Том 1 (1113039), страница 2
Текст из файла (страница 2)
8. Икрамов Х.Д. Задачник по линейной алгебре.— М.: Наука, 1975. 9, Ильин В.А., Ким Г.Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия.— М.: Проспект, 2007. 10. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.— М.; Физматлит, 2006. 11. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра.— М.: Физматлит, 2005. 12. К им Г.Д., Крицков Л.В. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы н задачи. Том 1, том П(1), том П(2).— М.: Зерцало, 2003.
13, К остри кин А.И. Введение в алгебру. Кн. 1: Основы алгебры. Кн. 2: Линейная алгебра. Кн. 3: Основные алгебраические структуры.— М.; Физматлит, 2004. 14. Кострикин А.И., Манин Ю, И. Линейная алгебра и геометрия.— М.: Лань, 2005. 15. Курош А.Г. Курс высшей алгебры.— М.: Лань, 2005, 16. Маркус М., Мин к Х. Обзор по теории матриц и матричных неравенств.— М,; УРСС, 2004.
17. Моденов П.С., Пархоменко А.С. Сборник задач по аналитической геометрии. — М.: Наука, 1976. 18. Полив Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа (в 2-х частях).— М.: Наука, 1978. 19. Прасолов В.В. Задачи и теоремы линейной алгебры.— М.: Наука, 1996. 20.
Прасолов В.В. Задачипо планиметрии1в2-х частях).— М.: Наука, 1991. 21. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре.— Мл Бином, 2005. 22. Сборник задач по алгебре / Под ред. К остри кина А. И. — Мл Физматлит, 2001. 23. Фаддеев Д.К., Сом инский И.С. Сборник задач по высшей алгебре.— Мл Лань, 2001. 24. Халмош П. Конечномерные векторные пространства.— Ижевск: НИЦ "Регуляная и хаотическая динамика 2002. 25.
Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ.— Мл Мир, 1989. 26. Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии.— М.: Лань, 2005. 27. Шилов Г.Е. Математический анализ (конечномерные линейные пространства).— М.: Наука, 1969. Глава 1. Матрицы Пусть т, и б И. Матрицей размера т х и называется совокупность тп чисел, записанных в виде прямоугольной таблицы из т строк и и столбцов. При этом сами числа называются элементами матрицы. Если элемент матрицы стоит на пересечении г-й строки и д-го столбца, то говорят, что он расположен е позиции (г,у). В главах 1-ЧП1 рассматриваются лишь вещественные матрицы, т.е, матрицы с вещественными элементами.
Приняты слелуюшие обозначения: аы аш ... аг„ аы ахг ... аг а г а г ... а или А = (аи) — матрица А с элемента.- ми аи в позиции (г,д); (А)и — элемент матрицы А в позиции (г,д); А х ° — матрица А размера т х и; Ж "" — множество всех вещественных матриц размера т х и; а', и а, — г-я строка и у-й столбец матрицы А, тем самым матрица А может быть записана более компактно в виде 1 а1 1 аг или А=[аг аг ... а„! (0.1) а Элел~енты аи, где г = г', называются диагональными, а элементы аи, где г ~ 1, — енедйагональнмми.
Совокупность всех диагональных элементов аы, агг,..., аьг, где Й = пйп(т, и), называется главной Йгагональю матрицы, а совокупность элементов аьи аг, — м ... — ее побочной диагональю. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обо- значается символом О. Матрица размера ахи называется квадратной матрицей и-го по- рядка. Обозначение: А — квадратная матрица А порядка и. Квадратная матрица называется диагональной, если все ее внедиагонельные элементы равны нулю. Обозначение: йаг(аы,..., а „). Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны между собой, называется ска- лярной.
Скалярная матрица, у которой все диагональные элементы равны 1, называется единичной (тозюдестеенной) и обозначается символом Е Эле- менты единичной матриш ы обозначаются символом би (символ Кронекера), 11, г=г, ! так что би = й', ' и 1 = (би). Столбец е и строка е, единичной г ~ 1) матрицы называются ~'-м единичн м столбцом и г-й единичной строкой. Число ггА = аы+...Ч-а называется следомматрицы А = (а,г) й )й""". Матрица размера 1 х п называется строчной матрицей, или матрицей- строкой, или вектор-строкой.
Матрица размера т х 1 называется столб- цоеой матрицей, или матрицей-столбцом, или вектор-столбцоль Глава 1. Матрицы 10 К1. Операции над матрицами Две матрицы А = (а,г) и В = (Ьч) одинакового размера т х и называются равными, если а„= Ьи, г' = 1,т, г = 1,п.
Обозначение: А = В. Суммой матриц А = (ао) й К'""" и В = (Ьи) Е К "" называется матрица С = (со) е К ~", элементы которой определены равенством си — — а„~- Ь„, г = 1, гп, 1 = 1, п. Обозначение: С = А+ В. Матрица -А = ( — аи) Е К "" называется противоположной к матрице А = (а„) Е К~"". Теорема 1.1. Операция слоокения матриц обладает следующ ми свойствами: г»А, В, С Е К "" и О Е К 1) А+ В = В+ А (сложен!ге лгатриц к муто!пиано); л) (А + В) + С = А + (В г С) (сложение матриц ассоциативно); Ю)А+О=О+А=А! 1) А+ (-А) = -А+ А = О. Ровностью матриц А = (аи) Е К "" и В = (Ьи) к К "" называется матрица Х = (хи) Е К "" такая, что А = В+ Х. Обозначение: Х = А — В.
Произведением мои!рицы А = (а„) Е К "" на число о Е К называется матрица С = (со) Е К "", элелгенты которой определены равенстволг си=ааи, 1=1,т,1=1,п. Обозначение: С = оА. Матрица 1.' о»А» называется линейной комбинацией магприц Аг, 1=1 А„, с коз44ггциентамг! а!,..., о„,. Теорема 1.2. Операция умножения лгатприцы на число обладает следующими свойствами: гггА, В Е К "", !го, В Е К 1) 1 А=А; в) (оВ)А = о(ВА); Я) о(А+ В) = оА+ оВ (умножение матрицы на число дистрибутивно относительно сложения матриц); 4) (а+ В)А = оА+ ВА (умножение магприцы на число дистрибутивно относипгельно сложения чисел); б) — А = ( — 1)А.
Произведением матриц А = (а, ) Е К "" и В = (Ьо) Е К""" называется матрица С = (со) Е К'"", элементы которой определены равенством со = ~ ~а.,Ь,1, г = 1,гп, 1 = 1,/г. =1 (1.1) Обозначение. С = АВ. Произведение матриц зависит от порядка сомножителей; произведение АВ определено лишь в том случае, когда размеры матриц А и В согласованы специальным образом: число столбцов левой матрицы должно совпадать с числом строк правой. ~1.
Операции над матрицами Соотношение (1.1) означает, что элемент матрицы АВ, расположенный в л-й строке и йчм столбце, равен сумме произведений соответственных элементов л-й строки матрицы А и 1-го столбца матрицы В. Наприлтер, ~ — 1 3~(л 1)=(ц й 2 зл ( й 4~3 51=( — 2 ~1~. гхг гхг Согласование размеров матриц-сомножителей и их произведения можно "увидеть" на примере умножения матрицы на вектор-столбец и на вектор- строку: Заметим, что умножение матрицы слева на столбец и справа на строку не определено в общем случае. Непосредственно из определения следует,что Ае, = а„е,А = а',.
(1.2) Равенства (1.2), по существу, означают, что для любой матрицы А Е К А1„= 1„,А = А, где 1„и 1 — единичные матрицы порядков и и т соответственно. Матрицы А и В, для которых АВ = ВА, называются переспланоеочными или коммутирующими. Матрица [А, В) = А — ВА называется коммутатором матриц А и В. Очевидно, что коммутатор матриц нулевой тогда и только тогда, когда матрицы перестановочны.
Теорема 1.3. Операц я умножения матприц обладает следующими свойствами: 1) (АВ)С = А(ВС) (умноженис ассоциативно), 2) о(АВ) = (оА)В = А(оВ), л(о Е К, 3) А(В+ С) = АВ -1- АС, (А т В)С = АС+ ВС (умножеиие дистри- бутивно стпносительно сложения матриц), еыполпеппьми для любых матриц А, В, С, для которых левые части равенств алеют смысл. Пусть р(г) = 2 „ал1 — лгногочлен с вещественными коэффиииентами от одной переменной г и А — квадратная матрица.
Матрица р(А) = ас1 цалА+ агА + -Ь а А называется мпогочлепом от матрицы А. Глава 1 Матрицы 1 5 т 1 [с ] =(с с с с); /! 2 с с! =[с] Т е о р е м а 1.4. Операция тпранспонирования матриц обладает следующими свойствами: 1)(А+В) =А +В 8) (аА) = аА, 'сГа Е К, 3) (АВ)т ВтАт 4)(А ) =А, выполненными для всех матриц А, В, для которых имеют смысл левые части равенств.
Пример 1.1. Найти произведение АВСО матриц Г 51 А=[ 7],В=(1 — 1 2 — 2),С=,Р=(1 2 — 1). 9 1 1 Решение. Имеем АВСО = А(ВС)О = ( ВС = 2) = А 2О = 2(АО) = 10 20 -10 ) 14 28 -14 ~. ° 18 36 -18 (5) (5 10 — 51 2~ 7 ~ (1 2 — 1)=2~ 7 14 -7 9 9 18 — 9 П р и ме р 1.2. Вычислить р(А), если р(1) = 5 — 21+ 1~, А — квадратная матрица второго порядка, элементы которой определены условиями а„= (с,д).
Г1 21 Решение. Восстановим лсатрипу А по заданному условию: А = [2 2]. ТогдаА =[2 2! [2 2] =[6 8] ир(А)= [0 5] — [4 [6 8] [2 9]' П р и мер 1 3. Показать, что если А = (а с) Е К~"", а 6' = [о! аг ... а и Ь = (о! аз .. оп) — вектор-строка и вектор-столбец соответственно, то т АЬ = ~ о,ап =! ЬА=~ оа,. *=! (1.3) l Решение. Очевидно, что Ь = ~ опес. Тогда АЬ = А ( 1 о,е,) = (из =! =! Пусть А = (аи) е К "". Матрица А = (а,' ) Е Кпк называется транспонированной к матрице А, если с а„= ас„с = 1, и, д = 1, т. Переход от матрицы А к А называется транспонированием матрицы А. Заметим, что при транспонировании матрицы А ее строки становятся столбцами А с теми же номерами, а столбцы — строками.
Например, 31. Операции над матрицами 13 дистрибутивности умножения матриц) = ~ А(а,е,) = (теорема 1.3) *=1 2 а,Ае, = ((1.2)) = 2 а,а,. Второе из равенств (1.3) следует из первого, =1 =1 так как в силу теоремы 1.4 (Ь'А)т = А (Ь'), причем (Ь') — это вектор- столбец. Поэтому (Ь'А) является линейной комбинацией столбцов Ат, а Ь'А — линейной комбинацией строк А с коэффициентами аы..., а,.
° Пример 1.4. Доказать, что столбцы произведения АВ являются линейными комбинациями столбцов матрицы А, а строки А — линейными комбинациями строк матрицы В. Решение. Пусть в обозначениях (0.1) матрица В имеет вид В = [Ь1 Ьт ... Ьь). Тогда, как следует из определения произведения матриц, АВ = (АЬ1 АЬз ... АЬь). В силу (1.3) отсюда следует первая часть доказываемого утверждения. Вторая его часть может быть сведена к первой приемом, описанным в решении примера 1.3.
° 3 А Д А 'Ч И 1.1. Матрицы А = (а,у) Е 1ч'"3 и В = (Ьгу) Е 11~" 2 определены условиями агу = ~г — Я, Ь,у —— птах1г, Я. Найти: а) произведения АВ и ВА; б) линейную комбинацию матриц ААт и АВ с коэффициентами 1 и — 1. 1.2. Найти произведение АВ, где: 74 — 35 52 45 а) А= 13 98 — 84 — 21,В= 38 -64 32 79 — 35 52 45 98 -84 -21 — 64 32 79 74 13 38 б)А=~О 1 в)А= ,В= 6 3 — 2 — 4 2 — 3 — 3 — 1 4 2 — 4 1 5 1 3 г)А=~1 1 6 — 4 — 3 2 3 — 2 — 7 2 — 3 5 — 1 4 1 — 4 1 3 О О О З1. Операции над матрицами 15 1.9.
Вычислить произведение (АВ)з(СВ)г, где ,С= 4 12 — 35 ~ А= — 9 21,В 3 2 — 15 1.11. Рядом Фибониччи называется последовательность чисел (х„), в которой хо = 1, хг = 1, хв —— хп г + хп г для и > 2. Найти матрицу А такую, что = А" Ып е И. 1.12. Доказать, что если А и  — матрицы вида х у 2у х где х, у Е К, то а) матрицы А + В и АВ имеют такой же вид; б) АВ = ВА. 1.13.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
