Том 1 (1113039), страница 19
Текст из файла (страница 19)
13.12. Доказать, что медианы произвольного треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2: 1, считая от вершины. 13.12.1. В треугольнике АВС точка Р делит отрезок СВ в отношении 2, медиана СМ пересекается с прямой А.Р в точке О. В каком отношении точка О делит отрезок АР 2 13.12.2. На сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС взяты соответственно точки Сы А~ и В~ такие, что (АВС~) (ВСА~) = (САВ~) = 2. Отрезок АА~ пересекается с отрезками ВВ~ и СС~ соответственно в точках М и Ж.
Найти отношение АМ: ММ; МАп 13.13. Векторы АВ = р и АЕ = о служат двумя смежными сторонами правильного шестиугольника АВСРЕЕ. Выразить через р и о векторы ВС, СР, РЕ, ЕЕ. 122 Глава 11'. Введение в теорию линейных пространств 13.14. Доказать, что сумма векторов, идущих из центра правильного многоугольника к его вершинам, равна О.
13.15. Доказать, что вектор, идущий из произвольной точки плоскости в центр правильного многоугольника, есть среднее арифметическое векторов, цлущих из этой точки к вершинам многоугольника. 13.16. В треугольнике найти точку, для которой сумма векторов, идущих из этой точки к вершинам треугольника, равна О. Единственна ли такая точка? 13.16.1. Решить задачу, аналогичную задаче 13.16, для параллелограмма. 13.16.2. Решить задачу, аналогичную задаче 13.16, для произвольного четырехугольника. 13.17.
От точки О отложены два ненулевых вектора ОА = а и ОВ = Ь. Найти какой-нибудь вектор ОМ, идущий по биссектрисе угла АОВ. 13.18. В треугольнике АВС проведена биссектриса АВ угла А. Выразить вектор АП через векторы АВ и АС. 13.19. В треугольнике АВС биссектрисы АЛ и ВК пересекаются в точке О.
Выразить векторы АО и ВО через векторы Ь = АВ и с = АС, если известны длины сторон треугольника: а = ~ВС(, Ь = (АС(, с = (АВ!. Вывести отсюда теорему о точке пересечения биссектрис в треугольнике. 13.20. Через точку Р медианы СС~ треугольника АВС проведены прямые АА~ и ВВ~ (точки А~ и В~ лежат на сторонах ВС и СА). Доказать, что векторы А~В~ и АВ коллинеарны. 13.21. а) Точки А, В и С лежат на одной прямой, а точки Ам В~ и С~ — на другой прямой. Доказать, что из коллинеарности АВ~ и ВАн АС~ и СА~ следует коллинеарность ВС~ и СВп б) Точки А, В и С лежат на одной прямой, а точки Ам В~ и С~ таковы, что пары векторов АВ~ и ВАм АС и САм ВС~ и СВ~ коллинеарны.
Доказать, что точки Ам В~ и С~ лежат на одной прямой. 13.22. Пусть АВ = а, АС = Ь вЂ” неколлинеарные векторы н М вЂ” точка на прямой ВС. Доказать, что АМ = а а+ ~3Ь, где о + В = 1. Что можно сказать о числах а и ~3, если точка М лежит: ~13. Геометрические векторы 123 а) на стороне ВС; б) внутри треугольника АВС; в) вне треугольника АВС? 13.23. Пусть АВ = а, АС' = Ь, АР = с — некомпланарные векторы и М вЂ” точка плоскости, проходящей через точки В, С и Р. Доказать, что АМ = о а+ фЬ + ? с, где о + р + ? = 1.
Что можно сказать о числах а, ф и?, если точка М лежит: а) на грани ВС.Р; б) внутри тетраэдра АВСР; в) вне тетраэдра АВСР? 13.24. На трех некомпланарных векторах АВ = р, АР = о, АА' = г построен параллелепипед АВСРА'В'С'Р'. Выразить через р, о и г векторы, совпадающие с ребрами, диагональю параллелепипеда и диагоналями граней этого параллелепипеда, для которых вершина А' служит началом. 13.25. В тетраэдре АВСР даны ребра, выходящие из вершины А; АВ = Ь, АС = с и АР = д.
Выразить через эти векторы остальные ребра тетраэдра, медиану РМ грани ВСР и вектор А~, где Я вЂ” точка пересечения медиан грани ВСР. 13.26. Дан тетраэдр ОАВС. Полагая ОА = а, ОВ = Ъ и ОС = с, выразить через а, Ь и с векторы МИ, РЯ и ВЯ, в которых М, Р и  — середины ребер ОА, ОВ и ОС, а М, Я и Я вЂ” середины соответствующих противоположных ребер.
13.27. Дан тетраэдр ОАВС. Полагая ОА = а, ОВ = Ь и ОС = с, выразить через а, Ь и с вектор ЕГ, в котором Š— середина ребра ОА, а Š— точка пересечения медиан треугольника АВС. 13.28. Даны радиус-векторы гы гз, гз трех последовательных вершин А, В и С параллелограмма. Найти радиус-вектор четвертой вершины Р.
13.29. Зная радиус-векторы гм гз, гз вершин треугольника, найти радиус-вектор точки пересечения его медиан, 13.30. Зная радиус-векторы гы гз, гз трех последовательных вершин параллелограмма, найти радиус-вектор г точки пересечения диагоналей параллелограмма.
13.31. Даны три последовательные вершины трапеции А(г~), В(гз) и С(гэ). Найти радиус-векторы: гч четвертой вер- 124 Глава Л~. Введение в теорию линейных пространств шины Р, г' точки пересечения диагоналей и г" точки пересечения боковых сторон, зная, что основание АР в Л раз больше основания ВС. 13.32. Зная радиус-векторы гл, гв, го и гд четырех вершин параллелепипеда АВСРА'В'С'Р', найти радиус-векторы четырех остальных его вершин. 13.33. Радиус-векторы ОА = гм ОВ = гэ и ОС = гз служат ребрами параллелепипеда.
Найти радиус-вектор точки пересечения диагонали параллелепипеда, выходящей из вершины О, с плоскостью, проходящей через вершины А, В и С. 13.33.1. Зная радиус-векторы гм гз, гз, га вершин тетраэдра, найти радиус-вектор точки пересечения отрезков, соединяющих середины его противоположных ребер.
13.34. Известно, что (АВС) = Л. Найти (САВ). 13.35. Известно, что (АВР) = Л, (АВЯ) = р. Найти (РЩ), если точка В делит отрезок АВ в отношении и. 13.35.1. Известно, что (АВР) = Л, (АВ( 1) = р. Найти (АВВ), если точка В является серединой отрезка РЯ. 13.36. Доказать, что если точки К, Е, М, Ф делят в одном и том же отношении Л стороны АВ, ВС, СР, РА параллелограмма АВС.Р, то четырехугольник КЕМИ есть параллелограмм. Показать, что если Л ф 1 и четырехугольник КЕМИ является параллелограммом, то четырехугольник АВСР— также параллелограмм. 13.37. Дан тетраэдр АВСР. Найти точку М, для которой МА+ МВ + МС+ МР = О. 13.38.
От точки М отложены три ненулевых вектора х, у, я, сумма которых равна нулевому вектору. Зная углы а, В, ч между векторами у и и, я и х, х и у соответственно, найти отношения длин этих векторов ( х): ! у): ( я). 13.39. От точки М, лежащей в плоскости треугольника АВС, отложены три ненулевых вектора х, у, я, сонаправленных М 4, МВ, МС соответственно и таких, что х + у + я = О. Найти отношение длин этих векторов ! х): ~ у); ( я), если: а) точка М является центром окружности, описанной около треугольника АВС; б) точка М является центром окружности, вписанной в треугольник АВС; 125 З14.
Весцествениое линейное пространство в) точка М является точкой пересечения высот треугольника АВС, а сам треугольник АВС остроугольный. 13.40. Найти точку М, лежащую в плоскости треугольника АВС, если сумма трех ненулевых векторов с равными длинами, отложенных от этой точки и сонаправленных МА, МВ, МС соответственно, равна нулевому вектору.
13.41. Даны два треугольника АВС и А'В'С'. Выразить вектор ММ', соединяющий точки пересечения медиан этих треугольников, через векторы АА', ВВ', СС'. 13.42. В прямоугольном треугольнике АВС опущен перпендикуляр СН на гипотенузу АВ. Выразить вектор СН через векторы СЯ и СВ и длины катетов (ВС( = а н (СА! = Ь. 13.43. Зная радиус-векторы гп гз., гз вершин треугольника АВС и длины а, Ь, с сторон, противолежащим соответствующим вершинам, найти радиус-вектор г центра круга, вписанного в этот треугольник. 13.44.
Зная радиус-векторы гм гз, гз вершин треугольника АВС и его внутренние углы, найти радиус-вектор г основания перпендикуляра, опущенного из вершины А на сторону ВС. 13.45. Доказать, что отрезки прямых, соединяющих середины противоположных ребер тетраэдра, пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Доказать также, что в той же точке пересекаются отрезки прямых, соединяющих вершины тетраэдра с точками пересечения медиан противоположных граней, и делятся этой точкой в отношении 3: 1 (считая от вершин). 13.46.
Доказать, что каково бы ни было конечное множество точек Аы Ач,..., А„(на прямой, на плоскости илн в пространстве), существует и притом только одна такая точка М, что МА|+ МА2 +... + МА, = О. 314. Вещественное линейное пространство Непустое множество 1' называется естественным линейным простран- ством, если на нем заданы два закона композиции. внутренний закон композиции, называемый сложением и подчиненный аксиомам: 1) а + Ь = Ь+ а, Ча, Ь Е Р (акснома коммутатнвностн), 2) (а + Ь) + с = а + (Ь+ с), Ча, Ь, с е Ъ' (акснома ассоциативности), 3) йееУ:а+о=а,ЧаеУ, 126 Глава 1У. Введение в теорию линейных пространств 4)уаЕУ Б( — а)ЕУ;а+( — а)=б; внешний закон композиции, называемый умножением элемента а на число а е К и подчиненный аксиомам: б) 1 а = а, 'г'а Е У, 8) (ай)а = а(13а), га, Д б К, Ча Е У; и если эти законы связаны межлу собой аксиомами: Т) (а+ 11)а = аа + ба, га,1г б К, га б У (аксиома дистрнбутнвностн умножения на число относительно сложения чисел), 8) а(а ч- Ь) = аа + а6, 'га й К,Ча,Ь е У (аксиома дистрибутивности умножения на число относительно сложения элементов У).
Элементы линейного пространства называются векторами, а само линейное пространство называют также векторнъьи просглранством. Вектор д назынается нулевым вектором пространства, а вектор (-а)— противоположным к вектору а, Нулевой вектор обозначают также символом О. Линейной комбинацией векторов аы аг,..., аь линейного пространства с коэффициентами ам аг,, аг Е К называется вектор агаг + агаг +...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
