Том 1 (1113039), страница 15
Текст из файла (страница 15)
9.79. Найти обратную для блочной матрицы где А и  — квадратные матрицы одинакового порядка. 9.80. Для матрицы А порядка и — 1 известна обратная матрица А ~. Найти обратную матрипу для окаймленной матрицы В порядка и вида предполагая ее невырожденной (здесь т,у — вектор-столбцы размера (и — 1) х 1, а а — вещественное число).
9.81. Доказать, что если матрица А невырождена, то определитель квадратной блочной матрицы С Р может быть вычислен по формуле е1ееХ = )А! (Р— СА ~В). 9.82. Пусть матрицы А, В, С, Р— квадратные одного порядка. Доказать, что если матрица А невырождена и перестановочна с матрицей С, то справедливо равенство с1е1 ~ С = е1е1(АР— СВ). ~ А В Верно ли зто равенство, если матрица А вырождена? 9.83. Доказать, что для квадратной блочной матрицы Глава П. Определители 100 в которой А и Р— квадратные блоки соответственно порядков и и т, обратной является блочная матрица В Я где Р=(А-ВР 1С) ', Я= — РВР В= — Р 1СР, Я=Р ' —.0 1СЯ или Я= 10 — СА 'В) ', В= — ЯСА ' Р=А ' — А 'ВВ, Я= — А 'ВЯ.
Предполагается, что все участвующие в этих соотношениях (которые называются формулами Фробениуса) обратные матрицы существуют. 9.84. Пусть А, В, С,.Р— невырожденные матрицы одного порядка. Доказать, что ! А В1 ~ (А — ВР |С) 1 (С вЂ” РВ ~А) 1 С Р~ ~( — АС 'Р) ' (Р— СА 'В) Предполагается, что все участвующие в правой части этого равенства обратные матрицы существуют. 9.85. Матрица А называется подобной матрице В (что обозначается символом А = В), если существует невырожденная матрица Я такая, что А = Я ~ВВ. Матрица Я при этом называется матрицей преобразования подобия или тпрансформирующей матрицей.
Доказать, что отношение подобия на множестве всех невырожденных матриц одного порядка обладает следующими свойствами: а) АюА; б) А-В=~В=А; в) А=В, В=С=~А=С. 9.86. Доказать, что если хотя бы одна из двух матриц А, В невырождена, то матрицы АВ и ВА подобны. Верно ли это утверждение, если обе матрицы вырождены? 9.87. Показать, что скалярная матрица подобна только самой себе. Доказать, что этим свойством обладают только скалярные матрицы. 9.88. Показать, что матрица А переходит в подобную, если над ней выполняется любое из следующих преобразований: ~9. Обратнвл матрица 101 а) г-я строка умножается на число а ф О, а затем г-й столбец умножается на число 1/а; б) к г-й строке прибавляется зя, умноженная на число ~3, а затем из у-го столбца вычитается З-й, умноженный на 13; в) переставляются г-я и 1-я строки, а затем г'-й и ~-й столбцы; г) каждый элемент матрицы заменяется на симметричный ему относительно "центра" матрицы. 9.89.
Пусть матрицы А и В подобны. Однозначно ли при этом определена матрица преобразования? 9.90. Доказать, что преобразование подобия сохраняет следующие свойства матриц: а) невырожденность; б) нильпотентность; в) периодичность; г) ортогональность. 9.91. Пусть  — матрица, подобная симметрической матрице. Доказать, что для симметричности матрицы В достаточно, чтобы матрица преобразования подобия была ортогональной.
Является ли это условие необходимым? Сформулировать и доказать аналогичное утверждение для кососимметрических матриц. 9.92. Матрица В получена из матрицы А преобразованием подобия. Выяснить, верны ли следующие утверждения: а) если А — треугольная матрица, то  — также треугольная; б) если А — стохастическая матрица, то  — также стохастическая. 9.93. Пусть матрицы А и В подобны и В = 5 'АЯ. Доказать, что: а) бе1В = с1е1А; б) В = 1 тогда и только тогда, когда А = 1; в) В = А тогда и только тогда, когда А и В перестановочны; г) В" = В ~А" В для любого Й е М; д) 1'(В) = Б '1(А)Б для любого многочлена ~Я; е)В ~=ВА 'В "; ж)В=ВАВ '. 9.94. Матрицы А и В подобны соответственно матрицам С и Р с одной и той же матрицей преобразования В.
Доказать, что: а) произведения АВ и СР подобны; б) коммутаторы [А,В] и ]С,Р] подобны; 102 Глава П. Определители в) групповые коммутаторы (А, В) и (С, Р) подобны; г) произведения Йордана А * В и С е Р подобны. 9.95. Пусть матрицы А е Я""" и В е И к подобны соответственно матрицам С и Р. Доказать, что кронекеровы произведения А ® В и С® Р также подобны. 9.96. Пусть матрица А = А1г) Е Х>""" невырождена при некотором значении ~: Доказать, что при данном значении 1 справедливо следующее правило дифференцирования обратной матрицы: й ~Й Глава Ш. Множества и отображения ~10.
Операции над множествами Два множества Х и У называются равными, если каждое из них является подмножеством другого, т.е. Г ХСУ, Х= У с=' ) у с Х' Обаединением множеств Х и У называется множество Х ГЗ У = (х ) х Е Х илн х й У), т.е. х бХГЗУ ",= ° ~ б у' хйХ, Пересечением множеств Х и У называетсл множество Х Г1У = (х ) х б Х х б У), т.е. хиХПУ е ' ) хсу Г хбХ, Разностью множеств Х и У называется множество Х1У= (х(хе Х х фу). Если У С Х, то разность Х 1 У называется дополнением множества У до множества Х и обозначается символом У.
Декартовым произведением лГножеств Х и У называется множество Х» У = ((х, р) ( х б Х р б У). Разбиением злножестпва называется представление множества в виде объединения непустых подмножеств, не имеющих попарно общих точек. Пример 10,1. Доказать, что если подмножества Е и Г множества А удовлетворяют соотношениям ЕГзГ=А, ЕпГ=Я, то каждое из множеств Е и Г является дополнением другого до А. Решение. Докажем, что Г = Е.
Для этого покажем, что имеет место двустороннее вложение; Г С Е С Г. С одной стороны, если х б Г, то х б А (так как А = Е ГЗ Г) и х ф Е (так как Е П Г = Ы). Следовательно, х б Е. С другой стороны, если х б Е, то х б А, х р Е. Так как Е П Г = З, то х б Г. ° П ри мер 10.2. Для подлГножеств Е и Г множества А доказать, что Е п Г = Е ГЗ Г. (10.1) Решение. Проверим двустороннее вложение для множеств из (10.1). Имеем хбЕПГ <=~ ~ х,Г Г хсЕ, 104 Глава Г11. Множества и отображения Следовательно, хЕЕйЕ г=ь ~ ь ' г=ь * -' г=» хЕЕОЕ. ° Характеристической функцией подмножества Е множества А называется функция е(х), определенная для любого х е А соотношением 1, х ЕЕ, е(х) = » (10.2) Очевидно, что два множества совпадают тогда и только тогда, когда равны их характеристические функции. Пример 10.3. Доказать, что если е(х) и 1(х) — характеристические функции подмножеств Е и Е множества А, то е(х)1(х) — характеристическая функция их пересечения Е й Е.
Решение. Пусть х(х) — характеристическая функция Е й Е. Тогда, если х е Е й Е, то у(х) = 1. При этом х е Е, х е Е и е(х) = 1, 1(х) = 1. Следовательно, е(х)1(х) = 1 = »»(х). Если же х Г» Е й Е, то»»(х) = О. При этом либо е(х) = О, либо 1(х) = О. В любом случае е(х)1(х) = 0 = х(х). Таким образом, для любых х е А функции»»(х) и е(х)1(х) принимают одинаковые значения.
Следовательно, х(х) = е(х)1(х). ° Пример 10.4. Доказать, что (Ей Е) й С = Ей(Ей С) (ассоциативность пересечения). Решение, 1-й способ. Так же, как и в примере 10.1, проверяется двустороннее вложение множеств, д-й способ. Для доказательства равенства множеств достаточно проверить совпадение их характеристических функций.
Обозначив через е(х), 1(х), д(х) характеристические функции Е, Е, С соответственно и используя пример 10.3, получим для любого х е А (е(х)1(х))д(х) = е(х)(1(х)д(х)) (в силу ассоциативности умножения в К). Я-й способ. Равенство множеств можно проверить с помощью так называемых кругов Эйлера: Е Г» (Г Г» С) (ЕГ»Е) Г»С 105 910. Операции над множествами ЗАДАЧИ 10.1. Пусть е(х) и 1(х) — характеристические функции под- множеств Е и Е подмножества А. Доказать, что 1 — е(х), е(х)г"(х), е(х) + 1(х) — е(х)~(х), е(х) — е(х)1(х) являются характеристическими функциями множеств Е, Е П Р, Е 0 Е и Е 1 Е соответственно.
10.2. Пусть Е и Š— подмножества множества А . Доказать, что а) Е Н Р = Е П Е; б) Е Г~ Р = Е 0 Е; в) Е '~ Е = Е 0 Е; г) Е 1 7 = г '1 Е. 10.3. Докыать, что соотношение А с В эквивалентно любо- му из трех соотношений А0В=В; АПВ=А; АПВ=ю. 10.4. Доказать, что а) (Е0 Е) 0С = Е0(Е0 С) (свойство ассоциативности объ- единения); б) (Е П Е) П С = Е П (Е П С) (свойство ассоциативности пе- ресечения); 10.5.
Доказать,что а) (ЕПЕ)0С = (Е0С)П(Е0С) (свойство дистрибутивности объединения относительно пересечения); б) (Е0 Е) П С = (Е ПС) 0 (Е П С) (свойство дистрибутивности пересечения относительно объединения). 10.6. Пусть Е, (1 = 1, п) — подмножества множества А. До- кыать, что а) Е~ 0 Ез 0... 0 Е„= Ь~ П Ез П... П Е„; б) Е1ПЕгП ПЕп =Е10Ез0...0Ев, 10.7. Пусть Е; (1 = 1,п), Р— подмножества множества А. Доказать, что а) (Е~ 0 Ез 0...
0 Е„) П Е = (Е~ П Р) 0 (Ез) 0... 0 (Е„П Е); б) (Е~ П Ез П... П Е„) 0 г" = (Е~ 0 Е) П (Ез 0 г'') П... П (Е„0 г") . 10.8. Доказать, что операция вычитания множеств не обла- дает свойством ассоциативности, показав, что равенство (Е1Е)1С = Е1(Е1С) выполнено тогда и только тогда, когда множества Е и С не пе- ресекаются. 10.9. Доказать, что а) Е'1 (ЕПС) = (Е'1 Р) 0(Е'1С); Глава Ш. Множества и отображения 106 б) Е'1 (Е(д С) = (Е г1 Е) Г1 (Е )С); в) (Е Г1 Е)~1 С = (Е '( С) Г1(Е ~ С); г) (Е 0 Е) 11 С = (Е~1 С) О (Е'(С). 10.10.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
