) ... ~~1" )(х) 11(")(х) Л(*) а*) " А" "() Л("'(*) И „—,И (Л,Л,,Л) = Вычислить вронскианы следующих систем функций: а) И'(е '*,е '*,...,е "*), где ам...,оп е К произвольны; б) И'(х~), х~',..., х "), где числа ам..., а„е Ж таковы, что ни одно из них не совпадает с числами О, 1,..., и — 2. 8.51.
Доказать, что для любой числовой матрицы А = (а; ) б К""" выполнено соотношение и (~ „д,~„~,,...,~ „;д;)=~ в 1 п)ь,ь,,ь). )=1 1=1 )=1 8.52. Доказать, что для любой и — 1 раз дифференцируемой функции )п(х) имеют место равенства: а) И'() Л,И2," Ип) = Р"И'(11,Б, ",1п)' б) И'(Л(у(х)), Л(у)(х)),..., Я~о(х))) = = (р'(х))"'" "1' И'(ЛЬ) ЛЬ)* " АЬ))~„=,~.) 8.53. Доказать, что имеют место равенства: а) И'(1,Л,1з,,1п) = И'(Л,Уз ",Уп)' 99. Обратная матрица 99.
Обратная матрица Матрица А ' называется обратной к матрице А, если АА '=А 'А=1. Матрица А, для которой существует обратная матрица, называется обратимой. Квадратная матрица А называется вырожденной (особенной), если )А) = О, и неемрожденной (неособенной), если )А) ~ О. Пусть А = (а„) й й""". Матрица Атг Агт А т А Аш Агг ... А г Ат Аг„...
А„„ (9. 1) АА=АА=(А( 1. (9.2) Теорема 9.2 (критерий обратимости). Матрица обратима тогда и тполько тпогда, когда она не еироэкдена, при этом А = — А. )А( (9.3) Теорема 9.3 (о единственности обратной матрицы). Если А — кесдратнол матрица и АВ =! (или ВА = 1), то В = А Пример 9.1. Найти обратную для невырожденной матрицы А=[ Вд]. Решение. Из (9.3) слепует, что А = [ ~. ° 1 Г 6 — В ог Ву~ — У а П р и м е р 9.2. Найти обратные матрицы для матриц элементарных преобразований Р,, Р„Ь, . Решение. Заметим, что матрицы Ро, Р„Ь„невырожденьт: (Р,т~ = -1, ~Р,( = а ф О, ~Ь,т~ = 1.
Использование формулы (9.3) для матриц уже третьего портщка утомительно, так как требует большого объема вычислений, поэтолту поступим следующим образом. Пусть А — одна из матриц элементарных преобразований. Тогда требуется найти матрицу В такую, что АВ = 1 (из теоремы 9.3 следует, что В = А '). Переведем эту задачу на язык элементарных преобразований. Имеем 1 = 1(АВ) = (1А)В. Матрица 1А получена из единичной матрицы 1 элементарным преобразованием столбцов, следовательно, матрица В должна восстановить" лтатрицу 1. Т.е., составленная из алгебраических дополнений А„к элементам аи матрицы А, называется присоединенной (езаилтной) к матрице А.
Т е о р е м а 9.1 (о фальшивом разложении определители). Сумма произведений элгментпое одной строки (столбца) лтатрици на алгебраичесхие дополнения к элементам другой ее строки (соотеетстеенно столбца) раева нулю. Из этой теоремы и теоремы Лапласа еле,пуст, что Глана 1(. Определители если А = Ри, то матрица В должна еще рвз "переставить" 1-й и утй столбцы и, тем самым, Р,.' = Р„ч (9.4) если А = Ьо, то матрица В должна из 1-го столбца 1А "вычесть" узй столбец, умноженный на ГЗ и, тем самым, 1 .
Π— В . 1 1 1 1 3 (9.5) если А = Рн то матрица В должна "разделить" 1-й столбец 1А на о и 1 1/а 1 р- 1 (9.6) ( вычтем из 2-й строки 1-ю ) (1 2 11 А -~ строку, а из 3-й строки -~ О -1 3 Г вычтем из удвоенную 1-ю строку Π— 1 4 1 строки 2-ю ( 1 2 11 ( аычтемиз1-йстрокиЗ-ю) ( 1 2 О 1 -~ ~ О -1 3 ~ -~ ~ строку, а из 2-й строки -~ О -1 О О О 1 утроенную 3-ю строку О О 1 Некоторые снойстна обратной матрицы. 1.
1 ' = 1. 2, (А ~! = 1/(А(. З.(А ') '=А. 4 (Ат)-г (А-г)т 5.(АВ) '=В 'А Теорема 9 4. Произвольная невыроохденная матрица зле ментарными преобразованиями талька строк (только столбцов) моэюет быть приведена х единичной матрице. П р и м е р 9.3. Пользуясь элементарными преобразованиями строк, привести к единичной матрице следующую матрицу А= 1 1 4 Р е ш е н и е. Приведем сначала матрипу А к треугольному виду, а затем аннулируем асе элементы над главной диагональю: 39. Обратная матрица ( прибавим к 1-й строке 1 ~ удвоеную 2-ю строку и 1. ° умножим 2-ю строку на — 1 преобразования строк '/// Я ~АУ (9.7) Аналогично в столбцовом варианте Этот метод вычисления обратной матрицы называется методом Жордана или методам Гаусса-Жордана.
Если в расширенных матрицах (9.7) и (9.8) на место единичной матрицы 1 поставить матрицу В, то вместо матрицы А ' получим в первом случае матрицу А 'В, а во втором — ВА преобразования '(А ГВ) преобразования столбцов ВА Пример 9.4. Применяя метод Гаусса-Жордана, найти обратную матрицу к матрице, заданной в примере 9.3. Р е ш е н и е. Применим все преобразования, выполненные в решении примера 9.3, к расширенной матрице (А(1)/ ! 1211001 Г1 21 1001 Г1 21 1 001 1 1 4 0 1 0~ ~0 — 1 3 — 1 1 0~ ~0 — 1 3 — 1 1 0 2 3 6 О 0 1 0 — 1 4 — 2 0 1 0 0 1 — 1 — 1 1 Г120 2 1 — 11Г1006 9 — 71 ~0-1024-3~~010-2-43~ 0 0 1 — 1 — 1 1 0 0 1 — 1 — 1 1 Таким образом, А'= — 2 -4 3 . ° Длл получения обратной матприцы достатпочно к строк м единичной матрицы 1 применить те преобразования, которые приводят матрицу А к единичной матрице.
Для этого удобно составить расширенную матрицу (А~1) и над строками этой матрицы выполнить те преобразования, которые матрицу А приводят к единичной; тогда на месте матрицы 1 окажется обратная матрица А '. Итак, Глава Е1, Определители 90 Пример 9.5. Найти матрицу Х, удовлетворяющую равенству АХ = В, если А= 0 1 — 1, В= 1 0 1 Решение. Так как матрицы А и В квадратные, то Х = А В. Преоб— 1 разуем расширенную матрицу: ! 1 1 — 20111 Г1 1 — 20111 о 1-1101 -(приб'и '31- о 1-1101 4 1 1 О 1 й строке 1 ю 1 О ! 1 1 -2 0 1 1 1 ( прибавим ко 2-й строке 1 0 1 — 1 1 0 1 — З-ю, а к 1-й строке удво- )— 0 0 1 2 2 2 енную 3-ю строку 51 Г1001321 3!чемз1010323 1 строки 2-ю > О О Таким образом, Х= 3 2 3 .
° Пример 9.6. Найти матриву Х, удовлетворяющую равенству ХА = В для матриц А и В, заданных в примере 9.5. Решение. Так как матрицы А и В квадратные, то Х = ВА '. Преобразуем расширенную матрицу: 1 1 — 2 0 1 — 1 — 1 — 2 4 1 0 0 0 1 — 1 — 1 — 1 2 ( вычтем из 2-го столбца 1 1-й, а к 3-му прибавим удвоенный 1-й столбец — т — т — т 1 0 1 1 1 0 1 1 1-1 3 1 0 2 1 0 0 0 1 0 — 1 -1 1 ( прибавим к — ~ ~ 1-му и 2 му столбцам 3-й (:- прибавим к 1 3-му столбцу ~ — 1 2-й 0 1 2 1 — 1 2 1 0 2 Таким образом, 3 1 2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
