Том 1 (1113039), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Нетрудно показать, что эта форма записи годится и в случае, когда среди аз есть равные нулю. В этом случае соответствующая величина а, в ответе отсутствует. ° Чтобы получить общее выражение для определителя произвольного порядка и, поступают следующилг образом; а) вычислив несколько определителей низших порядков, устанавливают закономерность и находят предполагаемое искомое выражение; б) затем доказывают гипотетический ответ методом математической индукции.
В обоих пунктах "а" и чбь существенно используется рекуррентное соотношение. Пример 7.3. Вычислить определитель Р ьг такого же вида, что и в примере 7.2, но произвольного (и + 1)-го порядка. Решение. Как было найдено в прилзере 7.2, Рг = — 1, Рз = — аг— аг = — агаг( 1 + — '), Р4 = — агагаз( — + 1 + 1 ). Покажем, что Р эг = 1 1 'г 1 42 3 а1аг...а '( + + ° .-+ ) 1 1 1 4„ / ' Пусть Р = — азаг...а„г( —,' + —,' +...
+ —,' ). Тогда в силу (7.2) Р тг= — агав...а га ( — + „1 +...+ —,) — агаг...а 11 1 1 По поводу случая, когда среди а, есть равные нулю, см, замечание в решении примера 7.2. ° Особенно удобен метод рекуррентных оютношений для вычисления определителей игрехдиагональных матриц, т.е. матриц вида аз Ьг О О ...
О О О сг аг Ьг О ... О О О О сг аз Ьз . О О О О О О О ... а г Ь-г О О О О О ... с„г а„з Ь„ О О О О .. О с„г а„ Для определителей Р„трехдиагональной матрицы имеет место простое рекурреитное соотношение Р„= а„Р„1 — Ь„гс„1Р г, и > 3, (7.3) которое может быть получено разложением определителя по последнему столбцу (строке) с последующим разложением алгебраического дополнения к ь 1 (с 1) по последней строке (столбцу).
59 37. Вычисление определителя П ример 7.4. Вычислить определитель 2 1 О ... О 1 2 1 ... О О 1 2 ... О О О О ... 2 (7.4) 0. = рР., ~- 40. г и > 3, где р и 4 — постоянные коэффициенты (не зависящие от и), то вычисление определителя Р можно свести к вычислению общего члена одной или двух геометрических прогрессий. Перепишем (7.4) в виде Р— сг0 1 = 13(0 1 — а01 — г), 0„— (30 1 = а(0 -1 — (30 — г), (7.5) где а + 13 = р, сг13 = — 4, т,е. а и (3 — корни уравнения х — рх — д = О.
г Очевидно, формулы (7.5) описывают геометрическую прогрессию. Пусть о ф;3. Тогда по формуле и-го члена геометрической прогрессии из равенств (7.5) находим Є— аР 1 = (3" г(Рг — а01), Р— ~30 1 = о" (Рг — 3301), откуда (решая эту систему) получим В = ого + сг)3 (7.6) где Рг — (301 Рг — аР1 а(а — д) (3(а — д) Выражение (7.6) легко заполгинается.
Оно выводилось для и > 2, но непосредственно проверяется для и = 1 и и = 2. Формулы (7.7) же не удобны для запоминания, значения с1 и сг проще находить из системы уравнений, определенной начальными условиями: 01 = с1 а + сг(3, Вг = сгог+ сгд'. Если а = б, то два равенства (7.5) сливаются в одно 0„— аР 1 = а(0„1 — а0 -г), Решение. Согласно (7.3) имеем Р„= 2Р„1 — Р„г, п > 2. Найдем несколько определителей низших порядков: 01 = 2, Рг = 3, Рг — — 20г — Р1 = б — 2 = 4.
Естественно предположить, что Р„= и + 1. Это предположение легко доказать методом математической индукции (если Рг = х ч- 1, г1с < и, то Р„= 20 1 — Р г = 2п — (и — 1) = п + 1). ° Не всегда удается по значениям 01, Вг, Рг и т.д, установить закономерность и выяснить вид общего выражения для определителя произвольного порядка и, Однако, если рекуррентное соотношение имеет вид Глава П.
Определители 60 откуда по формуле и-го члена геометрической прогрессии получаем Рь = а (пег + сг) (7.8) где константы сг и сг находятся из начальных условий ( == Р = а(с +сг), Рг = а~(2сг + сг). Пример 7.5. Вычислить определитель 9 5 0 0 ... 0 4 9 5 0 ... 0 0 4 9 5 ... 0 0 0 0 0 ... 9 2 — 1 0 0 ... 0 — 1 2 — 1 0 ... 0 0 -1 2 — 1 ...
0 0 0 0 0 ... 2 Р е ш е н и е. Согласно (7.3) рекуррентное соотношение для этого определителя имеет вкц Р„=2Рч г — Р г, п~3. Решая уравнение хг — 2х + 1 = О, находим а =;9 = 1. Следовательно, сд -ь сг = 2, Р = пег +сг (в силу (7.8)), где ~ 2 3' те. сг = сг = 1. Таким обрезом, Р = и+ 1. ° Определитель Вандермонда. Определителем Вандермонда называ- ется определитель 1 хг х, г 1 хг хг г -1 хг -1 х Р(хмхг,,х ) = 1 х хг Р е ш е н не. Согласно (7 3) рекуррентное соотношение для этого опреде- лителя таково Рь=9Р— г — 20Р г, п>3. По значениям Рг = 9, Рг = 61, Рз = 9Рг — 20Рг = 369 трудно уловить закономерность.
Так как рекуррентное соотношение для Р„имеет вид (7.4), применим описанный выше алгоритм. Найдем корни а, Д уравнения х 9х+ 20 = 0: а = 4, б = 5. По формуле (7.6) имеем Р„= сг 4" + сг 5", где ( ., 4сг+ 5сг = 9, т.е. сг = -4, сг = 5. Таким образом, Р = 5й ы — 4"т'. ° Пример 7.6. Вычислить определитель 97.
Вычисление определителя Покажем, что он равен произведению всевозможных разностей вида (х,— х),з>11 )2(хз,хг,...,х„) = и (х, — хг). (7.9) »*1>1 Действительно,при и = 2 утверждение очевидно. Пусть оно верно для определителей (и — 1)-го порядка. Тогда, вычитая из каждого столбца,начиная с последнего, предыдущий столбец, умноженный на Х1, получаем 1 О 1 х2 х1 1 хз — х1 — 1 -2 Х вЂ” ХЗХ -г Хз ХЗХЭ Хг Х1Х2 2 ХЗ вЂ” ХЗХЗ 2 3' (х1, хг,..., х„) = 1 х„— х1 2 -1 -2 Մ— ХЗХ„... Մ— ХЗХ„ После разложения этого определителя по 1-й строке и вынесения из всех строк получившегося определителя общих множителей хг — х1, хз — х1,..., х — х1, получим рекуррентное соотношение ~l(Х1,Х2,...,Х ) = (Х2 — Х1)(ХЗ вЂ” Х1)...
(Մ— Х1)1/(Хг,хз,...,Х ), откуда с учетом индуктивного предположения следует (7.9). Полезно произведение (7.9) "увидетьзв развернутом виде; (х 1 — х1)(х — хз). (х„1 — хг) (х„— хг) 3'(ХЗ Хг Х ) — (Х2 — Х1)(ХЗ вЂ” Х1)(ХЗ вЂ” Х1) (хз — хг)(хз — хг) (х — х 1). Число множителей в этом произведении равно п(п — 1)/2, поэтому 4/(х1 х2,«х ) — ( 1) П (х' х) »*1>1 5 — Л 1 1 5 — Л 1 1 1 1 — 1 -1 3 — Л -1 — 1 — 1 — 1 3 — Л Решение. Вычитая из всех строк последнюю, получим 4 — Л О О О 4 — Л О О О 4 — Л 1 1 — 1 Л вЂ” 4 Л вЂ” 4 Л вЂ” 4 3 — Л Метод выделения линейных множителей.
Метод применяется для вычисления определителя, элементы которого зависят от параметра. Он основан на выполнении элементарных преобразований, формирующих в какой- либо строке (столбце) матрицы общий множитель вида Л вЂ” а (где Л вЂ” параметр), который выносится за знак определителя. При этом определитель "освобождается" от параметра и дальнейшее его вычисление упрощается. Метод особенно удобен для решения уравнений Р(Л) = О, где Р(Л)— определитель матрицы, зависящий от параметра Л.
Линейный множитель Л вЂ” а сразу дает корень этого уравнения: Л = а. Пример 7.7. Решить уравнение Глава П. Определители 62 Вынесем из первых трех строк общий множитель (Л вЂ” 4), тогда уравнение перепишется в виде — 1 О О 1 (Л вЂ” 4) О О 1 1 =О. 2 Π— 1 О 1 1 1 — 1 3 — Л (Л вЂ” 4) / 1 5 Л (=О, т.е, (Л вЂ” 4) =О. Таким образом, уравнение имеет единственный корень Л = 4 кратности 4.
° Представление определителя в виде суммы или произведения определителей. Метод прилгеняется в тех случаях, когда исходный определитель можно разложить в сумму или произведение определителей, каждый из которых легко вычисляется. П р и м е р 7.8. Вычислить определитель 14-хгуг 1+хгуг ... 1+хгу„ 1+х2У1 1+х2У2 .. 1+х2У 1+х у1 1+х„уг ... 1+х у Решение. Воспользуемся линейностью определителя по 1-лгу столбпу (свойство 4) и представим определитель Р„в виде сумлгы двух определителей: 1 1+ хгуг ... 1+ хгу 1 1+Х2У2 ... 1тхгу 1 1+х„уг ... 1+х„у„ х1У1 1 + х1У2 ° ° 1 + х1у Х2У1 1 + Х2У2 ... 1 + Хгу~ х уг 1+хчуг ...
1+х у в первом определителе из всех столбцов, начиная со 2-го, вычтем 1-й столбец, а во втором определителе воспользуемся линейностью по 2-му столбцу и т.д, 1 хгуг ... хгу 1 Х2У2 ... Х2У 1 х уг .. хчуч хгу1 1 ... хгу„ хгуг 1 ... хгу„ хгуг хгуг ...
1 Х2У1 Х2У2 «1 ХУ1 1 ... Ху„ х„уг х„уг ... 1 хгуг хгуг .. хгу„ Х2У1 Х2У2 ... Х2У О, так как каждый определитель имеет пропорциональные столбцы (если п > 2) и поэтому равен нулю. хг)(У1 — уг); Р = О при п > 3. ° ху1 хуг ... ху Итак, Р1 = 1+ хгуг; Рг = (хг— После прибавления к 4-й строке 1-й и 2-й строк и разложения по первым двум столбцам получим уравнение 63 87. Вычисление определителя Пример 7тл Определитель Р„из примера 7.8 может быть представлен и как произведение двух определителей 1 1 ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
