Том 1 (1113039), страница 7
Текст из файла (страница 7)
аг,аг,аг,ат,аг, при этом перестановка иэ индексных номеров будет иметь вид 4,5,2,1,3. Осталось проверить, что о(4,3,5,1,2) = Т и о(4,5,2, 1,3) = 7. 3 А Д А т1 И 4.1. Выписать транспозиции, посредством которых от натуральной перестановки можно перейти: а) к перестановке 3,5,4,1,2; б) к перестановке 5,4,3,2,1. 4.2. Определить общее число инверсий в перестановках: а) 3,1,4,5,2; б) 3,7,4,1,5,2,6; в) 1,6,9,4,2,5,3,8,7; г) 4,7,1,3,2,6,5; д) 1,3,5,...,2п — 1,2,4,6,...,2п; е) 2,4,6,...,2п,1,3,5,...,2п — 1; ж) й,/с+ 1,...,п,1,2,...,тс — 2,тс — 1; 4.3. Найти г и тс, при которых указанная перестановка является четной: а) 2, 4, 1,г, 6, 9,/с, 7, 5; б) 8, 1, б,г, 3, 7,тс, 4, 2. 4.4.
В перестановке а1, а2,..., ап 1, аи имеется р инверсий, причем известно, что первый и последний ее элементы образуют с остальными элементами суммарно з инверсий. Сколько инверсий станет в этой перестановке, если поменять местами первый н последний ее элементы? 40 Глава 11.
Определители 4.5. В перестановке сп, ссз,..., сс„м а„имеется р инверсий. Сколько инверсий будет в перестановке сг„,сс„ и ...,сгз,сг~ ? 4.6. Какая перестановка из первых и натуральных чисел имеет наибольшее число инверсий? Чему оно равно? 4.7. Сколько инверсий образует число 1, стоящее на 1-м месте перестановки? 4.8.
Сколько инверсий образует число и, стоящее на 1с-м месте в перестановке из первых и натуральных чисел? 4.8.1. Сколько инверсий образует число )с (1 < /с < п), стоящее в перестановке из первых и натуральных чисел: а) на первом месте; б) на последнем месте? 4.8.2. Указать количество всех перестановок и-го порядка, в которых первый и последний элементы образуют инверсию. 4.9.
В указанных перестановках определить общее число инверсий и выяснить, при каких и эти перестановки нечетные: а) 1,4,7,...,3п — 2,2,5,8,...,3п — 1,3,6,9,...,Зп; б) 2,5,8,...,3п — 1,3,6,9,...,Зп,1,4,7,...,3п — 2; в) 1,5,...,4п — 3,2,6,...,4п — 2,3,7,...,4п — 1,4,8,...,4п; г) 1,5,...,4и — 3,3,7,...,4п — 1,2,6,...,4п — 2,4,8,...,4и; 4и — 3,4п — 7,...,5,1. 4.10. Чему равна сумма числа инверсий и числа порядков в любой перестановке первых и натуральных чисел? 4.11. Для каких значений п четность числа инверсий и числа порядков во всех перестановках из первых п натуральных чисел одинакова и для каких противоположна? 4.12.
Доказать, что для любого 1с Е У' 0 < й < п(п — 1)/2 существует перестановка из первых и натуральных чисел, число инверсий которой равно Й. 4.12.1. Пусть в перестановке из первых п натуральных чисел имеется Й инверсий. Доказать, что ее можно привести к натуральной, используя не более,чем й транспозиций. 4.13.
Определить четность перестановки букв в слове анкор, если за исходное принять их расположение в словах: 1) крона; 2) норка; 3) коран. 35. Простейшие свойства определителя В5. Простейшие свойства определителя Определителем (детаерминантсм) квадратной матрицы А = (ао) п-го порядка называется сумма всевозможных произведений а),аг, ... а„„ элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причем если сомножители в этом произведении упорядочены в порядке возрастания номеров строк, то оно берется со знаком ( — 1) ) ' "'"""), Для обозначения определители приняты символы )А~, бег А.
Итак, ам аш .. а) аг) агг ... аг (-1) ~ )а)«,аг«, а „„(5.1) а„) а„г ... а«« ««) г г — ») где суммирование ведется по всевозможным перестановкам (аы аг, ..., а„) из чисел 1, 2,..., п. Каждое произведение в сумме (5.1) называется членом определителя, а число ( — 1)~) ) — его знакам. Из свойств перестановки следует, что число всевозможных членов определителя п-го порядка равно п! и что при и ) 2 число положительных членов равно числу отрицательных и равно и)) 2.
П р и ме р 5.1. Показать, что определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов. Р е ш е н и е. Рассмотрим случай верхней треугольной матрицы а)) аш а)з .. а) О агг агз .. аг„ О О а аз ... аг О О О ... а [ )А~ = (-1) ' '"' а))агг... а „, те. )А~ = аыагг... а„„. ° )),г,..., ) Пример 5.2. Найти г и я такие, что произведение азга,гамаыашаье входит в определитель 6-го порядка со знаком плюс.
Р е ш е н и е. Возможны даа случая: г = 2, х = 5 и г = 5, )г = 2. В первом случае данное произведение после упорядочения сомножителей в порцдка возрастания номеров строк совпадает с произведением амагзазгаз)аыаш, при этом а(4,3,2, 1,6,5) = 3 + 2 + 1 + 1 = 7. Во втором случае перестановка номеров столбцов будет четной, так как отличается от рассмотренной перестановки одной транспозицией. Следовательно, г = 5,я = 2.
° Свойства определителя. С во й с т в о 1. Определитель квадратной матрицы не изме яется при ее транснонироеании: (А! = )А~), п).е. е Переберем все возможные нетривиальные члены деь А. Из 1-го столбца в такой член может войти только ам, так как остальные элементы 1-го столбца равны нулю. Вместе с а)) в одно произведение с ним не может войти ни один другой элемент 1-й строки, поэтому из 2-го столбца вместе с ам может быть взят только элемент агг. Теперь уже вместе с а магг не может войти в одно произведение ни один другой элемент первых двух строк, так что из 3-го столбца вместе с а магг может быть взят только азг, и т.д. Таким образом, 42 Глава П. Определители определении (5.1) определителя можно поменять ролями строки и сгполбцы: ~А) = ~ ( — 1) ~ ~азыазгг...аз„„. д=(дь...,е,д Свойство 2. Если одна из огарок (столбцое) матрицы целиком состоит из нулей, то ее определитель равен нулю.
Свойство 3. При умножении строки (столбца) матрииы на число ее определитель умножается на зто число. Свойство 4. Если каждый элемента некоторой строки матрицы представлен е виде сумлаа двух слагаемых: а,г = Ьг + с», Й = 1,п, то определитель матрицы моэкно представить е виде суммы деух определителей: а', 1 а, а, Ь'+ с' Ь' ! а„ а„ а„ где Ь' = (Ьы Ьг,..., Ь„), с' = (сн сг,..., с„) . Свойство 5. При перестановке местами двух строк (столбцов) матрицы ее определитель меняет знак.
Свойство 6. Определитель матрицы, имеющей дее одинакоеые строки (столбца), равен нулю. Свойство Т. Если одна строка (столбец) матрицы яеллетсл линейной комбинацией других ее сгпрок (столбцое), то определитель матрицы равен нулю. Свойство 8. Если к какой-либо строке (столбцу) матрицы прибаеить линейную комбинацию других ее строк (столбцое), то ее определитель не изменится. Пример 5 3. Пусть А Е И""", тогда ~-А~ = ( — 1)" ~А~, так как матрица — А может быть получена умножением каждой строки матрицы А на — 1.
сйпга е!и Е сцп у Пример 5.4. созга соегД соггч = О, так как 3-я строка являсое 2о сов 28 соз 2 у ется линейной комбинацией первых двух строк. Пример 5.5. Показать, что определитель кососнмметрнческой матрнцы нечетного порядка равен нулю. Решение. Так как А = — А, то ~А~) = ) — А~. Отсюда (см. свойство 1 н пример 5.3) следует, что )А( = (-1)")А). Так как и — нечетно,то (А) = -(А), т.е. )А! = О.
° Пример 5.6. Исследовать, как изменится определитель матрицы, если к его 1-й строке прибавить все строки. Решение. Прнбавленне к 1-й строке всех строк, начиная по 2-й, не изменит определителя (свойство 8), а прибавление к ней 1-й строки равноснльно умножению 1-й строки на 2. Согласно свойстну 3 определитель удвоится.
° 43 яб. Простейшие свойства определителя ЗАДАЯИ Вычислить определители второго порядка. 3 2 5 2 2001 2002 3 1935 1965 8 5 ' ' ' 2000 2001 ' ' ' 2035 2065 аг аЬ и+1 и 1о8„Ь 1 аЬ Ьг ' ' ' и и — 1 ' ' 1 1ойва' 5 7 а + аЬ+Ь а — аЬ+Ь 8 а+Ь а — Ь а+Ь а — Ь ' '' а — Ь а+Ь сов а — вш а сов а сов ~3 в1п р 5.11. Доказать тождество а Ь х — а аг+Ьг О у х у Ь 0 хг + уг Вычислить определители третьего порядка.
0 а+1 1 †1 — а 0 а+1 а+1 1 †0 323 254 132 саО аОЬ ОЬс 5. 12. 5. 13. 5. 14. а Ь с Ь с а с а Ь а Ь с с а Ь Ь с а 0 а 0 р г д 0 Ь 0 5.15. 5. 17. 5. 16. Пользуясь свойствами определителя, доказать, что следуюшие определители равны нулю. яп а 1 совга япг 13 1 совг ~3 в1пг 7 1 совг у япг а сов 2а совг а япг,9 соя 213 совг,9 япг 7 сов 27 сояг у 5. 21.
5. 22. 5.18. Доказать, что если все элементы квадратной матрицы 3-го порядка равны х1, то ее определитель является четным числом. 5.19. Найти наибольшее значение, которое может принимать определитель 3-го порядка, если все элементы его матрицы равны х1. 5.20. Найти наибольшее значение определителя 3-го порядка, если элементы его матрицы равны 1 и О.
Глава П. Определители 44 (а+ 6)2 аг+ 62 аЬ (р+д)2 р2, цг рд . 5.24. (х+у) х +у ху 5.23. (а*+а *)2 (а* — а *)2 1 ~Ьр+ Ь вЂ” в)г !Ьв Ь-в)2 (с' + с ')2 (с' — с ')2 а+Ь с 1 6+с а 1 с+а Ь 1 5. 26. 5. 25. яп а сов а яп(о + б) яп!3 сов!3 яп(~3+ б) яп у сов у яп(у+ б) вша сова сов(а + б) яп !3 сов 13 сов(,3+ б) яп.у сов у сов( у + б) 5.28. 5. 27. Пользуясь лишь свойствами определителя, обосновать тождества. а! Ь! агх + Ьгу + с! а2 62 а2х+ 62у+ С2 аз Ьз азх+ Ьзу+ сз а! + Ьгх а! — Ь|х с! аг + Ьгх аг — Ьгх сг аз + Ьзх аз — Ьзх сз Ь! с! 62 с2 Ьз сз а! 5. 29. а2 аз а! Ь! с! аг Ьг сг аз Ьз сз = — 2х 5.
30. = (Ь вЂ” а)(с — а)(с — 6). 5. 31. = (Ь вЂ” аИс — а)(с — 6). 5. 32. 1 а аг 1 Ь 62 1 с сг 1 а Ьс 1 6 са 1 с аЬ 5. 33. 1 1 1 а Ь с аз Ьз = (а + Ь+ с)(Ь вЂ” аИс- а)(с- Ь). 5. 34. 1 1 1 аг Ьг сг аз Ьз сз = (аЬ+ ос+ Ьс)(Ь вЂ” а) (с — аИс — 6), 5. 35. 1 а а 1 6 64 = (аг+62+сг+аЬ+ас+Ьс)(6 — а)(с — а)(с — Ь).
1 с с4 5. 36. 1 а Ьс 1 6 са 1 с аЬ 1 а аг 1 6 Ьг 1 с с (а + Ь)з аз + Ьз а + 6 !а 6)з аз Ьз (1+аЬ)з 1+азЬз 1+аЬ 35. Простейшие свойства определителя 1 а а 1 Ь Ь2 1 с с 1 й йз 1 Ь Ьз =(а+Ь+с) 1 с сз 5. 37. 1 й й Ьг ЬЗ 1 сг сз 1 а аг 1 Ь Ьг 1 с сг = (аЬ+ Ьс+ са) 5. 38. 5.39. Выяснить, какие из следующих произведений входят в определители соответствующих порядков, и если да, то с какими знаками: а) а35й43й12а54й21; 6) й13й41а24а55й23', в) азгй4зй51а14йгбабб, 'г) агза61азба45а1га54', д) йзбй27а74а51а25а43абг~ е) й34а21й4бй73а17а54йбг) Ж) й16йззй72а27й61й55й44', 3) й12й23 ° ° ° йв — 1,ааи1,' И) аггаэг ..
ав — 1а.„; К) апгащйЗ4а4З ., а2„— 1,гааз)г,г -1. 5.40. С каким знаком входит в определитель пго порядка произведение: а) элементов главной диагонали; б) элементов побочной диагонали? 5.41. Выписать все слагаемые, входящие в определитель 4-го порядка со знаком плюс и содержащие множителем й31. 5.42. Подобрать 1 и у' такие, что произведение аззй)4а12й41й15 входит в определитель 5-го порядка со знаком минус. 5.43. Подобрать 1, 7' и?4 такие, что произведение а31а5ьйбга)4а41а13 входит в определитель 6-го порядка со знаком плюс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
