Том 1 (1113039), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Теорема 3.3. Умножение матрицы А на матрицы элелаентарных преобразований Рн, Ои Ь.з справа равносильно элементарным преобразованиям стполбцов матрицйА первого, второго и третьего типов соответственно, а умножение слева на матрицы Ро, Р„1чз — аналогичным т элементарным преобразования.м строк. В свете этой теореьгы можно по-нному сформулировать теорему 3.1: для любой ненулевой матрицы А суигествуют матрицы элементарных преобразований Тм..., Ть гпахие, что произведение Тг... ТгА имеет верхнюю ступенчатую ФоРму. ~3.
Элементарные преобразования матриц в) если к 1с-й строке матрицы А прибавить ее у-ю строку, умноженную на,9, то с матрицей АВ произойдет то же элементарное преобразование. Сформулировать и доказать аналогичные утверждения для столбцов. 3.5. Матрица А1 получена из А одним из следующих преобразований: а) переставлены 1-ая и 2-ая строки; б) утроена 2-ая строка; в) от 1-ой строки отнята удвоенная 3-ья строка. В каждом случае указать, как связаны между собой матрицы В и Вы если имеет место равенство ВА1 = В~А. 3.6. В матрице А выполнено одно из следующих преобразований: а) переставлены 1-ый и 2-ой столбцы; б) удвоен 1-ый столбец; в) ко 2-ому столбцу прибавлен удвоенный 1-ый столбец.
В каждом случае указать, какое преобразование следует сделать с матрицей В так, чтобы произведение АВ не изменилось. 3.7. Указать матрицу Я такую, что матрица ЯА получается из А: а) расположением строк А в обратном порядке; б) прибавлением к первой строке А ее остальных строк; в) последовательным вычитанием из каждой строки А, начиная со второй, предыдущей строки; г) последовательным прибавлением к каждой строке А, начиная с предпоследней, всех последующих строк.
3.8. Указать матрицу Я такую, что матрица АВ получается из А: а) прибавлением к каждому столбцу А, начиная со второго, первого столбца; б) вычитанием из второго столбца А каждого столбца матрицы А, умноженного на его номер; в) последовательным прибавлением к каждому столбцу А, начиная с предпоследнего, последующего столбца; г) последовательным вычитанием из каждого столбца А, начиная со второго, удвоенного предыдущего. 3.8.1. Можно ли операцию транспонирования матрицы общего вида свести к элементарным преобразованиям ее строк и Глава 1. Матрицы столбцов? 3.9.
Матрицей переставовки Р называется квадратная матрица, у которой в каждой строке и в каждом столбце ровно один элемент отличен от нуля и равен 1. Найти все матрицы перестановок третьего порядка. 3.10. Доказать, что множество матриц перестановок одного порядка замкнуто относительно операции умножения матриц. 3.11.
Доказать, что всякая матрица перестановки является произведением матриц Р; элементарных преобразований первого типа. 3.12. Доказать, что матрицы перестановок ортогональны. 3.13. Доказать, что стохастическая матрица является ортогональной тогда и только тогда, когда она является матрицей перестановки. 3.14. Доказать, что линейная комбинация матриц перестановок с коэффициентами ам аз,..., оы удовлетворяющими условия яма > О, Ч~ = 1,1, ~ о = 1, является дважды стохастической 1=1 матрицей.
3.15. Доказать, что матрицы перестановок периодичны. 3.16. Доказать, что если один из столбцов матрицы А является линейной комбинацией других столбцов, то существует ненулевой вектор-столбец 6 такой, что Аб = О. Сформулировать строчный вариант этой задачи. 3.17. Доказать, что если одна из строк матрицы А является линейной комбинацией других строк, то существует ненулевая матрица В такая, что ВА = О. Сформулировать столбцовый вариант этой задачи. 3.18. Пусть Ь вЂ” одна из матриц элементарных преобразований.
Какому преобразованию строк и столбцов матрицы А приводит умножение Ь~АЛ? 3.19. Доказать, что; а) перестановка двух строк (столбцов) матрицы может быть осуществлена последовательным выполнением элементарных преобразований строк (соответственно столбцов) второго и третьего типов; б) каждая матрица РО элементарного преобразования первого типа может быть представлена в виде произведения матриц элементарных преобразований второго и третьего типов.
зЗ. Элементарные преобразования матриц 3.20. Используя свойства матриц элементарных преобразо- ваний, найти произведение 1234 1123 1112 1111 1000 1100 2010 — 1001 1234 1123 1112 1111 100 0 020 0 101 0 000 — 1 а) 1 — 123 0 100 0 010 0 001 1000 0120 0010 2001 1234 1123 1112 1111 1234 1123 1112 1111 г) в) 3.21. При каком условии матрицы РО и Ры элементарных преобразований первого типа перестаноночны? 3.22. При каком условии матрицы Л, и Ьы элементарных преобразований третьего типа с ненулевыми коэффициентами В' и 13" соответственно перестановочны? 3.23.
По аналогии с элементарными преобразованиями строк и столбцов числовой матрицы можно ввести и элементарные преобразования блочной матрицы. Будем считать, что клетка АО блочной матрицы А = (АО), г = 1,р, 1 = 1,з, имеет размер т, х и . Элементарными преобразован ями блочной матрицы А будем называть преобразования следующих типов; 1) перестановка двух блочных строк (столбцов) матрицы; 2) умножение всех клеток 1-й строки слева на квадратную матрицу В порядка т, или умножение всех клеток ~-го столбца справа на квадратную матрицу Р порядка и ", 3) прибавление к каждой клетке 1-й строки соответствующей клетки другой 1е-й строки, умноженной слева на матрицу В размера т, х ты или прибавление к каждой клетке ~-го столбца соответствующей клетки другого 1-го столбца, умноженной справа на матрицу В размера п~ х и .
Доказать, что: а) любое элементарное преобразование строк (столбцов) блочной матрицы равносильно ее умножению слева (соответственно справа) на некоторую квадратную матрицу; б) элементарные преобразования блочной матрицы первого и третьего типов равносильны суперпозиции обычных элементарных преобразований. Глава П. Определители 84. Перестановки Упорядоченная совокупность чисел сгг, аг,..., а„, в которой 1) а, Е (1,2,...,и), г — — 1,и; 2) а, ф аг при г ф /, называется перестановкой из чисел 1,2,...,и. Перестановка 1,2,..., и называется натрраяьногь Аналогично рассматриваются перестановки из и произвольных символов: достаточно перенумеровать эти символы и иметь дело с их номерами 1, 2,..., и. Преобразование перестановки, при котором два ее числа а.
и аг с номерами г ~ г' меняются местами, называется трвнсиозггггией. Говорят, что два числа а, и а, в перестановке аг, аг,..., а„образуют инверсию (беспорядок), если большее из них предшествует меньшему, т.е. если а, > а, при г < 7', и порядок — в противном случае, т.е, если а, < аг при г < г1 Перестановка называется четной, если общее число инверсий в ней четно, и нечетной, если нечетно. Общее число инверсий в перестановке аг,аг,...,а обозначается символами с(аг,аг,,а ) или с(а). Пример 4.1. Найдем общее число инверсий в перестановке 4, 3,5, 1,2.
Решение. Число 4 образует три инверсии с числами 3, 1 и 2; число 3 — две инверсии с числами 1 и 2 (пара (4,3) уже была рассмотрена); число 5 — две инверсии с числами 1 и 2; пара (1,2) не образует инверсию. Таким образом, гг(4, 3,5,1, 2) = 3+ 2+ 2 = 7. Запишем количество инверсий, которые образует каждое число в перестановке с последующими, под этим числом: 4, 3, 5, 1, 2 в(4, 3, 5, 1, 2) = 3 + 2 + 2 + О = 7. ° 3 2 2 0 П р и м е р 4.2. Определим четность перестановки 3, 6, 9,..., Зи, 2, 5, 8,..., Зи — 1, 1, 4, 7,, Зи — 2.
Р е ш е н и е. Данная перестановка из Зи чисел разбивается на три последовательные группы из и чисел. Внутри каждой из групп инверсий нет. При этом 3,6,9,,3и,2,5,8,...,3и — 1,1,4,7,...,3и — 2 ) ) 2 4 6 2и 1 2 3 и 0 0 0 = с(а) = (2 Ь4 Е 6+... -Ь 2и) + (1-Ь 2Ь 3 а.,, + и) = Зи(и+ 1)/2. Четность Зи(и+ 1)/2 определяется гетностыо числа и(и т 1)/2, которое четно при и = 4)г и и = 41г+ 2, )г 6 74, и нечетно при и = 41г+ 1 и и = 4я+ 3, я Е М. Таким образом, данная перестановка четна для тех и, которые при делении иа 4 дают четные остатки, и нечетна в протигном случае.
° 34. Перестановки Теорема 4.1. Число всевозмоэкных перестановок из п чисел равно и.'. Теорема 4.2. Каждая транспозиция меняет четкость перестановки. Теорема 4.3. Все и! перестановок из и чисел могутп быть упорядочены так, чтпобта каждая последующая отличалась от предыдущей на одну таранспозицию, причем начинать это упорядочение можно с любой перестановки. Следстп вие 1. При и > 2 число четных перестановок равно числу нечетных, Следствие 2, От каждой переслиановки из и чисел можно перейтаи к любой другой перестпановке из этих же чисел ари помощи конечного числа тпранспоэиций. Теорема 4.4.
Если ат,аг,,а — перестановка из первых п натуральных чисел с числом инверсий з, то после преобразования ее в натуральную перестановку индексные номера 1,2,..., п образуюпт новую перестановку с тем же числом инверсий з. Проиллюстрируем утверисдение теоремы на примере перестановки 4,3,5,1,2, В этой перестановке ат = 4, аг = 3, аг = 5, аг = 1, аг = 2. После преобразовании перестановки в натуральную получим перестановку 1, 2, 3, 4, 5, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
