Том 1 (1113039), страница 8
Текст из файла (страница 8)
5.44. Подобрать 1 и 7' такие, что произведение <141112)аб4<1761151 11331112 входит в определитель 7-го порядка со знаком плюс. 5.45. Подобрать 1, у, 14 и 1 такие, что произведение аьбй43а71й12йс11127а64 входит в определитель 7-го порядка со знаком минус. 5.46. Дополнить произведение элементов а1загбаз4а47азб определителя 7-го порядка так, чтобы получить член этого определителя, входящий в него: а) со знаком плюс; 6) со знаком минус. 5.47. Вычислить знак члена определителя па )рг ааг)32 'за„)З ) зная число инверсий в перестановках г21,ог,... йв и 81,132,...13„. Глава 11. Определители Пользу тели.
ыч испит ь определи 0004 ОЬ01 00с1 а111 0084 0063 8642' 4321 о опреде 5.50 5.49 5. 48 5.53 5,52 5.51 а 11 0 0 ... 0 а21 а22 0 ... 0 аз1 аз 2 азз .. 0 5. 55. 5. 54. а„1 о„2 а„з ... а„„ 0 ... 0 0 а1„ 0 ... 0 азр, 1 азв 0 аз,в-2 аз,п — 1 азп 5. 56. а„„2 а„„1 а„„ а„1 0 аз 0 0 0 аз 0 ...
0 а„1 0 О ° ° ° а — 2 о о 0 0 5.58 5.57 а1 ... 0 0 0 0 ... 0 0 а„ 0 0 0 а1 0 0 а„ 0 5.59. Пользуясь только определением, вычислить определители; 1 Х1й 1хь 1ь 1 хь4.1ь 1 созыв... — 54пр . 31пр ... сезар ; б) (в этих определителях все неуказанные внедиагональные элемен- ясь тольк а 3 О 5 0 Ь О 2 1 2 с 3 ' 0 О О д О О О 4 0 0 О 3 0002' 4321 левием, в 1 О О а 2 4 Ь 0 3 с О 5 4 О О О О О 8 4 О О 6 3 О О 4 2 4 3 2 1 аы а12 а21 а22 а 31 а32 а41 а42 а51 а52 а 13 а 14 а 15 а23 а24 а25 0 0 0 0 0 0 0 0 0 35. Простейшие свойства определителя 47 ты равны нулю, а диагональные — единице). 5.60.
Показать, что если в квадратной матрице порядка и более чем и — и элементов равны нулю, то ее определитель равен 2 нулю. 5.61. Доказать, что если в квадратной матрице порядка и на пересечении некоторых 1с строк и 1 столбцов стоят элементы, равные нулю, причем 1+1) и, то ее определитель равен нулю. Исходя только из определения, найти коэффициенты при х их вопр еделителях х 2т 1 1 т 2 3 2 2х 2 1 т х 1 3 2 х х 1 2 1 1 х 1 2х 2 1 т — 1 — 1 1 5.63. 5.62 5.64.
Найти элемент квадратной матрицы порядка и, который а) симметричен элементу а,ь относительно побочной диагонали; б) симметричен элементу а,ь относительно "центра" матрицы. 5.65. Назовем место элемента а,ь четным (нечетным), если сумма г+ 1с четна (соответственно нечетна). Найти число элементов квадратной матрицы порядка п, стоящих на четных и на нечетных местах. 5.66. Доказать, что в каждый член определителя гюрядка п входит четное число элементов его матрицы, занимающих нечетное место, а элементов, занимающих четное место, входит четное число, если п четно, и нечетное число, если и нечетно.
5.66.1. Показать, что определитель кососимметрической матрицы нечетного порядка равен нулю. 5.67. Как изменится определитель порядка п, если первый столбец его матрицы переставить на последнее место, а остальные столбцы передвинуть влево, сохраняя их расположение? 5.68. Как изменится определитель порядка п, если строки его матрицы записать в обратном порядке? 5.69. Как изменится определитель порядка п, если каждый элемент его матрицы заменить элементом, симметричным данному относительно побочной диагонали? 5.70. Как изменится определитель порядка п, если каждый элемент его матрицы заменить элементом, симметричным дан- 48 Глава П. Определители ному относительно "центра" матрицы? 5.71. Как изменится определитель квадратной матрицы А = (а, ) порядка и, если каждый ее элемент а, умножить на с' ~, где с ф О? 5.72.
Доказать, что определитель порядка и не изменится, если изменить знак всех элементов его матрицы на нечетных местах; если же изменить знак всех элементов матрицы на четных местах, то ее определитель не изменится, если и четно, и изменит знак, если и нечетно.
5.73. Доказать, что определитель матрицы не изменится, если: а) к каждой ее строке, кроме последней, прибавить последующую строку; б) к каждому ее столбцу, начиная со второго, прибавить предыдущий столбец; в) из каждой ее строки, кроме последней, вычесть все последующие строки; г) к каждому ее столбцу, начиная со второго, прибавить все предыдущие столбцы. 5.74. Как изменится определитель матрицы, если из каждой ее строки, кроме последней, вычесть последующую строку, а из последней строки вычесть исходную первую строку? 5.75. Как изменится определитель матрицы, если к каждому ее столбцу, начиная со второго, прибавить предыдущий столбец и в то же время к первому прибавить исходный последний столбец? 5.76.
Как изменится определитель порядка и, если его матрицу повернуть на 90' вокруг "центра"? 5.77. Чему равен определитель матрицы, у которой сумма строк с четными номерами равна сумме строк с нечетными номерами? 5.78. Найти сумму определителей всех матриц перестановок и-го порядка. 5.79. Найти сумму определителей порядка и ) 2 аьн аь, ... аь „ аза~ аз, ... агн„ Е(аьа2,...,а„) где сумма берется по всевозможным перестановкам аы оз,..., а„ из первых и натуральных чисел.
~6. Миноры и алгебраические дополнения 5.80. Доказать, что если А и  — стохастические матрицы, то определитель их коммутатора [А, В) равен нулю. 5.81. Числа 20677, 53291, 25783, 28451 и 1679 делятся на 23. Доказать, что определитель 2 0 6 7 7 5 3 2 9 1 2 5 7 8 3 2 8 4 5 1 0 1 6 7 9 также делится на 23. 5.82. Вычислить, пользуясь лишь свойствами определителя: 5.83. Доказать, что любой определитель равен полусумме двух определителей, один из которых получен из данного прибавлением ко всем элементам зтй строки его матрицы числа 5, а другой — аналогичным образом прибавлением числа -б.
5.84. Пусть А = А!1) е Р"х". Доказать, что производная определителя де!А может вычислена по формуле а', (г) а22 (ь) а1„(ь) а2„(8) !1(1) а21(г) И вЂ” с)есА = Ж а„н!1) аыЯ а11!1) а12(г) ... а1„(!) +...+ а21(~) а22!ь) ... а2~(1) а11!г) а12(г) + а21(г) а22(г) а~!И) ап2И) ааа1ь) ап1(ь) ап2(с) ...
о пЯ 86. Миноры и алгебраические дополнения Пусть А = (ао) Е К "" и а Е !Ч, 1 < к < ппп(гл,н). Выберем в матрице А произвольйые !с строк и !с столбцов с номерами и < 1я « ... !ь и л < Уз « ... Уь соответственно. Элементы матрицы А, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют квадратную матрипу !с-го порядка. Определитель этой матрицы называется минором й-го порядка матрицы А, расположенным в строках с номерами !и!я,.,., !ь и столб- аа2!г) аь (т) а'„(г) у т+у 2 1 т 1 у у+ 3 — 1 2 Глава И.
Определители 50 цах с номерами )1,22,...,зл. Для обозначения миноров приняты символы а„„агззг .. аг„, а гзз а*212 а гзл М 12 1 1112" Зг а„з а„зг ... алзл Пример 6.1. В лзатрице элелзент. Минором 2-го порядка 1= = -12, минором 3-го порядка— лзинором 1-го порядка может быть любой 1,2 2 4 является например, минор Мг 4 — 4 1 3 4 наприлзер, минор М,'22'42 = О 4 1 = 8.
О О 2 Пример 6,2. В матрице 5 6 4 3 2 4 ~ = — 13 дополнительным минором будет минор для 21ино1за М2 4 з,г М =(т 1(= — 23, 41,г ( 1)14-2+гьгМ4 23 2,4 при этом Теорема 6.1 (теорема Лапласа). Пусзпь А = (ао) б К""" и 12 б 14(, 1 < )г < и — 1. Пусть в матрице А выбраны произвольные й строк (или столбцов). Тогда определитель матрицы А равен сумме всевозмоокных произведений миноров 14-го порядка, располоокенных в выбранных строках (сосвпветсзпвенно столбцах), на их алгебраические дополнения.
Пусть теперь А = (аи ) — квадратная матрица и-го порядка и М,",,',"'; — ее минор. Если вычеркнуть в матрице А строки и столбцы, в которых расположен заданный минор, то оставшиеся элементы матрицы А образу- ют квадратную матрицу (и — й)-го порядка.
Определитель этой матрицы называется дополнительным лгинорам к минору М'1'"' 'л. Дополнитель- ный минор обозначается символами М „," „, М, М . Очевидно, что ис— 12" л — 4 ходный минор является дополнительным к своелзу дополнительному мино- ру.
Дополнительный минор к минору Мп"'"'", взятый со знаком ( — 1)имг, з(М) = ~~р 1(гр + )р), называется алгебраическим дополнением к минору Мп" ' " и обозначается символом Ан"" *'. Итак, 1112 Зл змг "зл Азг -'г з 11ч+ г+" + л+ззьзг+" +мМ'12см зззг" а МЗ2 Зг 36. Миноры и алгебраические дополнения Таким образом, в строчном варианте теорелсы Лапласа сает А = ~~ М"'г "" Апс"" »»зг . и з!зг - и ' Сз»,»г," д») (6.1) где суммирование ведется по всевозможным значениям у», гг,...,1», удовлетворяющим неравенствам 1 < дс < дг « ... 1» < и, или в столбцовом варианте де1 А = ~ М"*'"*" А*"'„"'", (6.2) 1»гг-з» з»» -з»' С»зг,- з»~ где суммирование ведется по всевозможным значениям см гг,..., гь, удовлетворяющим неравенствам 1 < И < гг «..
гь < и. Пример 6.3. Вычислить определитель матрицы А=1345 пользуясь теоремой Лапласа. Решение. Заметим, что во 2-й и 4-й строках матрицы А находится гл~3 2 лишь один ненУлевой миноР втоРого поРЯдка М,'с = ~ 2 3 ~. ПоэтомУ Разложение определителя по этим двум строкам (т.е.
в теореме Лапласа 1с = 2, г» = 2, гг = 4) содержит только одно слагзелюе, так что )А)™»»А»г=! 2 3 (.(-1)+++ ( 3 4 )=5 ( — 1) ( — 2)=10, ° Из теоремы Лапласа следует, что сает А = ~~» асзАи или с1еСА = ~ а.,А,», (6.3) где Ач — алгебраическое дополнение к элементу ач. Представление определителя (6.3) называется разложением определителя по г-й строке (соответственно под-му столбцу). П р и м е р 6.4. Вычислить определитель матрицы А= 5 2 3 пользуясь разложением по 1-й строке.
Решение. Согласно (6.3) имеем (А( = 1 (-1)' ' ~ 2 5 ~ «-( — 1) ( — 1)' ~ 4 2 ~ = — 4+( — 1)( — 18) = 14. ° Теорема 6.2. Определитель квазитреугольной лсатриць» равен просюведению определителей диагональных клеток. Теорема 6.3. Определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей матриц-сомножителей.
Глава 11. Определители 52 ЗАДАЧИ 6.1. Сочетанием иэ п элементов по т называется неупорядоченная выборка т элементов из совокупности и заданных элементов. Число всех сочетаний из и элементов по т обозначается символами С~ или ("). Считая, что С1,' = 1 и О! = 1, доказать соотношения: и(и — 1)...(и — т + 1) и! т! т! (и — т)! в) С„"' = С„" ~п; .) С„-„, = С„-+С„--', д) СО+С1+ +Со 2п. е) Со — С„' + С2 — + ( — 1)пС,", = О ) (СО)2+ (С1)2+ + (Сп)2 Сп . ь з) С~+и = ~: С' С1" ''. 1=0 ™ 6.2. В квадратной матрице порядка и найти: а) число миноров порядка Й, расположенных в фиксированных 1е строках; б) число всех миноров, расположенных в фиксированных 1е строках; в) число всех миноров порядка 1с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
