Том 1 (1113039), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Теорема 17.3. При слоэкении векторов их координаты в одном базисе складываются, а при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число. Пусть е = (емег,...,е ) и ( = ((м 7г,..., э») — два базиса и-лгерного пространства Р. Векторы второго базиса,как векторы пространства г', разлагаются по базису е; пусть 71 = сие1 + емег +... + с 1е, уг = с1ге1 ч-сггег+... + с„ге, (17.2) ,7» = с| е1 + сг ег + ... + с е . Коэффициенты со этих разложений образуют матрицу С = (сп) е И""", которая называется матрицей перехода от базиса е к базису 7.
Обозначение: С или С, р Соотношения (17.2) могут быть записаны компактно в виде 7" = еС. Теорема 1Т.4. Матрица перехода к другому базису не вырождена. Теорема 1Т.5. Если С вЂ” матрица перехода от базиса е к базису ~, то С 1 — матрица перехода от базиса У к базису е. Теорема 1Т.6. Координаты вектора х в базисах е и 7 связаны между собой соотношением *,=Сх,, где С вЂ” матприца перехода от базиса е к базису 7. 147 317.
Базис и координаты Рассмотрим примеры наиболее часто встречающихся в задачнике линейных пространств. П р и м е р 17.1. Г е о и е т р и ч е с к и е п р о с т р а н с т в а Ум 1'г, 1'з, На прямой Уг существует ненулевой вектор, а любые два вектора коллинеарны, т.е. на прямой Уг существует линейно независимая система из одного вектора (теорема 15. 1), а любые два (значит, и более) векторов линейно зависимы (теоремы 15.7 и 15.3). Таким образом, любой ненулевой вектор прямой Уг образует максимальную линейно независимую систему векторов в Уг и поэтому (теорема 17.1) лвллетсл базисом Ум так что 61пг Уг = 1. Если ег — базис Уг и а б 1'м то а = х ем где, как следует из определения уганожения вектора на число, )а1Дег), а Ц ег1 -)а)у')ег), а)1 еь Если на прямой Ъ'г введено направление, совпадающее с направлением ем то х= —.
(а) (17.3) 1ег) На плоскости Уг существует пара неколлинеарных векторов, а любые три вектора компланарны. Из теорем 15.7, 15.8, 15.3 и 17.1 следует, что любая пара неколлинеарнмх векторов плоскости Уг образует базис Уг, так что с11т 1'г = 2.
Если ег, ег — базис Уг и а б Уг, то а = х ег + уег Координаты х, у вектора а в базисе ег, ег вычисляются след"ющим образом. А В А1 О е1В А, Рис. 2 Рис. 1 (ОАг) 1ег! (ОАг) у = ) ег~ (17А) Аналогично (рис. 2) в пространстве Уг любы тройка некомпланарнмх векторов образует базис 1г (теоремы 15.8, 15.9, 15.3, 17.1), так что Отложим векторы ем ег, а от одной точки О плоскости (рис. 1). Пусть ег = ОЗ, ег = ОС, а = ОА, точки Аг и Аг — проекции точки А на прямые ОВ и ОС параллельно прямым ОС и ОВ соответственно, Тогда а = ОАг + ОАг = х ег + у ег Если на прямых ОВ и ОС ввести направления, совпадающие с направлением ег и ег соответственно, то согласно (17.3) 148 Глава ГУ.
Введение в теорию линейных пространств 41ш13 3. Если еы ер, ез — базис 1з и а с Уз, то а = хег + уер + хез и (ОАз) (ОАг) (ОАз) )е~( ' )ег! ' (ез! где Аз, Ар, Аз — проекции точки А на прямые ОВ, ОС и ОР параллельно плоскостям ОСР, ОВР и ОВС соответственно. Пример 172. Арифметическое пространство й . В пространстве )й" единичные векторы ез = (1,0,0,..., 0), ер = (О, 1, О,..., 0), е„= (0,0,0,...,1) линейно независизлы (315, пример 15,1), и если а = (ам аг,..., а ) б 14", то (17.6) а = врез + азер +...
+ а„е, Таким образом, векторы ем ег,..., е образую базис Ж" и 41ш 14" = и. Этот базис называется естесгпвенным базисом пространства 14". Из (17,6) следует, что координатами вектора в естественном базисе служат компоненты аы ар,, а этого вектора, Пример 17.3. Пространство многочленов М„. Многочлены 1, К 1~,..., 1" образуют базис М„, так как они линейно независимы (315, пример 15.2) н если р(1) = ао -Ь азз +... -Ь а„с б М„, то, очевидно, р(Ц является линейной комбинацией этих многочленов. Этот базис называется естественным базисам пространства М„. Координатами многочлена р(1) = ~,", аьз~ служат его коэффициенты ао, аг,, а . Итак, ббш М = п + 1.
Пример 174. Пространство М многочленов всех степеней бесконечномерно, так как для любого и б 14 можно указать и линейно независиьззях векторов: 1, ц 1,..., 1" Пример 17.5. Пространство матриц 14 Матричные единицы Еы, Егр, -, Еьо Еры Егр, ..., Ер„, ..., Е „(в матрице Е, все элементы нулевые, кроме одного элемента в позиции (з,Я, равного единице) образуют базис 14 "", так как они линейно независимы (315, пример 15.4) и если А = (аи) б И "", то А = 2,, 2 "., онЕи.
Этот базис называется естественным базисом пространства 14 "". Координатами лзатрицы А = (аи) б К"'"" в естественном базисе служат ее элементы ао, з = 1, т, 1 = 1, и. Итак, ейш К" "" = тп. Пример 17.6. Пусть Я вЂ” линейное пространство всех бесконечных последовательностей действительных чисел а = (он аг,..., оч,...) (см. задачу 14.6). Найти размерность Я. Решение.
Покажем, что векторы ар = (1,0,0,...,0,0,... аг = (О, 1,0,...,0,0,...~ а„= (0,0,0,..., 1,0,...) 149 317. Базис и координаты линейно независимы. Пусть ~,", » оьаь = д, тогда (о»,аг,...,оюО,,) = (0,0,...,0,0,...), т.е. оь = О, 3» = 1, п. Это означает, что только тривиальная линейная ком- бинация этих векторов равна нулевому вектору. Следовательно, векторы а»,аг,...,а линейно независимы. Таким образом, для любого и Е М можно указать и линейно незави- симых векторов пространства Я; следовательно,з — бесконечномерное про- странство. ° П р и м е р 17.7, Пусть Р— линейное пространство всех бесконечных дей- ствительных последовательностей вида (о, 13, а, 13,...). Операции над после- довательностями в Р введены так же, как и в пространстве Я предыдущего примера.
Найти размерность и какой-нибудь базис пространства Г. Решение. Покажем, что векторы "="""' 3' ег = (0,1,0,1,0,1, образуют базис пространства Г, В самом деле, эти векторы линейно независимы, так как равенство ое»+ 33ег = д означает, что (а,)3,а,13,...) = (О,О,О,О, ..), т.е. чтоа=0,13=0. С другой стороны, любой вектор а = (а, 33, а, 13,...) Е Г является линей- ной комбинацией векторов е»,ег, а = ае» + 13ег. Таким образом, г(1гп Г = 2 и векторы е», ег образуют базис. ° Пример 17.8. Доказать, что векторы а» = (1, 2, -1, -2), аг = (2,3,0,-1), аг = (1, 2, 1, 4), а» = (1, 3, -1, 0) образуют базис пространства Я».
Решение. Так как в и-мерном пространстве любые и линейно неза- висимых векторов образуют базис, а бйш К~ = 4, то достаточно доказать линейную независимость векторов аы аг, аг, а» или, что то же самое, дока- зать,что ранг матрицы, составленной из этих векторов как из строк, равен количеству строк (теорема 16.3). Имеем 0 0 2 6 0 0 2 6 т.е. гй А = 4. ° Пример 179. Найти координаты многочлеиа р(1) = 1+1+ 1~+ 1~ Е Мг в базисе 1, 1 — 1, (1 — 1)г, (1 — 1)г. 150 Глава 1к'. Введение в теорию линейных пространств Р е шеи и е. Очевидно, матрица перехода от базиса е = (1, С, С~, Сз) к базису С = (1, С вЂ” 1, (С вЂ” 1)~, (С вЂ” 1) ) имеет вид О О 1 — 3 Положим х = р(С).
Очевидно, х, = (1,1, 1, 1)т. Согласно теореме 17.6 х, = Схт или ху = С 'х,. Последнее произведение может быть найдено методом Гаусса — Жордана (19): О О 1 — 3 1 О О 1 О 4 О О 1 О 4 О О 1 О 4 Таким образом, многочлен р(С) в базисе С = (1, С вЂ” 1, (С вЂ” 1),(С вЂ” 1) ) имеет координаты хС = (4,6,4,1)т. ° 3 А Д А 'Х И системы векторов являются бази- х„= (0,0,0,...,и). 17.3.
х1 = (1, 1, 1, 1,..., 1), хг = (0,1,0,0,...,0), хз = (0,1,1,0,...,0), х4 — (О 1 1 1 ... 0) х„= (1,0,...,0,0,0). х„= (О, 1, 1, 1,..., 1). Для кансдого из следующих линейных пространств определить, является лн это пространство конечномерным; в случае положительного ответа найти размерность пространства. 17.4. Линейное пространство )кч из задачи 14.3. Показать, что следующие сами пространства К". 17.1.
х1 = (1, 2, 3,..., п), хг = (0,2,3,...,п), хз = (0,0,3,...,п), 17.2. х1 = (1, 1,..., 1, 1, 1), хг = (1,1,...,1,1,0), хз = (1,1,...,1,0,0), З17. Базис и координаты 151 17.5. Линейное пространство последовательностей действи- тельных чисел (ам аз,...), элементы которых удовлетворяют со- отношениям аь = аь ~ + аь з, 1с = 3, 4,....
17.6. Линейное пространство К из задачи 14.2, п."в". 17.7. Линейное пространство последовательностей действи- тельных чисел (амаз,...), все элементы которых, начиная с некоторого номера, равны нулю, 17.8. Доказать, что при любом и Е г) данное множество об- разует конечномерное линейное пространство; найти его размер- ность и указать какой-либо базис этого пространства. 1.
Множество четных многочленов степени не выше и. 2. Множество нечетных многочленов степени не выше п. 17.9. Доказать, что данное множество образует бесконечно- мерное линейное пространство. 1. Множество функций, принимающих конечное число значений на [а,б). 2. Множество всех функций, непрерывных на )а, Ь]. Выяснить, какие из следующих систем векторов являются базисами подходящего пространства К".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
