Том 1 (1113039), страница 9
Текст из файла (страница 9)
6.3. Пусть М вЂ” произвольный минор некоторой квадратной матрицы, Мг — дополнительный к М минор, ( — 1)™1Ме — алгебраическое дополнение минора М (здесь э(М) — сумма номеров строк и столбцов матрицы, в которых расположен минор М). Показать, что алгебраическое дополнение к минору М~ равно Ц (м1М 6.4. Минор, стоящий на пересечении 1е строк и 1е столбцов квадратной матрицы, имеющих одинаковые номера, называется главным минором порядка 1е. Найти число главных миноров порядка Й в матрице порядка и. 6.5.
Пусть А е К" »". Доказать, что деС(А — Л1) = ( — Л)" + ~ еь( — Л)" ~, й=1 где еь — сумма всех главных миноров порядка 1е матрицы А. уб. Миноры и алгебраические дополнения 6.6. Показать, что построенное в теореме Лапласа разложение определителя порядка и по любым й строкам (столбцам) совпадает с его разложением по остальным п — Й строкам (соответственно столбцам). 6.7.
Доказать,что если в некоторой матрице А Е К™м" все миноры порядка й (й ( ш1п(т, п)) равны нулю, то равны нулю и все миноры порядка выше /с. Пользуясь теоремой Лапласа, вычислить опр еделители. 12345 2 1 2 3 4 0 2 1 2 3 0 0 2 1 2 00021 98340 1337234 01190 6.8. 11 41 73 3 . 6.9. 0 9 11 0 .
6.10. 10203 72134 02030 10203 2 0 3 0 4 . 6.12. 3 0 4 0 7 03040 63245 30403 51223 12345 06041 24135 13524 05032 6. 11. . 6.13. 2 3 9 7 4 0 0 0 2 1 0 1 3 3 8 0 4 3 0 0 1 2 0 1 4 4 4 4 4 4 0 0 1 1 0 2 1 2 0 0 0 3 4 0 0 0 7 6 5 4 0 2 3 4 5 0 5 1 2 б 7 2 7 5 3 4 6. 14. 6. 15. 3001 4003 5 1 — 1 2 8376 — 1000 7000 6. 16. 1 52 91 47 16 0 7 16 39 4 0 0 3 5 0 0 0 2 3 0 0 5 11 24 3 2 17 57 28 11 13 24 3 4 71 7 0 0 2000 5000 27800 83 61 4 5 6. 18.
6. 19. 1 2 3 б 5 7 9 8 6 3 2 4 340 5 б 0 453 8 4 2 700 500 0 0 О 000 65297 45030 10000 23010 — 1 7 4 9 0 0 57 23 8 17 0 3 0 7 7 31 51 43 Глава 11. Определители 1 1 1 0 0 1 2 3 0 0 0 1 1 1 1 0 1 2 3 4 0 1 4 9 16 6.21. 6.20. 0 0 сова япо сов 13 яп 13 сов.у яп у 6.22. а 6 с И ЬООс с006 асба 1 х х х 1 а 0 0 1 0 Ь 0 100 с . 6.25. .
6.26. 6. 24. 6.27. Пусть А, В, С, Р— миноры третьего порядка, получаемые из матрицы а1 61 с1 д1 аз 62 сз Й2 аз Ьз сз аз вычеркиванием соответственно первого, второго, третьего и чет- вертого столбцов. Доказать, что = АР— ВС. Применяя теорему Лапласа, вычислить определители, предварительно преобразовав их. 2 б — 3 — 9 б 8 — 9 — 12 1 3 — 2 — 6 3 4 — 6 — 8 7 8 7 8 8 9 8 9 — 7 — 8 7 8 — 8 — 9 8 9 6.29. 6.
28. 5 1 1 1 1 4 1 1 1 1 9 3 2 2 2 7 5 б 5 5 3 7 7 9 7 2 3 4 6 4 5 8 10 1 1 3 3 1 2 3 б 6.31. 6. 30. 1 1 Х1 Х2 У1 У2 «1 «2 0 а Ь а1 10 Ь1 0 1 с1 00 а1 Ь1 с1 111 0 0 а2 62 сз И2 0 0 аз Ьз сз 4з 0 0 0 0 а1 Ь1 с1 131 0 0 а2 Ь2 с2 д2 0 0 аз Ьз сз 132 5 0 0 5 5 0 0 5 5 0 0 2 5 0 2 0 0 5 0 5 8 0 5 0 0 8 0 5 5 0 5 0 0 5 0 5 0 а Ь с 1 х 0 0 1 0 у 0 1 0 0 Зб. Миноры и алгебраические дополнения 55 — 3 4 2 3 б 3 5 — 9 — 5 б 8 4 2 — 1 — 2 6.32.
. 6.33. 5 — 2 1 5 — 4 — 3 — 4 2 — 3 7 — 8 — 1 7 1 5 6. 34. . 6.35. 1 1 1 1 2 3 1 3 б 2 О О О 3 О 0 О 4 2 1 1 1 1 3 1 2 1 1 3 1 1 1 2 3 1 1 1 1 3 4 1 1 1 3 1 1 4 1 3 1 1 1 1 4 6. 36. 6.37. х ... х 1+х х ... 1+х х х 1+х х х ... 1+х 1+х ... х х х х ... 1+2х 1+х ... х х 6.38. 1+2х х ... х х (порядок определителя равен 2п). 6.39.
Справедливы ли тождества (А, В е К"""): а) с1ес(А+ В) = с1есА+ с1есВ; б) с1ес(аА) = ссс1есА; в) с1ес1оА) = а" с1ес А; г) с1еС(А~) = (оес А)~, 1с Е 14? 6.40. Доказать, что если матрица А ортогональна, то )с1есА! = 1. 6.41. Доказать, что определитель нильпотентной матрицы равен нулю. 6.42. Доказать, что для любой квадратной вещественной матрицы А имеет место неравенство с1ес(ААт) ) О. 6.43. Как изменится определитель, если в его матрице выделить й строк (или столбцов) и из каждой из них вычесть все остальные выделенные строки? 6.44.
Найти связь между определителем матрицы А порядка 5 — 5 — 4 4 3 — 1 — 7 7 5 — 3 2 — 3 3 2 — 2 3 б 4 2 — 1 0 1 1 1 0 1 1 1 О 1 0 О 0 1 0 0 0 1 1+х 2 1 2 3 2 3 — 2 7 5 — 1 3 — 1 — 5 — 3 — 2 5 — 6 4 2 — 4 2 — 3 3 1 — 2 8 10 3 1 4 7 9 4 1 б 1 — 2 2 1 3 2 5 — 4 — 2 †— 1 2 б 3 9 Глава 11. Определители п и определителями блочных матриц порядка 2п следующего вида: А А ' ) ЗА 4А ' ) 2А ЗА 6.45. Квадратная матрица А порядка и разбита на блоки так, что получающаяся при этом блочная матрица состоит из р клеточных строк и р клеточных столбцов: А = (А, ), (, 7' = 1,р.
При этом отличными от нуля оказались лишь блоки на побочной клеточной диагонали: А1р, Аз,р 1,...,Ар1, которые являются кваДРатными матРиЦами поРЯДков Й1, Й2,..., /ср соответственно. Доказать, что деФА = ( — 1)'де1А1р с1е1А2р 1 ... де$Ар1, Зт. Вычисление определителя Метод Гаусса. Метод Гаусса решения матричных задач основан на следующих положениях: ° выделяется тип матрицы, для которой задача решается достаточно просто, ° указывается тип преобразований, которые либо не изменяют решений задачи, либо изменяют их контролируемым образом; ° произвольная матрица указанными преобразованиями приводится к выделенному типу, тем самым задача общего вида сводится к более простой.
В применении к задаче вычисления определителя эта схема выглядит следующим образом: — определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов (пример 5.1); — элементарные преобразования матрицы либо не изменяют определителя (свойство 8), либо изменяют (свойства 3 и 5), но так, что эти изменения люжно легко контролировать; — произвольная квадратная матрица элементарными преобразованиями приводится к треугольной форме (теорема 3.1).
Метод Гаусса вычисления определителя состоит в приведении матрицы элементарными преобразованиями к треугольному виду, вычислении определителя получившейся треугольной матрицы и восстановлении исходного определителя, если привлекались элементарные преобразования первого и второго типов (33). В методе Гаусса вычисления определителя можно использовать элементарные преобразования как строк, так и столбцов. Пример 7.1. Вычислить определитель матрицы 57 37.
Вычисление определителя методом Гаусса. Решение. Приведем матрицу А к треугольному виду; вычтем из 3-й стро- 0 2 2 1 ки 1 ю ул4ножен 2 01 2 = нуюна2,ак4й -1 2 1 1 строке прибавим 1- ю 1 — 1 0 1 переставим = > местами 2-ю )— и 4-ю строки > 1 -1 0 1 0 1 1 2 ( прибавим к 4-й ) 0 0 — 1 — 7 г строке 3-ю 0 О 1 4 г переставим ~А) =4 местами 1-ю и 2-ю строки ) 1 -1 0 1 0 2 2 1 0 2 1 — 3 0 1 1 2 < вычтем из 4-й строки З-ю, а из 3-й— удвоенную 2-ю 0 1 1 2 — 1 — 7 3' в 0 — 3 1 — 1 0 1 0 0 0 0 Р =У(Р„-мР ю..,,Р„-ь), 14(п. (7. 1) Такое равенство называется рекуррентим44 соотношением.
Простейший вариант метода используется для вычисления определителя Р„конкретного (и невысокого) порядка и и состоит в получении рекуррентного соотношения и последовательном вычислении всех определителей, входящих в это соотношение, при этом определители низших порядков вычисляются непосредственно, а определители более высокого порядка — через рекуррентное соотношение.
Пример 7.2. Вычислить определитель 0 1 1 1 1 1 а4 0 0 0 1 0 аз 0 0 1 0 0 аз 0 1 0 0 0 а4 Ре = Р е ш е н и е. Найдем рекуррентное соотношение для общего случая определителя данного вида (и + 1)-го порядка: 1 ... 1 0 ... 0 аз ... 0 0 1 1 а4 1 0 Г разложилг по по- 1 = < следнему столб- < = Р„44 = 1 0 0 ... а„ а4 0 ... 0 0 ат ... 0 1 1 а„Р„4- ( — 1)" эз 1 1 ( разложим второй 1 определитель по последней строке 0 0 ...
а 0 0 ... 0 Метод рекуррентиых соотношений. Метод применяется в тех случаях, когда удается получить соотношение, связывающее данный определитель Р порядка п с определителями такого же вида, но более низких порядков 58 Глава П. Определители = а„Р„+ ( — 1)"+ ( — 1)"т'агав... а„ Таким образом, Р„.11 = аьЄ— агат... а -1, И > 2. (7.2) Вернемся к примеру. Согласно (7.2) имеем Рз = азР4 — азагаз. Для вычисления Рз найдем последовательно определители Рг, Рз, Р4. Рг — — — 1, Рз = агРг — аг — — — а1 — аг, Р4 = азРз — а1аг = — а,аз — агаз — а1аг. Отсюда 11 1 1 1 Рз = — азаза4 — агаза4 — агагаз — агагаз = — агагазаз( —, + —, -Ь вЂ” „+ —,), если а, ~ О, з = 1, 4. Заме мание.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
