Том 1 (1113039), страница 20
Текст из файла (страница 20)
+ агам Разностью векторов Ь и а линейного пространства У называется вектор х б У такой, что а -6 х = Ь. Обозначение: Ь вЂ” а. Большинство задач этой книги сформулировано для следующих классических примеров линейных пространств. Пример 14.1. Геометрические пространства Ум Уг, Уг. Ыножества Ум Уг, Уг всех векторов на прямой, на плоскости и в пространстве соответственно образуют вещественные линейные пространства относительно стандартных операций сложения векторов и умножения вектора на действительное число. Это следует из теорем 13.4 и 13.8, н из того, что каждое иэ этих множеств замкнуто относительно обеих операций, содержит нулевой вектор О и противоположный вектор — а к любому своему вектору а.
Линейные пространства Уг, Уг, Уг будем называть гвомеглрическими пространсглвами. Для изображения геометрических пространств условимся все векторы откладывать от одной фиксированной точки О на прямой (на плоскости и в пространстве соответственно). Прн таком соглашении каждый свободный вектор будет однозначно определен своим концом. В этом смысле мы будем, говоря о свободном векторе, указывать только его конец. Пример 14.2. Пространство вещественных матриц К Как следует из теорем 1.1 и 1.2, множество К "" всех вещественных матриц размера т х п является вещественным линейным пространством. Пример 14.3. Арифметическое (координатное) пространство К".
Пусть К" — множество всевозможных упорядоченных наборов п действительных чисел, называемых арифметическими векпюрами (или и-мерными векторами). Если арифметические векторы записывать в виде а=(аг,...,а ),то К" = (а = (аг,...,а ) ~ а, ъ К, г = 1,п). Два арифметических вектора а = (аг,..., а ) и 6 = (Ьг,..., Ь„) называются равными, если а, = Ь„г = 1, п.
Операции над арнфметическилги векторами вводятся следующим образолс а -ь Ь = (аг ~- Ьг,..., а„ч- 6„), аа = (пам, оа ), а е К. 127 В14. Вещественное линейное пространство Нетрудно проверить, что и" — вещественное линейное пространство относительно введенных операций. Пример 144. Пространства многочленов. Многочленом и-й степени от одной переменной 1 с вещественными коэффициентами называется выраженне вида 1(1) = ас '; а»1 Ч- агг -Л + а 1", где а, Е К, л = О, и, г причем аь ~ О. Число О Е й по определению счнтается многочленом с нулевымн коэффициентами н называется нулевым много»левом.
Степень нулевого многочлена не определена. Два многочлена 7(1) = х~,"» со»1 н д(г) = 1 „сЬ»г называются равными, если п=т и а»=Ь», Ь=о,п. Суммой многочленов 1(1) = 2,"»' а»1 н д(1) = ~„с Ь»1 называется многочлен 6(1) = 2,'»лс(а» + Ь»)1, в котором недостающие коэффициенты (а» или Ь») заменяются нулями. Обозначение; 1(1) 4-д(1). Произведением многочлена 7(1) = 2 " а»1" на ~иола о Е К называется многочлен оУ(1) = ~„с ъа»г~. Нетрудно проверить, что множества М всех многочленов степени не выше и и множество М, многочленов всех степеней, пополненные нулевым многочленом, образуют вещественные линейные пространства.
Следующие свойства линейных пространств являются элементарными следствиями нз аксноль 1'. В линейном простаранстес сущссгаеует единственный пулевой вектор. 2*. Длл любого вектора линейного пространства существует единственный противоположный есктпор. 3 . В линейкам пространстве справедливы равенства: Оа = В, ча Е 1г и ад = В, чо е й. 4'. В линейном пространстве иг равенства оа = В следует, что либо а=о,либоа=д. 5'.
Длл любого вектора а линейного пространства протпивоположный ему вектор может быть получен как произведение: -а = (-1)а. б'. Длл любой пары векторов а и Ь линейного пространства существует, и притом сдинстесннал, разность а — Ь, причем а — Ь = а+ ( — Ь).
ЗАДАЧИ 14.1. Для каждого из следующих множеств векторов на плоскости определить, является ли оно линейным пространством относительно стандартных операций сложения векторов и улгножения вектора на число (если не оговорено противное, то предполагается, что все векторы отложены от фиксированной точки О плоскости, являющейся началом прямоугольной системы координат). 1, Все векторы, концы которых лежат на данной прямой. 2. Все векторы, начала и концы которых лежат на данной прямой. 3, Все векторы, концы которых не лежат на данной прямой. 128 Глава Пт. Введение в теорию линейных пространств 4.
Все векторы, концы которых лежат: а) в первой четверти системы координат; б) в первой или третьей четверти. 5. Все векторы, которые образуют с данным ненулевым вектором а заданный угол у, О < р < гг. 14.2. Определить, является ли вещественным линейным про- странством множество а) У, целых чисел, б) Я рациональных чисел, в) К действительных чисел относительно стандартных операций сложения и умножения чи- сел.
14.3. На множестве Кч. положительных действительных чи- сел определены следующие операции: а) "сложение" х 9 у = ху (т.е. обычное умножение чисел х и у); б) "умножение на действительное число" а О х = хо (т.е. воз- ведение числа х в степень а). Показать, что множество К+ относительно указанных опера- ций образует вещественное линейное пространство. 14.4. Пусть Кг — множество всех упорядоченных пар дей- ствительных чисел х = (ам аг) с операциями; а) если х = (ам аг), у = (Д, ~3г), то х+ у = (а1+ Д, аг+ ~3г); б) если Л е К, то Лх = (Лам аг). Является ли Кг вещественным линейным пространством? 14.5.
Для каждого из следующих множеств векторов ариф- метического пространства К" определить, является ли оно ли- нейным пространством относительно стандартных операций сло- жения и умножения на число в К". 1. Все векторы из К", компоненты которых удовлетворяют условию: а) х1+ хг+... + х„= О; б) х|+ хг+... + х„= 1. 2. Все векторы из К", у которых: а) первая и последняя компоненты равны между собой; б) все компоненты с четными номерами равны нулю. 3. Все векторы из К", которые являются линейными комбинациями данной системы векторов оы аг,..., аь из К".
14.6. Пусть  — множество всех бесконечных последователь- ностей действительных чисел х = (ам аг,..., а„,...), в котором ~14. Вещественное линейное пространство 129 введены следующие операции: а) если х = (ам аг,..., а„,...), у = (Я, рг,..., Д„...), то х+ у = (о1+ А, ~хг + Ж, о + Р )' б) если Л Е К, то Лх = (Лап Лог,..., Ла„,...). Для каждого из следующих подмножеств множества Я определить, является ли оно вещественным линейным пространством относительно указанных операций. 1.
Все множество 5. 2. Все последовательности из 5, элементы которых удовлетворяют соотношению сц = аь 1 + аь г, Й = 3, 4,.... 3. Все последовательности из 5, все элементы которых, начиная с некоторого номера, равны нулю. 4. Все последовательности из 5, которые содержат бесконечно много совпадающих элементов. 14.7. Для каждого из следующих множеств квадратных матриц и-го порядка определить, является ли оно линейным пространством относительно стандартных операций сложения матриц и умножения матрицы на число. 1.
Множество всех матриц А, для которых: а) Фг А = 0; в) А~ = А; б) сгА = 1; г) Ат = — А. 2. Множество всех невырожденных матриц из К""", пополненное нулевой матрицей. 3. Множество всех верхних ступенчатых матриц из К""". 4. Множество всех верхних треугольных матриц из К""". 14.8. Для каждого из следующих множеств многочленов от одной переменной с вещественными коэффициентами определить, является ли оно линейным пространством относительно стандартных операций сложения многочленов и умножения многочлена на число. 1.
Множество всех многочленов данной степени. 2. Множество всех многочленов 1(1), удовлетворяющих условиям: а) 1(1) = О; д) 1'(0) = 0; б) 1(1) = 1; е) 1'(1) = 1(1); в) 1(0) + 21(1) = 0; ж) 1'(0) — 1(0) = 1'(1) — 1(1). г) 1'(О) + 21(1) = 1; 3. Множество всех многочленов 1(1), для которых 1 = 1— простой корень. 5 — 427 ~ 130 Глана 1'у'. Введение в теорию линейных пространств 14.9. Для каждого из следующих множеств функций, определенных на заданном конечном отрезке [а, 6], выяснить, является ли оно линейным пространством относительно обычных операций сложения функций и умножения функции на число.
1. Множество всех функций, непрерывных на [а, 6]. 2. Множество всех функций, дифференцируемых на (а,Ь). 3. Множество всех функций, интегрируемых по Риману на [а, Ь!. 4. Множество всех функций, ограниченных на [а, 6]. 5. Множество функций таких, что зцр Щх)[ < 1. а<в«б б. Множество всех функций, неотрицательных на [а, 6]. 7. Множество функций таких, что 1(а) = 1(6). 8. Множество функций таких, что 1'((а + 6)/2) = 1. 9. Множество функций таких, что йш 1(х) = оо. х а+О 10, Множество функций, монотонно возрастающих на [а, Ь].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
