Том 1 (1113039), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Глава 1Ъ'. Введение в теорию линейных пространств В этой главе рассматриваются задачи, относящиеся к первоначальному опыту изучения линейных пространств. Понятие линейного пространства подготавливается геометрическими примерами — множествами векторов на прямой, на плоскости и в пространстве. Каждое из обсуждаемых здесь понятий — вещественное линейное пространство, линейная зависимость и ранг матрицы, базис и размерность линейного пространства, линейное подпространство и линейное многообразие — мотивируется как и-мерное обобщение соответствующих геометрических понятий.
Дальнейшее развитие теории линейных пространств будет дано в главе ХП. 813. Геометрические векторы Направленные отрезки. Упорядоченная пара точек (А, В) нвзываегся направленным отрезком с началом в точке А н концом в точке В. Обозначение: АВ. Если точки А и В совпадают, то направленный отрезок АВ называется нулевым и обозначается символом дл. Направленный отрезок АВ называется параллельным прямой 1 (плоскости Р), если либо он нулевой, либо прямая АВ совпадает с прямой 1 (соответственно лежит в плоскости Р), либо прямая АВ параллельна прямой 1 (соответственно плоскости Р) . О б о з н а ч е н и е: А В )) 1, А В ~ ~ Р.
Направленные отрезки А1Вы АзВз,..., АьВь называются коллинезрными (компланарными), если существует прямая (соответственно плоскость), которой параллелен каждый из этих отрезков. Длиной направленного отрезка АВ называется длина отрезка )АВ].
Как следует из определения, длина нулевого и только нулевого направленного отрезка равна нулю. Обозначение: ~АВ~. Ненулевые направленные отрезки АВ и СР называются одинаково направленными (сонаправленными), если лучи )АВ) и ТСР) имеют одинаковое направление, н противопаловюио направленными, если лучи тАВ) и ТСР) имеют противоположные направления. Обозначение: АВ Ц СР и АВ Т) СР соответственно. Прямая 1 с заданным на ней направлением называется осью.
Величиной направленного отрезка АВ на оси 1 называется число ТЩ),Г )АВ~, АВ ТТ 1, — )АВ), А)з Ц 1. 118 Глава 1Ъ". Введение в теорию линейных пространств Из определения вытекают следующие факты. !'. Нулевые направленные отрезки, и только они, имеют нулевую величину. 2'. (АВ) = — (ВА). Лемма Шаля. Нри любом расположении точек А, В и С на прямой имеет мес»по равенство (АВ) = (АС) + (СВ).
Равенство направленных отрезков. Направленные отрезки АВ и СР называются равными, если середины отрезков (АР) и (ВС) совпадают. Теорема 13.1. Направленные отрезки АВ и СР равны тогда и только тогда, когда они имею»п» 1) одинаковую длину: (АВ) = (СР( и, в случае !АВ! ~ О, е) одинаковое направление: АВ Ц СР. Теорема 13.2. Для любого направленного отрезка АВ и любой точки С существуетп, и при»лом единственнол, точка Р такая, что АВ = СР.
Т е о р е м а 13.3. Отношение равенства направленных отпрезков является отношением эквивалентности на множестве всех направленных отрезков. Свободный вектор. Класс эквивалентности направленных отрезков называется свободным вектором или просто векторам. Векторы обозначают строчными латинскими буквами а, Ь. Итак, вектор а = с)(АВ) состоит из всех направленных отрезков, равных АВ. Обычно вместо символа а = с! (АВ) используется символ а = АВ, который в зависимости от контекста читается как "вектор а, порожденный направленным отрезком АВ" или "вектор а, отложенный от точки А ". Длиной вектора а (вел»»ниной вектора а на оси) называется длина (соответственно величина) порождающего его направленного отрезка; векторы а», аг,..., аь называются коллинеарными (компланарными), если коллинеарны (соответственно компланарны) порождающие их направленные отрезки, векторы а и Ъ называются одинаково направленными (противоположно направленными), если одинаково (соответственно противоположно) направлены порождающие их направленные отрезки.
Очевидно, что эти определения корректны несмотря на произвол в выборе направленных отрезков. Вектор единичной длины называется единичным вектором. Сложение векторов. Сул»ма векторов а и Ь определяется следующим образолс От произвольной точки А откладывается вектор а, пусть  — конец этого вектора, т.е. а = АВ. Затем от точки В откладывается вектор Ь, пусть Ь = ВС, Суммой а+ Ь векторов а и Ь называется вектор, порожденный направленным отрезком АС. Это правило сложения векторов называется правилом треугольника.
Очевидно, что этот же вектор а ь Ь для неколлинеарных векторов а и Ь может быть получен как диагональ параллелограмма, построенного на векторах а и Ь, т.е. если в параллелограмме АВСР; а = А»э, Ь = АР, то 313. Геометри ческие векторы 119 а 4 Ь = АС. Это правило сложения векторов называется правилом параллелограмма. Теорема 13.4. Операция сломлен я векторов обладает следующими свойствамиг 1) а+ Ь = Ь + а, та, Ь (свойство коммутативности); 2) ( а+ Ь) + с = а+ ( Ь ч- с), та, Ь, с (свойство ассоциативности); Я) существует вектор О, называемый нулевым, такой, что а+ О = О+ а = а, г'а (свойство существования нейтрального элемента); 4) для любого вектора а существует вектор — а, называемый противоположным к вектору а, такой, что а+ ( — а) = О (свойстпво существования симметричного элсмента).
Очевидно, нулевым вектором О является класс эквивалентности нулевых направленных отрезков, а противоположным к вектору а = АВ является вектор — а = ВА. Свойство ассоциативности позволяет обобщить правило треугольника для сложения любого числа векторов. суммой векторов аг, аг,..., а„будет вектор, соединяющий начало и конец ломаной линии, последовательными звеньями которой служат слагаемые векторы аг, аг,, а . Отсюда, в частности, следует,что аг + аг Ч- .. + а = О тогда и только тогда, когда эта ломаная замыкается. Разностью векторов Ь и а называется вектор х такой, что а+ х = Ь. Обозначение: Ь вЂ” а.
Теорема 13.3. Для любых векторов а и Ъ существует, и притом единстпвенная, роэность Ъ вЂ” а. Очевидно, Ь вЂ” а = Ь+( — а). Правило параллелограмма сложения неколлинеарных векторов а и Ь позволяет построить и разность Ь вЂ” а как другую диагональ параллелограмма, те. если в параллелограмме АВСР; а = АВ, Ь = АР, то Ь вЂ” а = ВВ. Умножение вектора на число. Произведением вектора а на вещественное число а называется вектор Ь, удовлетворяющий следующим условиям: 1) ) Ь) = )а! (а! и,вслучае Ьф О, 2) Ь)1 а,еслиа>О,и Ь11 а,еслиа<0.
Обозначение: Ь = аа. Очевидно, что Оа = оо = О, ха, га Е К, Теорема 13.6. Операция умножен я вехтора на число обладает следующими свойствами: для любых векторов а, Ь и ~исел о, В е К 1)1.а= а; 2) (аВ) а = а(В а); б) (о + Д) а = а а+ Ва (свойство дистрибутивности умноженил на число относительно слоэкенил чисел); 4) а(а Ч- Ь) = па -> аЬ (свойство дистрибутивности умножения на число относительно сложения векторов). Радиус-вектор точки. Пусть в пространстве (на плоскости или на прямой) зафиксирована точка О. Тогда между точкалги пространства (плоскости или прялюй) и векторами можно установить взаимно однозначное соответствие, поставив в соответствие каждой точке А вектор гл = ОА.
Вектор гл называется радиус-векгпором точки А относительно полюса О. Тот факт,что точка А имеет радиус-вектор г, обозначается символом А(г). 12О Глава 1'у'. Введение в теорию линейных пространств гг + Лгг 1+Л (13.1) П р и м е р 13.1, В треугольнике АВС точка Р делит отрезок СВ в отношении 2, медиана СМ пересекается с прямой АР в точке О. В каком отношении точка О делит отрезок СМ? Р е шеи и е.
Обозначим ВМ = а, ВР = Ъ. Тогда АР = — 2 а+ Ь, СМ = — 3 Ь + а. Пусть АО = аАР и ОМ = ВСМ. Из треугольника АМО имеем: ОМ + а + АО = О, т.е. В(а — ЗЬ) + а+ а( — 2а+ Ь) = О или (В+ 1— 2а) а+(а — ЗВ) Ь = О. Отсюда и из линейной независимости векторов а и Ь следует, что 2а — 11 = 1, а - ЗВ = О. Следовательно, а = 3/5, В = 1/5. Так как ОМ = ВСМ, то СО = (1 — В)СМ. Это означает, что СО = ((1 — В)1В)ОМ. Таким образом, (СМО) = (1 — В) ф = 4.
° ЗАДАЧИ 13.1. Что можно сказать о векторах а и Ь, если: 1) | а+ Ь| = | а — Ь); 2) | а + Ь! = | а| — | Ь!; 3) а+ Ь = Л(а — Ь); 4) | а+ Ь! = | а| + | Ь); 5) |а — Ь! = |а|+ | Ь!; 6) — ? |а| |Ь! 13.2. Неколлинеарные векторы а, Ь и а+ Ь отложены от одной точки. Что можно сказать о векторах а и Ь, если вектор а+ Ь делит угол между ними пополам? 13.3. В треугольнике АВС проведена медиана АМ.
Выразить вектор АМ через векторы АВ и АС. 13.4. Доказать, что векторы АМ, В)ч', СК, совпадающие с медианами треугольника АВС, могут служить сторонами треугольника. 13.5. Точки М,, г = 1,6, являются серединами последовательных сторон выпуклого шестиугольника А1А2АзА4АЗАе. Доказать, что векторы М1М2, МзМ4, МЗМб могут служить сторонами треугольника. 13.6.
Пусть Е и Š— середины сторон АВ и СР четырехугольника АВСР, не являющегося параллелограммом; К, 1,, М Говорят, что точка М гг В делит ненулевой отрезок (АВ! в отношении Л, если АМ = ЛМВ. Обозначение: (АВМ) = Л. Заметим, что если точка М делит отрезок |АВ! в отношении Л, то она лежит на прямой АВ и Л 4 — 1. Теорема 13.Т. Пусть А(гг), В(гг), М(гг) — точки пространство и (АВМ) = Л. Тогда 121 ЯЗ. Геометрические векторы и Ф вЂ” середины отрезков АЕ, СЕ, ВЕ и РЕ соответственно. Доказать, что КХММ вЂ” параллелограмм.
13.6.1. Точки Е,Е,С,Н являются серединами последовательных сторон четырехугольника АВСР. Доказать, что точка пересечения отрезков ЕС и ЕН делит эти отрезки пополам. 13.7. Векторы АС = а и ВР = Ь служат диагоналями параллелограмма АВСР. Выразить векторы АВ, ВС, СР и РА через векторы а и Ъ.
13.8. В трапеции АВСР отношение основания АР к основанию ВС равно Л. Полагая АС = а, В.Р = Ь, выразить через а и Ь векторы АВ, ВС, СР и Х>А. 13.9. Точки Е и Е служат серединами сторон АВ и СР четы— ВС+ АР рехугольника АВСР. Доказать, что ЕЕ = 2 . Вывести отсюда теорему о средней линии трапеции. 13.10. Точки Е и Е служат серединами диагоналей АС и ВР четырехугольника АВСР, Доказать, что — р АВ+ СР АР+ СВ 2 2 13.11. Точки К и Х служат серединами сторон ВС и СР параллелограмма АВСР. Выразить векторы ВС и СР через векторы АК и АХ,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
