Том 1 (1113039), страница 11
Текст из файла (страница 11)
1 Уг Уг У О О ... О 1 хг О ... О 1 хг О,. О 1 х„О ... О О О ... О что сразу дает ответ, полученный в предыдущем примере. ЗАДАЯИ Применяя метод Гаусса~, вычислить опр еделители. 1 1 1 1 3121 1311 4131 3 — 9 — 3 †— 5 8 2 7 — 4 5 3 2 — 7 8 4 5 7.5. 7.6. 27 44 40 55 20 64 21 40 13 -20 — 13 24 46 45 — 55 84 0 2 3 0 2 1 1 2 3 0 1 0 1 2 3 1 0 0 1 2 1 0 0 0 1 7.11. 7.10. 1 В ряде случаев целесообразно предварительно уменьшить абсолютную величину элементов матриц элементарными преобразованиями. 1 1 1 1 1 — 2 1 1 1 1 3 1 1 1 1 — 4 2 — 5 1 2 — 3 7 — 1 4 5 — 9 2 7 — 4 б — 1 — 2 3 — 3 — 2 — 5 2 5 4 6 5 5 8 7 4 4 5 6 1 3 5 7 2 4 6 8 3 5 7 9 65 74 83 92 3 б 5 б 4 8 15 12 14 10 6 12 13 9 7 7 12 11 11 8 7 14 11 13 9 2 — 5 3 — 4 — 4 9 — 3 2 4 3 7 5 -8 — 5 — 5 3 0135 1013 3101 5310 Глава 11.
Определители 1 1 1 1 1 1 3 1 2 1 7.12. 1 1 0 1 1 1 4 1 5 1 б 1 1 1 7 7.13. 24 11 13 17 19 75 24 45 57 65 61 11 14 50 56 86 31 20 30 71 80 24 45 57 70 . 7.15. 7. 14. 1 11 1 13 1 1111 1112 1113 1114 2111 2112 2113 3114 3111 3112 3113 4114 4111 4112 4113 6114 2000 2001 2002 2003 1999 2001 2000 1998 1999 1999 2002 1998 2002 2004 2003 2009 . 7.17. 7. 16.
Вычислить определители2, приводя их матрицы к треугольному виду. 1 2 3 4 5 5 1 2 3 4 4 5 1 2 3 3 4 5 1 2 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 2 1 2 2 2 3 3 1 3 3 . 7.19. 4 4 4 1 4 5 5 5 5 1 7.18 0 1 1 ... 1 1 1 0 1 ... 1 1 1 1 0 ... 1 1 5 4 4 ... 4 4 4 5 4 ... 4 4 4 4 5 ... 4 4 7. 20 7.21 4 4 4 ... 5 4 4 4 4 ... 4 5 1 1 1 ... 0 1 1 1 1 ...
1 0 и 1 1 ... 1 1 1 и 1 ... 1 1 1 1 и ... 1 1 1 1 ... 1 — и 1 1 ... — и 1 7.22 7.23 1 — и ... 1 1 — и 1 ... 1 1 1 1 1 ... и 1 1 1 1 ... 1 и т Всюду, где по виду определителя нельзя узнать его порядок, предполагается, что порядок равен и. 1 2 0 0 0 1 1 3 1 7 1 1 1 1 3 4 5 б 2 3 4 5 0 2 3 4 0 0 2 3 1 1 1 1 2 1 3 1 1 5 1 7 5 1 7 1 1 11 1 13 1 5 1 11 1 17 27. Вычисление определителя 05 ху00...00 Оху0...00 00ху...00 хаа...аа аха...аа аах...аа 7.
25 7.24 ааа...ха ааа...ах 0000...уО 0000...ху у000...0х 1 2 3... п п+1 — 1 0 3... и и+1 -1-2 0 ... п и+1 . 7.27. 7. 26. — 1 — 2 — 3... 0 п+1 — 1 — 2 — 3...— и 0 хг хз 2 2 ... 2 2 1 2 2 ... 2 2 2 2 2 ... 3 2 2 ао ач аг ... а„ ао х аг ... а„ ао аз х ... а„ . 7.29 7.28. ао а7 аг ... х 7.30 и 'и п ... и — 1 п ПП71...ПП 1 а7 аг ... а„ 1 аз + Ь7 аг ... а„ 1 а7 аг + Ьг ... а„ 7.32. . 7.33 1 а7 аг ...а„+Ь„ 1 ... 1 1 1 а7 ...
а7 а7 — Ь7 аз а2 ° ° ° а2 Ь2 а2 а2 7. 34. . 7.35. 0 0 О...х 3 — 427! 1 пп п2п пи 3 п и . 7.31 Х7 азг а7З ... ачя Хч Хг агЗ .. агп х1 х2 хз . ° ° аза и — 1 ... 2 2 2 2 ... 2 2 2 1 1 1 ... 1 1 Ь7а7а7... аз а7 Ь7Ьгаг... аг аг Ь| Ьг Ьз ...а„7а„7 Ь| Ьг Ьз Ьп а„ 011...11 10х...хх 1хО...хх 1хх...О х 1хх...х 0 ао а7 аг ...
а„ вЂ” хх0...0 0 — хх...О Глава 11. Определители и — 1 и и — 2 п — 1 п — 3 п — 2 и — 4 п — 3 1 х х,х ... х 1 и — 2 и — 1 п — 1 п и п и п 7. 37 и — 1пп... и и пп... п 1 Ь| 0 0 ... 0 — 1 1 — Ь Ь О ... О 0 1 1 — Ьт Ьз ... 0 0 0 О 7.38. Ь„ 1 — Ь„ 0 0 0 0 2)6 а+ (и — 1)6 0 0 а а+6 — а а 0 — а 7. 39 0 0 0 0 0 0 0 а — а~ а~ 0 ...
0 0 0 -аз аз ... 0 0 0 0 — аз ... 0 0 7.40 О 0 0 ... — а„а„ 1 1 1 ... 1 1 Вычислить определитель квадратной матрицы А по- злементы которой заданы условиями а; = пйп(г, 1). Вычислить определитель квадратной матрицы А по- элементы которой заданы условиями а; = птах(г, 1). Вычислить определитель квадратной матрицы А по- элементы которой заданы условиями а0 — — рг + д,1 + в, Т.41.
рядка п, 7.42. рядка и, 7.43. рядка п, 1 2 3 4 1 1 2 3 1 х 1 2 1 х х 1 1 2 3 2 3 4 3 4 5 0 0 0 0 а+26 0 а Ьп-1 — 1 а+ (и— 0 0 97. Вычисление определителя где р, д, е — вещественные постоянные. 7.44. Вычислить определитель квадратной матрицы А порядка и, элементы которой заданы условиями а, = г + 2 . 2 2 7.45. Вычислить определитель квадратной матрицы А порядка п, элементы которой заданы условиями а, = вбп(е' — 2).
7.46. Вычислить определитель квадратной матрицы А порядка п, элементы которой заданы условиями а;- = |е — Я. 7.47. Вычислить определитель квадратной матрицы А порядка и, элементы которой заданы условиями а, = ай л, где а ) О, а ~ 1.
Вычислить следующие определители трехдиагональных матриц. 7.49. 7.48 0 ... 0 0 1 ... 0 0 0 ... 0 0 7.51 7.50 0 0 0 ... 0 1 0 0 О...— 1 0 5 2 0 ... 0 0 2 5 2 ... 0 0 0 2 5 ... 0 0 7.52 7.53 0 0 0 ... 5 2 0 0 0 ... 2 5 0 0 0 ... 7 б 0 0 0 ... 2 7 13 8 0 0 ...
0 — 4 — 3 — 4 0...0 0 5 1 — 4...0 0 0 5 1...0 12 9 0... 0 0 412 9... 0 0 0 412. 0 0 7.54. з .7.55 0 0 0 0...1 — 4 0 0 0 0...5 1 0 0 0...12 9 0 0 О... 412 з Порядок определителя п > 3. 3 2 0 1 3 2 0 1 3 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 — 1 0 0 — 1 0 0 0 0 0 О 2 0 0 3 2 0 1 3 2 0 1 3 2 0 0 0 0 3 1 0 0 0 2 3 2 0 0 0 1 3 1 0 0 0 2 3 2 0 0 0 1 3 010...00 101...00 010...00 000...01 000...10 7 б 0 ... 0 0 2 7 б ...
0 0 0 2 7 ... 0 0 68 — 1 0 ... 0 0 2 — 1 ... 0 0 — 1 2 ... 0 0 7.57 4 0000...69 0000...16 0 0 ... 2 — 1 0 О...— 1 2 5 3 0 ... 0 0 0 0 2 5 3 ... 0 0 0 0 0 2 5 ... 0 0 О 0 7.58.4 0 0 0 ... 5 3 0 0 0 0 0 ... 2 5 3 0 0 0 0 ... 0 2 6 5 0 0 0 ... 0 0 1 2 7. 59. , 7.61 ь 7.60. 1+х х О О ... О О х 1+хе х 0 ... 0 0 О * 1+х ... О О 7. 62. 0 0 О 0 0 0 О ...
1+х2 х 0 ... х 1+х~ 2 — 1 7.56. а 1 0 0 0 0 1 а 1 0 0 0 0 1 а 1 0 0 0 0 1 а 1 0 0 0 0 1 а 1 0 0 0 0 1 а я Порядок определителя п ) 3. Ь Порядок определителя и > 4. Глава П. Определители — 3800...00 3190...00 0169...00 0016...00 2 4 0 0 0 0 1 2 4 0 0 0 0 1 2 4 0 О 0 0 1 2 4 0 0 0 0 1 2 4 О 0 0 0 1 2 7400...0000 — 2350...0000 0275...0000 0027...0000 0000...7500 0000...2750 0000...0272 0000...0043 37. Вычисление определителя 3200...0000...0000 1320...0000...0000 0132...0000...0000 Й строк 0 0 0 0 ... 1 3 2 0 ... 0 0 0 0 0 0 0 0 ... 0 2 5 3 ... 0 0 0 0 7.63 1 строк 0000...0000...2530 0000...0000...0253 0000...0000...0025 7.64.
Доказать, что п-й член ряда Фибоначчн равен определителю порядка п вида 1 1 0 ... 0 0 — 1 1 1 ... 0 0 0 — 11... 0 0 0 0 0 ... 1 1 0 0 О...— 11 Найти обшую формулу для и-го члена. 7.65. Доказать равенство сова 1 0 0 ... 0 0 1 2сово 1 0 ... 0 О 0 1 2сово 1 ... 0 0 = сов по, 0 0 0 0 ... 2сово 1 0 0 0 0 ... 1 2сова определитель в левой части которого — порядка и. 7.66. Доказать равенство, не вычисляя самих определителей: а1 Ь1с1 0 0 ...
0 0 1 аз Ьгсе 0 ... 0 0 0 1 аз Ьзсз ° 0 0 а1 Ь1 0 0 ... О 0 с1 аз Ьз 0 ... 0 0 0 сз аз Ьз ... 0 0 0 О 0 О...а„15„1 0 0 0 О...с„1 а„ 0 0 0 0 0 0 0 ... а„1 Ь„1с„1 0 ... 1 а„ ~7. Вычисление олределителя ао 1 2 ... п 1 а~ О ... О 7.74. 1 О аз ... О 7.75. 1 О О ... а„ со 1~ 6 а~ с~ О ... О аз О сз ... О 7.75.1. а„ О О ... с„ ао — 1 О ... О О а~ х — 1 ...
О О аз О х ... О О ао~ О О ... х а„О О ... О 1 2 3 ... а — 1 — 1 х О ... ΠΠ— 1 х ... О О О О ... х О О О ... — 1 О и и — 1 и — 2 — 1 х ΠΠ— 1 х 7.78. О О О ... х О О О О ... — 1 х а~ -аз О ... О О О аз -аз О О О О аз О О О ...
а„~ -а„ 1 ... 1 1+а„ О О 1 1 п О О 2 1 О О О О с, Ь Ь ... Ь а с~ О ... О а О сг О а О О ... с„ Глава 11. Определители ао а1 а2 ... а„ 1 а„ вЂ” у1 х1 0 ... О 0 0 — у2 х2 ... 0 0 7.80 0 0 0 ... х„1 0 0 0 О ... — у„х„ Ь вЂ” 1 0 0 ... 0 0 Ьх Ь вЂ” 1 О ... О 0 Ьх2 Ьх 6 — 1 ... О 0 6х" ' Ьх" 2 l х" з Ьх"-4 . Ь -1 Ьх" Ьх" 1 Ьх" 2 Ьх" з ...
Ьх 6 Используя значение определителя Вандермонда, вычислить. 1 1 1 ... 1 22 2п 3 32 3а 7.82. 1 и+1 (и+1)2 ... (и+1)й ао 1а 1)п 1а п)в а" 1 (а — 1)" ' ... 1а — п)" 7.83. а а — 1 ... а — и 1 1 ... 1 (х + а1)" (х + а1)" 1 ... х + а1 1 (х + а2)" (х + а2)" 1 ... х + а2 1 7.84. х+ оп+1 1 7.85 о-1+ в — 2 в — 1+ п-2 в — 1+ о-2 Х1 Х1 Х2 Х2 ' ' Хв Хо (Х + ан+1) 1 Х1+ 1 Х1+ х1 2 34 .2 (х + а„+1)" 1 1 х2+1 Х2+ Х2 Х2 3+ Х22 1 х„+1 х„+ х„ 2 х~ + х~~ 27.
Вычисление олределителя созп 1 «р1 созп г «р1 ... соз р1 1 соз «рг соз «рг ... соз«рг 1 7.86 СОБ«Рп 1 СОБп 1«рп СОБ" г рп .. 1 1 81П «Р1 81П «Рг Бш «р1 81п «рг 81П «Р1 81П «Рг ... 81П «Рп (2п — 1)п (2п — 2)п ... пп (2п)"' ~2п — 1)п 1 (2п — 2)п 1 пп 1 (2п)п 7.88.
2п — 1 1 2п — 2 ... п 2п 1 ... 1 1 1 11(Х1) У2(Х1) ° ° зп — 1(Х1) Их) Ьж 7.89 1 Ь (Хп) Уг(тп) " 1п-1(Хп) где ях) = х" + а81х' ' + аигх' г +... + аБц,. Х1 Хп хп — 1 Хп 2 хп 7.90. п — 1 хп п з 7.91 22п-1 82п-1 2п-1 ... и ап гбг ... Ь" а1 аг 2 ''' 2 и-2Ь2 Ь ««п 1 ап г 7.92. п п-1« и — 2«2 гп ап+1 а„ч1Ь„+1 ап+,Ьп+, ... "п+, Х1 — 1 хг — 1 Х1 Х2 хг хг г и-1 и-1 Х1 Х 1 2 3 2з гз а " 1Ь аг -1Ь 1 81П «Рп 81П Рп 2 Глава П. Определители 74 1 х хг .. х" г х" 2 2 г г 1 хг ... х" 1 1 1 хг ... х" 2 '' 2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
