Том 1 (1113039), страница 24

Файл №1113039 Том 1 (Г.Д. Ким, Л.В. Крицков - Алгебра и аналитическая геометрия (теоремы и задачи) (DJVU)) 24 страницаТом 1 (1113039) страница 242019-04-28СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 24)

Теорема 17.3. При слоэкении векторов их координаты в одном базисе складываются, а при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число. Пусть е = (емег,...,е ) и ( = ((м 7г,..., э») — два базиса и-лгерного пространства Р. Векторы второго базиса,как векторы пространства г', разлагаются по базису е; пусть 71 = сие1 + емег +... + с 1е, уг = с1ге1 ч-сггег+... + с„ге, (17.2) ,7» = с| е1 + сг ег + ... + с е . Коэффициенты со этих разложений образуют матрицу С = (сп) е И""", которая называется матрицей перехода от базиса е к базису 7.

Обозначение: С или С, р Соотношения (17.2) могут быть записаны компактно в виде 7" = еС. Теорема 1Т.4. Матрица перехода к другому базису не вырождена. Теорема 1Т.5. Если С вЂ” матрица перехода от базиса е к базису ~, то С 1 — матрица перехода от базиса У к базису е. Теорема 1Т.6. Координаты вектора х в базисах е и 7 связаны между собой соотношением *,=Сх,, где С вЂ” матприца перехода от базиса е к базису 7. 147 317.

Базис и координаты Рассмотрим примеры наиболее часто встречающихся в задачнике линейных пространств. П р и м е р 17.1. Г е о и е т р и ч е с к и е п р о с т р а н с т в а Ум 1'г, 1'з, На прямой Уг существует ненулевой вектор, а любые два вектора коллинеарны, т.е. на прямой Уг существует линейно независимая система из одного вектора (теорема 15. 1), а любые два (значит, и более) векторов линейно зависимы (теоремы 15.7 и 15.3). Таким образом, любой ненулевой вектор прямой Уг образует максимальную линейно независимую систему векторов в Уг и поэтому (теорема 17.1) лвллетсл базисом Ум так что 61пг Уг = 1. Если ег — базис Уг и а б 1'м то а = х ем где, как следует из определения уганожения вектора на число, )а1Дег), а Ц ег1 -)а)у')ег), а)1 еь Если на прямой Ъ'г введено направление, совпадающее с направлением ем то х= —.

(а) (17.3) 1ег) На плоскости Уг существует пара неколлинеарных векторов, а любые три вектора компланарны. Из теорем 15.7, 15.8, 15.3 и 17.1 следует, что любая пара неколлинеарнмх векторов плоскости Уг образует базис Уг, так что с11т 1'г = 2.

Если ег, ег — базис Уг и а б Уг, то а = х ег + уег Координаты х, у вектора а в базисе ег, ег вычисляются след"ющим образом. А В А1 О е1В А, Рис. 2 Рис. 1 (ОАг) 1ег! (ОАг) у = ) ег~ (17А) Аналогично (рис. 2) в пространстве Уг любы тройка некомпланарнмх векторов образует базис 1г (теоремы 15.8, 15.9, 15.3, 17.1), так что Отложим векторы ем ег, а от одной точки О плоскости (рис. 1). Пусть ег = ОЗ, ег = ОС, а = ОА, точки Аг и Аг — проекции точки А на прямые ОВ и ОС параллельно прямым ОС и ОВ соответственно, Тогда а = ОАг + ОАг = х ег + у ег Если на прямых ОВ и ОС ввести направления, совпадающие с направлением ег и ег соответственно, то согласно (17.3) 148 Глава ГУ.

Введение в теорию линейных пространств 41ш13 3. Если еы ер, ез — базис 1з и а с Уз, то а = хег + уер + хез и (ОАз) (ОАг) (ОАз) )е~( ' )ег! ' (ез! где Аз, Ар, Аз — проекции точки А на прямые ОВ, ОС и ОР параллельно плоскостям ОСР, ОВР и ОВС соответственно. Пример 172. Арифметическое пространство й . В пространстве )й" единичные векторы ез = (1,0,0,..., 0), ер = (О, 1, О,..., 0), е„= (0,0,0,...,1) линейно независизлы (315, пример 15,1), и если а = (ам аг,..., а ) б 14", то (17.6) а = врез + азер +...

+ а„е, Таким образом, векторы ем ег,..., е образую базис Ж" и 41ш 14" = и. Этот базис называется естесгпвенным базисом пространства 14". Из (17,6) следует, что координатами вектора в естественном базисе служат компоненты аы ар,, а этого вектора, Пример 17.3. Пространство многочленов М„. Многочлены 1, К 1~,..., 1" образуют базис М„, так как они линейно независимы (315, пример 15.2) н если р(1) = ао -Ь азз +... -Ь а„с б М„, то, очевидно, р(Ц является линейной комбинацией этих многочленов. Этот базис называется естественным базисам пространства М„. Координатами многочлена р(1) = ~,", аьз~ служат его коэффициенты ао, аг,, а . Итак, ббш М = п + 1.

Пример 174. Пространство М многочленов всех степеней бесконечномерно, так как для любого и б 14 можно указать и линейно независиьззях векторов: 1, ц 1,..., 1" Пример 17.5. Пространство матриц 14 Матричные единицы Еы, Егр, -, Еьо Еры Егр, ..., Ер„, ..., Е „(в матрице Е, все элементы нулевые, кроме одного элемента в позиции (з,Я, равного единице) образуют базис 14 "", так как они линейно независимы (315, пример 15.4) и если А = (аи) б И "", то А = 2,, 2 "., онЕи.

Этот базис называется естественным базисом пространства 14 "". Координатами лзатрицы А = (аи) б К"'"" в естественном базисе служат ее элементы ао, з = 1, т, 1 = 1, и. Итак, ейш К" "" = тп. Пример 17.6. Пусть Я вЂ” линейное пространство всех бесконечных последовательностей действительных чисел а = (он аг,..., оч,...) (см. задачу 14.6). Найти размерность Я. Решение.

Покажем, что векторы ар = (1,0,0,...,0,0,... аг = (О, 1,0,...,0,0,...~ а„= (0,0,0,..., 1,0,...) 149 317. Базис и координаты линейно независимы. Пусть ~,", » оьаь = д, тогда (о»,аг,...,оюО,,) = (0,0,...,0,0,...), т.е. оь = О, 3» = 1, п. Это означает, что только тривиальная линейная ком- бинация этих векторов равна нулевому вектору. Следовательно, векторы а»,аг,...,а линейно независимы. Таким образом, для любого и Е М можно указать и линейно незави- симых векторов пространства Я; следовательно,з — бесконечномерное про- странство. ° П р и м е р 17.7, Пусть Р— линейное пространство всех бесконечных дей- ствительных последовательностей вида (о, 13, а, 13,...). Операции над после- довательностями в Р введены так же, как и в пространстве Я предыдущего примера.

Найти размерность и какой-нибудь базис пространства Г. Решение. Покажем, что векторы "="""' 3' ег = (0,1,0,1,0,1, образуют базис пространства Г, В самом деле, эти векторы линейно независимы, так как равенство ое»+ 33ег = д означает, что (а,)3,а,13,...) = (О,О,О,О, ..), т.е. чтоа=0,13=0. С другой стороны, любой вектор а = (а, 33, а, 13,...) Е Г является линей- ной комбинацией векторов е»,ег, а = ае» + 13ег. Таким образом, г(1гп Г = 2 и векторы е», ег образуют базис. ° Пример 17.8. Доказать, что векторы а» = (1, 2, -1, -2), аг = (2,3,0,-1), аг = (1, 2, 1, 4), а» = (1, 3, -1, 0) образуют базис пространства Я».

Решение. Так как в и-мерном пространстве любые и линейно неза- висимых векторов образуют базис, а бйш К~ = 4, то достаточно доказать линейную независимость векторов аы аг, аг, а» или, что то же самое, дока- зать,что ранг матрицы, составленной из этих векторов как из строк, равен количеству строк (теорема 16.3). Имеем 0 0 2 6 0 0 2 6 т.е. гй А = 4. ° Пример 179. Найти координаты многочлеиа р(1) = 1+1+ 1~+ 1~ Е Мг в базисе 1, 1 — 1, (1 — 1)г, (1 — 1)г. 150 Глава 1к'. Введение в теорию линейных пространств Р е шеи и е. Очевидно, матрица перехода от базиса е = (1, С, С~, Сз) к базису С = (1, С вЂ” 1, (С вЂ” 1)~, (С вЂ” 1) ) имеет вид О О 1 — 3 Положим х = р(С).

Очевидно, х, = (1,1, 1, 1)т. Согласно теореме 17.6 х, = Схт или ху = С 'х,. Последнее произведение может быть найдено методом Гаусса — Жордана (19): О О 1 — 3 1 О О 1 О 4 О О 1 О 4 О О 1 О 4 Таким образом, многочлен р(С) в базисе С = (1, С вЂ” 1, (С вЂ” 1),(С вЂ” 1) ) имеет координаты хС = (4,6,4,1)т. ° 3 А Д А 'Х И системы векторов являются бази- х„= (0,0,0,...,и). 17.3.

х1 = (1, 1, 1, 1,..., 1), хг = (0,1,0,0,...,0), хз = (0,1,1,0,...,0), х4 — (О 1 1 1 ... 0) х„= (1,0,...,0,0,0). х„= (О, 1, 1, 1,..., 1). Для кансдого из следующих линейных пространств определить, является лн это пространство конечномерным; в случае положительного ответа найти размерность пространства. 17.4. Линейное пространство )кч из задачи 14.3. Показать, что следующие сами пространства К". 17.1.

х1 = (1, 2, 3,..., п), хг = (0,2,3,...,п), хз = (0,0,3,...,п), 17.2. х1 = (1, 1,..., 1, 1, 1), хг = (1,1,...,1,1,0), хз = (1,1,...,1,0,0), З17. Базис и координаты 151 17.5. Линейное пространство последовательностей действи- тельных чисел (ам аз,...), элементы которых удовлетворяют со- отношениям аь = аь ~ + аь з, 1с = 3, 4,....

17.6. Линейное пространство К из задачи 14.2, п."в". 17.7. Линейное пространство последовательностей действи- тельных чисел (амаз,...), все элементы которых, начиная с некоторого номера, равны нулю, 17.8. Доказать, что при любом и Е г) данное множество об- разует конечномерное линейное пространство; найти его размер- ность и указать какой-либо базис этого пространства. 1.

Множество четных многочленов степени не выше и. 2. Множество нечетных многочленов степени не выше п. 17.9. Доказать, что данное множество образует бесконечно- мерное линейное пространство. 1. Множество функций, принимающих конечное число значений на [а,б). 2. Множество всех функций, непрерывных на )а, Ь]. Выяснить, какие из следующих систем векторов являются базисами подходящего пространства К".

Характеристики

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6430
Авторов
на СтудИзбе
306
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее