Том 1 (1113039), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Пусть А е 6Г'"" и а' е И~"". Доказать, что системы ~ Ах=О, Ах = О и ~, ' эквивалентны тогда и только тогда, когда 1 ах=О вектор-строка а' линейно выражается через строки матрицы А. 20.9. Доказать, что системы уравнений А'х = О и А"х = О эквивалентны тогда и только тогда, когда А' ) гб ~„~ = гбА = гйА .
20.10. Пусть А Е И "", Ь Е И "~, а' Е И~"" и,З Е И. До( Ах=Ь, казать, что совместные системы Ах = Ь и ~, ' эквива- '1 ах=р" лентны тогда и только тогда, когда вектор-строка )а'ф] линейно выражается через строки расширенной матрицы ~А~Ь). 20.11. Доказать, что совместные системы уравнений А'х = Ь' и А"х = Ь" эквивалентны тогда и только тогда, когда ~А' Ь') г8 ~ 1„Ьн ~ = гаА = г8А . 20.12.
Доказать, что матричное уравнение АХ = В, в котором А е И х", В е И™хм — заданные матрицы, а матрица Х е И""~ искомая, имеет решение тогда и только тогда, когда гб (А~В~ = гб А. 20.13. Векторы х~Ц, х~з~,..., х® являются решениями неод- нородной системы уравнений Ах = Ь. Какому условию должны удовлетворять коэффициенты линейной комбинации этих векто- 221. Метод Гаусса исследования и решения систем 169 ров, чтобы она снова была решением системы Ах = Ь? 20.14. Векторы хр), х~2),..., х~") являются решениями неод- нородной системы уравнений Ах = б.
Какому условию должны удовлетворять коэффициенты линейной комбинации этих век- торов, чтобы эта комбинация была решением соответствующей однородной системы Ах = О? 20.15. Показать, что если матричное уравнение АХВ = С, в котором А е К"'"", В Е КРх», С е К"'"» — заданные матрицы, а матрица Х я К""" искомая, рассматривать как систему линей- ных уравнений относительно элементов матрицы Х, то матрицей этой системы будет матрица Вт З А, если элементы каждой из матриц Х н С занумеровать по столбцам.
20.16. Показать, что если матричное уравнение АХ+ХВ = С, в котором А е К ", В е К""", С е К™хп — заданные мат- рицы, а матрица Х Е К "" искомая, рассматривать как систе- му линейных уравнений относительно элементов матрицы Х, то матрицей этой системы будет матрица 1„З А + Вт З 1, если элементы каждой из матриц Х и С занумеровать по столбцам. 20.17.
Доказать, что матричное уравнение АХВ=С, в котором А е Кш"", В е К""», С е К"'"» — заданные матрицы, имеет решение тогда и только тогда, когда гяА = гб ~ А ~ С ~ и гкВ = гб ~ Вт ~ Ст ~. й21. Метод Гаусса исследования и решения систем Укажем тнп простейших систем линейных уравнений, тип эквивалентных преобразований системы, а также покажем, что произвольная система линейных алгебраических уравнений указанными преобразованиями приводится к указанному типу. Системы с трапециевидной матрицей. Рассматривается система (21. 1) Ах = Ь 170 Глава у'. Системы линейных алгебраических уравнений с верхней трапециевидной матрицей А.
Пусть расширенная матрица этой системы имеет вид Ьг Ь аы а~г О агг О О О О О О Ь, Ь„+, где аа ф О, 1 =1,г. Теорема 21.1. Система с верхней трапециевидной матрицей совместна тогда и только тогда, когда Ьл = О при й > г. Реализация всех пунктов схемы исследования и решения совместной системы Я20) для системы с верхней трапециевидной матрицей достаточно проста: 1) в качестве базисного минора матрицы А всегда можно взять минор, расположенный в левом верхнем углу; 2) укороченная система состоит из первых г уравнений; 3) если г = и, то система (21.1) станет системой с треугольной матрицей < аыхг + ам+ .. ч- амхг = Ьм ага +...
+ аг х = Ьг, а х =Ь„ каторга имеет единственное решение Я19); найти его не представляет труда: решая последовательно уравнения системы снизу вверх, мы каждый раз будем иметь дело с уравнением, содержащим только одно неизвестное. 4) если г < и, то неизвестные х эы..., х„будут свободными и система относительно главных неизвестных будет иметь вид < аггхг + ... + аг,х, = Ь| — ац э~х,ы — ... — аг„х„, а„х,=Ь,— а„,+гх+г —...— а, х . Общее и частное решения исходной системы находятся из этой системы с треугольной матрицей. Элементарные преобразования системы уравнений. Элементарными преобразован ями системы уравнений называются преобразования следующих типов: 1) перестановка местами двух уравнений системы; 2) умножение какого-либо уравнения системы на число а ~ О; 3) прибавление к одному уравнению системы другого ее уравнения, умноженного на любое число В.
Заметим, что элементарные преобразования системы уравнений означают элементарные преобразования строк ее расширенной матрицы В, Т е о р е м а 21.2. Элементарные преобразования системы линейных алгебраических уравнений приводят ее к эквивалентной системе. Приведение системы общего вида к системе с верхней трапециевидной матрицей. Известно ЯЗ), что матрица А системы уравнений 921. Метод Гаусса исследования и решения систем 171 (21.1) общего вида элементарными преобразованиями строк и перестановками столбцов приводится к верхней трапециевидной форме.
Если используел1ые при этом элементарныепреобразования строк матрицы А применить к строкам расширенной матрицы В, то на основании теоремы 21.2 мы придем к системе с верхней трапециевидной матрицей, решения которой отличаются от решений исходной системы только нумерацией неизвестных. Метод Гаусса исследования и решения системы уравнений состоит в приведении ее к системе с верхней трапециевидной матрицей с последующим исследованием и решением получившейся системы.
При этом, если в процессе преобразования использовались перестановки столбцов основной матрицы А, то в полученных решениях необходимо восстановить исходную нумерацию неизвестных. Пример 21.1. Исследовать и решить систему хз ~- хз -ь Зхз+ 2хз = 1, 2хз + Зхз + хз + 4хз = 4, хз + Зхз — 7хз -~- 2х4 = 3. Р е ш е н и е.
Элементарными преобразованиями строк расширенной матрицы приведем матрицу системы к верхней трапециевидной форме: Система с последней расширенной матрицей несовместна. ° Пример 21.2. Исследовать и решить систелзу х1 -ь 4хз— бхз = О, 2х1 + 9хз — 2хз — 11хз = 3, хз + 5хз — хз — бхз = 1, 2хз + 8хз + Зхз — 7х4 = 9, 2хз + 7хз -Ь 8хз — Зхз = 15. Р е ш е н и е. Элементарными преобразованиями строк расширенной матрицы приведем матрицу системы к верхней трапециевидной форме: 1 4 Π— 5 О 1 — 2 — 1 О 1 — 1 — 1 О О 3 3 Π— 1 8 7 1 4 Π— 5 2 9 — 2 — 11 1 5 — 1 — 6 2 8 3 — 7 2 7 8 — 3 1 4 Π— 5 О 1 — 2 -1 О О 1 О О О 1 1 О О б б ЛН вЂ” 2] — 2 ] Система с последней расширенной матрицей совместна и определенна.
Решим последовательно уравнения получившейся системы, начиная с последнего: хя = 5, хз = — 2 хз = 3 -1- хз ч- 2хз = 4 хз = бхз — 4хз = 9. 172 Глава К Системы линейных алгебраических уравнений Итак, система имеет единственное решение — вектор-столбец (9,4, — 2,5) . ° т П р и ме р 21.3. Исследовать и решить систему 2хз + хг + Зхя — 2хь = 1, бхз + Зхг + 2хз + хя + 8хь = 1, 4хз + 2хг + хз + хь = — 1, 2хз+ хг+ хз+Зхя+9хь= 4.
Построить ее общее решение и указать какое-нибудь частное решение. Р е ш е ни е. Элементарными преобразованиями строк расширенной мат- рицы приведем матрицу системы к верхней ступенчатой форме: — 3 0 0 0 -2 — 2 — 2 с 2 1 0 3 -2 1 2 1 0 3 — 2 6321 8 1 002 — 8 14 4 2 1 0 1 — 1 0 0 1 — 6 5 211394001011 2 1 0 3 -2 11 0 0 1 -4 7 — 1 ~ . 0 0 1 1 1 Базисный минор этой матрицы расположен в первом, третьем и четвертом столбцах, поэтому выберем свободными неизвестные хг и хь и выразим через них остальные неизвестные, решая относительно иих уравнения системы, начиная с последнего: хя =1 — хь, хз = -1+ 4хя — 7хь = 3 — 11хь, 2хз = 1 — хг -'Зхя + 2хь = -2 — хг + 5хь м~ хз = -1 — хг/2 4- 5хь/2.
Итак, общее решение системы имеет вид т х = ( — 1 — хг/2+5хь/2,хг,З вЂ” 11хь,1 — хь,хь), хг,хь Е яя. Частное решение системы получится, если в ее общем решении задать значения свободных неизвестных, например, положить их равными хг = хь = 0: х=( — 1,0,3,1,0) .
° ЗАДАЧИ Исследовать на совместность и найти общее решение системы уравнений. Пример 21,4. Найти необходимое и достаточное условие того, что в любом решении совместной системы линейных уравнений неизвестное хь принимает одно и тоже значение. Р е ш е н и е. Условие означает, что хь не может быть свободным неизвестным, т.е. что л-й столбец матриц системы входит в любой ее базисный минор и, следовательно, не является линейной комбинацией других столбцов.
Это равносильно тому, что при вычеркивании к-го столбца ранг матрицы системы уменьшается на единицу. ° г21. Метод Гаусса исследования и Решения систем 173 2х1+ хг+ хз=2, х1+Зхг+ хз = 5, х1+ хг + 5хз = — 7, 2х1+ Зхг — Зхз = 14. 21.2.
21.1. 2х1+ хг — хз+ х4 = 1, Зх1 — 2хг+ 2хз — Зх4 = 2, 5х1+ хг — хз+2х4= — 1, 2х1 — хг+ хз — Зх4 = 4. 21.6. 21.5. Зх1+ хг — 2хз+ х4 — хз = 1, 2х1 — хг + 7хз — Зх4+ 5хз = 2, х1+ Зхг — 2хз + 5х4 — 7хь = 3, Зх1 — 2хг + 7хз — 5х4 + 8хз = 3. 21.7. х1 + 2хг — Зх4 + 2хз = 1, х1 — хг — Зхз + Х4 — Зхз = 2, 2х1 — Зхг + 4хз — 5Х4 + 2хз = 7, 9х1 — 9хг+ бхз — 16х4+ 2хз = 25.
х1 — 2хг + Зхз — 4х4 = 4, хг — хз + х4= — 3, Х1+ЗХ2 ЗХ4 = 1, — 7х2+Зхз + х4 = — 3 21.11. х1 — 2хг + Зхз — 4х4 + 2хз = — 2, х1 + 2хг — хз — хз = — 3, х1 — хг+ 2хз — Зх4 = 10, хг — хз + х4 — 2хз = — 5, 2х1+ Зхг — хз + Х4 + 4хз = 1. 21.13. х1+ хг — Зхз = — 1, 2Х1+ хг — 2хз = 1, Х1+ Х2+ ХЗ=3, х1+ 2хг -Зхз =1. х1 — 2хг+хз х4= — 1, 21.3. Х1 — 2хг+хз+ х4=1, 21.4. х1 — 2хг+хз+5х4=5. 2х1 — хг+ хз — х,1 = 1, 2х1 — хг — ЗХ4 = 2, ЗХ1 хз+Х4 = — 3, 2х1+ 2хг — 2хз+ 5х4 = — 6. х1 + 2хг + Зхз + 4х4 = 11, 2х1+ Зх2+ 4хз+ х4 = 12, Зх1+4хг+ хз+2х4 = 13, 4х1+ хг+ 2хз+Зх4 =14. 2х1+Зхг — хз+ 5х4=0, Зх1 — хг+ 2хз — 7х4=0, 4х1+хг — Зхз + бх4 =О, х1 — 2хг + 4хз — 7х4 = О.
2х1 — хг+ Зхз=З, Зх1+ хг- 5хз=О, 4х1 — хг+ хз = 3, х1+ Зх2 — 13хз = 6. х1 + Зхг + 2хз = О, 2х1 — хг+ Зхз = О, Зх1 — 5хг+ 4хз = О, х1 + 17хг + 4хз = О. 174 Глава К Системы линейных алгебраических уравнений Х1 + хг — Зх4 — хз = О х1 — хг + 2хз — Х4 = О, 4х1 — 2хг + бхз + Зх4 — 4хз = О, 2х1+ 4хг — 2хз + 4х4 — 7хз = О. 21.14. х1+ хг+ хз+ х4+ хз = 7, Зх1+2хг+ хз+ х4 — Зхз= — 2, хг + 2хз + 2х4 + бх4 = 23, 5х1+ 4хг + Зхз + Зх4 — хз = 12. 21.15. х1 — 2хг+ хз+ х4 — хе=О, 2х1+ хг — хз Х4+ хз = О, х1 + 7хг — 5хз — 5х4 + 5хз = О, Зх1 — хг — 2хз + х4 — хз = О. 21.16. 2х1+ хг — хз — х4+ хз = 1, Х1 — хг+ хз+ х4 2хз =О, Зх1+ Зхг — Зхз — Зх4+ 4хз = 2, 4хг + 5хг — 5хз — 5х4 + 7хз = 3.
21. 17. х1 + Зхг + 5хз — 4х4 = 1, х1 + Зхг + 2хз — 2Х4 + хз = — 1, х1 — 2хг + хз — х4 — хз = 3, х1 — 4хг+хз+х4 — хз = 3, х1+2хг+хз — х4+хз = — 1. 21. 18. 21.19. Исследовать систему уравнений на совместность и найти ее общее решение в зависимости от значений параметра Л. х1+ 2хг+ Зхз — х4 = 1, Зхг + 2хг + хз — х4 = 1, 2хг + Зхг + хз + х4 = 1, 2х1+ 2хг+ 2хз — х4 = 1, 5Х1 + 5хг + 2хз = 2. Зх1+2хг+ хз= — 1, 21.20. 7х1+бхг+5хз=Л, 21.21. 5х1+4хг+Зхз =2. 5х1 — Зхг+2хз+ 4х4=3, 4х1 — 2хг+Зхз+ 7Х4=1, 8хг-бхг- хз- 5х4=9, 7х1 — Зхг+ 7хз+ 17х4 = Л, З21. Метод Гаусса исследования и решения систем 175 Зх1+ 2хг+ 5хз+ 4х4 = 3, Лх1+ хг+ хз=О, 21 22.
5х1+ хг — 2хз=2 21 23 2х1+Зхг+бхз+ Зх4=5, Х1 — бх2 — 9хз — 20х4 = — 11, 2х1+ 2х 2 — хз = 3. 4х1+ хг+4хз+ Лх4=2. 2х1 — хг+Зхз+ 4х4= 4х1 — 2хг + 5хз + бх4 = бх1 — Зхг + 7хз + 8х4 = Лх1 — 4хг + 9хз + 10х4 = 5, 7, 9, 11. 21. 24. 2х1+ Зхг+ хз+2х4=3, 4х1+ бх2+Зхз+4х4=5, бх1+ 9хг+5хз+бх4=7, 8Х1+ 12хг+ 7хз+ Лх4 = 9. < х1+ хг+Лхз=2, х1+Лхг+ хз= — 1, Лх1+ хг+ хз= — 1. 21.25.
21.26. ЛХ1+ Хг+ хз+ Х4=, Х1+ Хг+ЛХЗ=З, Х1+ хг+Лхз+ Х4=1 Лх1+ хг+ хз=О. х1+ хг+ хз+Лх4=1. (Л+1)х1+ хг+хз=1, 21.29. х1 + (Л + 1)хг + хз = Л, х1+ хг + (Л + 1)хз = Лг. (Л+ 1)х1+ хг+ хз = Л + ЗЛ, 21.30. х1+ (Л+ 1)хг+хз = Лз+ ЗЛ2, х1+хг+ (Л+1)хз=Л + ЗЛз. (2Л+ 1)х1 — Лхг+ (Л+ 1)хз = — Л вЂ” 1, 21.31. (Л вЂ” 2)х1+ (Л вЂ” 1)хг+ (Л вЂ” 2)хз = Л, (2Л вЂ” 1)х1+ (Л вЂ” 1)хг + (2Л вЂ” 1)хз = Л. 21. 32. Лх1+ (2Л вЂ” 1)хг+ (Л+ 2)хз =1, (Л вЂ” 1)хг + (Л вЂ” З)хз = 1 + Л, ЛХ1 + (ЗЛ вЂ” 2)хг + (ЗЛ + 1)хз = 2 — Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
